专题01二次根式寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题01二次根式寒假预习讲义 · 懂概念：记住（a≥0），会判断 “有意义” 的取值范围 · 记性质：掌握两条核心性质，会用绝对值化简 · 会化简：能化成最简二次根式，不含分母、不开得尽方 · 熟运算：加减乘除全过关，会合并同类二次根式 · 避陷阱：不瞎合并、不忘非负条件、计算步骤规范 预习必备 知识点梳理 1.二次根式的概念 2,二次根式的性质 3.二次根式的运算 4.核心易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.求二次根式的值 2.求二次根式中的参数 3.利用二次根式的性质化简 4.二次根式有意义的条件 5.二次根式的乘法 6.二次根式的除法 7.分母有理化 8.最简二次根式的判断 9.化为最简二次根式 10.已知最简二次根式求参数 11.二次根式的大小比较 12.复合二次根式的化简 13.同类二次根式 14.二次根式的加减运算 15.二次根式的混合运算 16.已知字母的值.化简求值 强化通关 (解答题8题) 【知识点01.二次根式的概念】 1. 定义 形如 （a≥0） 的式子叫做二次根式；“​” 是二次根号（根指数 2 省略），a 是被开方数（数、单项式、多项式、分式均可）。 判定两要素：① 含二次根号；② 被开方数 a≥0。 2. 有 / 无意义的条件 有意义 ⟺ 被开方数 a≥0（求字母取值范围的核心依据）。 无意义 ⟺ 被开方数 a<0。 3. 双重非负性（核心性质） ≥0 且 a≥0（a≥0 时）。 推论：若 +=0、+∣b∣=0、+b2=0，则 a=b=0（“0+0=0” 模型）。 【知识点02.二次根式的性质】 1. 性质 1：()2=a（a≥0） 作用：去根号、计算、将非负数写成平方形式（如 5=()2）。 注意：仅当 a≥0 时成立，a<0 无意义。 2. 性质 2：=∣a∣=​ 易错点：必须先取绝对值再化简，不可直接去根号。 【知识点03.二次根式的运算】 1.最简二次根式（运算前提） 满足两个条件： (1)被开方数不含分母（分母有理化）； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 2.乘法运算 法则：⋅=​（a≥0,b≥0）。 推广：多个二次根式相乘，=（a,b,c≥0）。 带系数：mn=mn（a≥0,b≥0）。 逆用（因式内移）：a=b（a≥0,b≥0）。 3.除法运算 法则：=（a≥0,b>0）。 分母有理化：将分母中的根号去掉（核心：乘分母的有理化因式）。 4.加减运算（本章难点） 同类二次根式：化成最简后，被开方数相同的二次根式 步骤： 1 化：将所有二次根式化为最简二次根式； 2 找：找出同类二次根式； 3 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变）； 4 整：结果化为最简。 公式：m±n=(m±n)（a≥0）。 5.混合运算 顺序：先乘除、后加减；有括号先算括号内；能用乘法公式简化则用公式。 常用公式： 平方差：(+)(−)=a−b； 完全平方：(±)2=a±2+b（a,b≥0）。 【知识点04.核心易错点总结】 1.忽略被开方数非负（求范围、化简、运算均易错）； 2.直接写成 a，未加绝对值； 3.运算结果未化为最简二次根式； 4.分母有理化时漏乘、符号错误； 5.加减运算时，非同类二次根式直接合并 【题型1.求二次根式的值】 【典例】二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 【跟踪专练2】观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 【题型2.求二次根式中的参数】 【典例】当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 【跟踪专练1】如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 【题型3.利用二次根式的性质化简】 【典例】下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质和平方的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． 逐一计算每个选项，找出计算不正确的选项． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，但选项写为，计算错误，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】当时，式子的值是 ． 【答案】1 【分析】根据 的取值范围，化简平方根和绝对值表达式．本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 则 ； 又∵ ， 则 ． ∴原式 ． 故答案为：1． 【跟踪专练2】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用数轴确定数的大小和代数式结果的正负，去绝对值，化简二次根式，解题的关键是掌握数形结合的数学思想，求绝对值的法则和二次根式的性质． 根据数轴得出，然后根据求绝对值和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， 故选：A． 【题型4.二次根式有意义的条件】 【典例】要使二次根式有意义，y的值可以是 ． 【答案】2025（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而得到y的取值，再选取一个符合条件的值． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数非负， ∴ ， ∴ ， ∴ 取（满足）， 故答案为：2025（答案不唯一） 【跟踪专练1】已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则 由，得：． 将代入代数式： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算． 【跟踪专练2】已知，是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义条件，确定的值，进而求出的值，然后计算的值即可． 【详解】解：由二次根式有意义条件， 得 解得， 当时，． ∴． 故答案为：1． 【题型5.二次根式的乘法】 【典例】计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的乘方．根据二次根式的乘方计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：2 【跟踪专练1】若，，则的值用，可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，化简二次根式，，而，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式中的被开方数是非负数， ∴ 解得： 当 时，左边 右边 ∴ 等式成立的条件是 ， 故选：A． 【题型6.二次根式的除法】 【典例】计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的除法运算．根据二次根式的除法运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除运算． 根据二次根式的性质、对各选项逐一计算判断即可． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误； 故选：C． 【跟踪专练2】能使等式 成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7.分母有理化】 【典例】已知，，则m和n的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化简后和进行比较即可得出答案． 【详解】∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了分母有理化和实数的大小比较，利用分母有理化进行化简是解题的关键． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，先进行分母有理化，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及运算，根据二次根式的性质逐一验证即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 【题型8.最简二次根式的判断】 【典例】下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】下列整数能使为最简二次根式，则可以是（      ） A．5 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开方的平方因数．