专题01二次根式易错必刷题型专项训练(20大题型共计60道题)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题01二次根试易错必刷题专项训练 易错必刷题型 本专题汇总二次根式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错 扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.二次根式的识别 题型02.二次根式有意义的条件 题型03.求二次根式的值 题型04.求二次根式中的参数 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法运算 题型07.二次根式的除法运算 题型08.分母有理化 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.已知最简二次根式求参数 题型12.二次根式的乘除混合运算 题型13.二次根式的大小比较 题型14.复合二次根式化简 题型15.同类二次根试 题型16.二次根式的加减运算 题型17.二次根式的混合运算 题型18.已知字母的值化简求值 题型19.已知条件式化简求值 题型20.二次根式的实际应用 易错秘刷题型01.二次根式的识别 典题特征：罗列哆种根式、非根式式子，区分判定一次根式 易错点：混淆二次根式与立方根，默认负数可开平方 1.下列式子中，一定是二次根式的是() A.27 B.3 c. D./x2+1 2.下列式子中： ,-5000,27,8, -20252,二次根式的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码， 试卷第1页，共3页 其单项式依次为：2a,4√2a2,6√5a3,84a,105a.,则第n个单项式是(） A.2nvna B.2nvn+la" C.2(n+1)na" D.2(n-1)Vna" 易错必刷题型02.二次根式有意义的条件 典题特征：含单根式、分式根式、双根式组合式，求自变量取值范围 易错点：只满足被开方数非负，忽略分式分母不为零 4.函数y=√3x-1中自变量x的取值范围是() 1 1 A.x23 B.x>5 C.x23 D.x≠ 3 3 5.已知有理数a,b满足√a-5+3√10-2a=ab+2,则a+5b的算术平方根是 6.若m、xy满足关系式√m-2+√2-x+y+Vx-y-2=2,则Vm的值为() A.√6 B.6 C.2 D.√2 09