逐一验证选项，排除不符合条件的情况． 【详解】选项A：当时，，被开方数为负数，无意义，排除． 选项B：当时，，结果为整数，不符合最简二次根式的定义，排除． 选项C：当时，，结果为整数，不符合最简二次根式的定义，排除． 选项D：当时，，符合最简二次根式的定义． 故选D． 【跟踪专练2】将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可以为，，，， ∴或或或， 解得：或或或， 故答案为：． 【题型9.化为最简二次根式】 【典例】下列二次根式中可以与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】A、，不能与合并，不符合题意； B、，能与合并，符合题意； C、，不能与合并，不符合题意； D、，不能与合并，不符合题意； 故选：B 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 【详解】解：， ， ， ∴原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握，根据二次根式有意义的条件得到，而，则，再进行化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【题型10.已知最简二次根式求参数】 【典例】如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 【跟踪专练1】已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【题型11.二次根式的大小比较】 【典例】比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 【跟踪专练1】已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算，二次根式的大小比较，先把选项中的运算符号代入进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵，， ∴当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是； 故选：D 【题型12.复合二次根式的化简】 【典例】已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 【跟踪专练1】把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【题型13.同类二次根式】 【典例】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．要判断与是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，若被开方数为3，则为同类二次根式． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、是整数，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得 或 检验：当 时，，；当 时，，不符合二次根式定义， 故 ． 故答案为：10． 【跟踪专练2】化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简四个选项中的二次根式，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详解】解：A、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； B、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； C、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 【题型14.二次根式的加减运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，解题关键是掌握同类二次根式的定义及二次根式的化简与合并法则，即只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变． 先判断是否是同类二次根式，再判断计算是否正确即可． 【详解】解：A：与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，A错误； B：，与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，B错误； C：，，则，C错误； D：，，则，D正确； 故选：D． 【跟踪专练2】我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 【题型15.二次根式的混合运算】 【典例】若，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴“”中的运算符号是． 故选：D． 【跟踪专练1】解方程的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，二次根式的混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． 通过去括号、移项、合并同类项将方程化为，再系数化为1并有理化分母求解． 【详解】解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 有理化分母：分子分母同乘， 计算分子： 计算分母： 所以 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 先进行化简，再进行估算即可． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴数轴上最接近的是A． 故选：A． 【题型16.已知字母的值.化简求值】 【典例】已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由、的值直接代入求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的化简并代入求值． 【跟踪专练1】当时，代数式的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式化简求值的方法． 根据分式的除法和因式分解可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：， ， 当时，原式， 故选：D． 【跟踪专练2】已知，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，掌握配方法构造完全平方是解题的关键． 将代数式中的二次三项式分别配成完全平方形式，然后代入数值计算． 【详解】解：由完全平方公式，得 ，． 代入 ，，得 ，． 所以 ，． 因此原式 ． 故答案为：4． 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先运用二次根式的性质进行化简和应用平方差公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可； （2）先运用二次根式的乘除法法则化简，然后再按照二次根式的加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．站在海拔为的地方看到的水平距离为，它们近似地符合公式．登山者从海拔处登上海拔为的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？ 【答案】 【分析】先分别写出在海拔和处看到的水平距离表达式，再通过作商的方式求出两者的倍数关系，最后对结果进行二次根式化简． 【详解】解：登山者看到的原水平距离为，现在看到的水平距离为． ， 他看到的水平距离是原来的倍． 【点睛】本题考查了二次根式的应用与化简，解题关键是通过作商来求倍数关系，并利用二次根式的运算性质进行化简，避免了复杂的变量代换． 4．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 5．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 6．先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．已知，求式子的值． 【答案】 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 8．已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键． 根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可． 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， ， 解得：，此时，不符合题意， 或， 解得：， 符合题意， ． 所以的值为1． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式寒假预习讲义 · 懂概念：记住（a≥0），会判断 “有意义” 的取值范围 · 记性质：掌握两条核心性质，会用绝对值化简 · 会化简：能化成最简二次根式，不含分母、不开得尽方 · 熟运算：加减乘除全过关，会合并同类二次根式 · 避陷阱：不瞎合并、不忘非负条件、计算步骤规范 预习必备 知识点梳理 1.二次根式的概念 2,二次根式的性质 3.二次根式的运算 4.核心易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.求二次根式的值 2.求二次根式中的参数 3.利用二次根式的性质化简 4.二次根式有意义的条件 5.二次根式的乘法 6.二次根式的除法 7.分母有理化 8.最简二次根式的判断 9.化为最简二次根式 10.已知最简二次根式求参数 11.二次根式的大小比较 12.复合二次根式的化简 13.同类二次根式 14.二次根式的加减运算 15.二次根式的混合运算 16.已知字母的值.化简求值 强化通关 (解答题8题) 【知识点01.二次根式的概念】 1. 定义 形如 （a≥0） 的式子叫做二次根式；“​” 是二次根号（根指数 2 省略），a 是被开方数（数、单项式、多项式、分式均可）。 判定两要素：① 含二次根号；② 被开方数 a≥0。 2. 有 / 无意义的条件 有意义 ⟺ 被开方数 a≥0（求字母取值范围的核心依据）。 无意义 ⟺ 被开方数 a<0。 3. 双重非负性（核心性质） ≥0 且 a≥0（a≥0 时）。 推论：若 +=0、+∣b∣=0、+b2=0，则 a=b=0（“0+0=0” 模型）。 【知识点02.二次根式的性质】 1. 性质 1：()2=a（a≥0） 作用：去根号、计算、将非负数写成平方形式（如 5=()2）。 注意：仅当 a≥0 时成立，a<0 无意义。 2. 性质 2：=∣a∣=​ 易错点：必须先取绝对值再化简，不可直接去根号。 【知识点03.二次根式的运算】 1.最简二次根式（运算前提） 满足两个条件： (1)被开方数不含分母（分母有理化）； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 2.乘法运算 法则：⋅=​（a≥0,b≥0）。 推广：多个二次根式相乘，=（a,b,c≥0）。 带系数：mn=mn（a≥0,b≥0）。 逆用（因式内移）：a=b（a≥0,b≥0）。 3.除法运算 法则：=（a≥0,b>0）。 分母有理化：将分母中的根号去掉（核心：乘分母的有理化因式）。 4.加减运算（本章难点） 同类二次根式：化成最简后，被开方数相同的二次根式 步骤： 1 化：将所有二次根式化为最简二次根式； 2 找：找出同类二次根式； 3 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变）； 4 整：结果化为最简。 公式：m±n=(m±n)（a≥0）。 5.混合运算 顺序：先乘除、后加减；有括号先算括号内；能用乘法公式简化则用公式。 常用公式： 平方差：(+)(−)=a−b； 完全平方：(±)2=a±2+b（a,b≥0）。 【知识点04.核心易错点总结】 1.忽略被开方数非负（求范围、化简、运算均易错）； 2.直接写成 a，未加绝对值； 3.运算结果未化为最简二次根式； 4.分母有理化时漏乘、符号错误； 5.加减运算时，非同类二次根式直接合并 【题型1.求二次根式的值】 【典例】二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为 ． 【跟踪专练2】观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【题型2.求二次根式中的参数】 【典例】当 时，二次根式的值为0． 【跟踪专练1】如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【跟踪专练2】二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【题型3.利用二次根式的性质化简】 【典例】下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】当时，式子的值是 ． 【跟踪专练2】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（   ） A． B． C． D． 【题型4.二次根式有意义的条件】 【典例】要使二次根式有意义，y的值可以是 ． 【跟踪专练1】已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】已知，是实数，且满足，则的值为 ． 【题型5.二次根式的乘法】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】若，，则的值用，可以表示为 ． 【跟踪专练2】若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 【题型6.二次根式的除法】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】能使等式 成立的x的取值范围是 ． 【题型7.分母有理化】 【典例】已知，，则m和n的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8.最简二次根式的判断】 【典例】下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列整数能使为最简二次根式，则可以是（      ） A．5 B． C． D．8 【跟踪专练2】将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ． 【题型9.化为最简二次根式】 【典例】下列二次根式中可以与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【题型10.已知最简二次根式求参数】 【典例】如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【跟踪专练1】已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【跟踪专练2】已知，则 ． 【题型11.二次根式的大小比较】 【典例】比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【跟踪专练2】在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A． B． C． D． 【题型12.复合二次根式的化简】 【典例】已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【跟踪专练1】把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【跟踪专练2】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【题型13.同类二次根式】 【典例】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】最简根式与是同类二次根式，则 ． 【跟踪专练2】化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【题型14.二次根式的加减运算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 【题型15.二次根式的混合运算】 【典例】若，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】解方程的结果为 ． 【跟踪专练2】如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 【题型16.已知字母的值.化简求值】 【典例】已知，，则的值为 ． 【跟踪专练1】当时，代数式的值为（   ） A．3 B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，则代数式的值为 ． 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2) 3．站在海拔为的地方看到的水平距离为，它们近似地符合公式．登山者从海拔处登上海拔为的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？ 4．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 5．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 6．先化简，再求值：已知，求代数式的值． 7．已知，求式子的值． 8．已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $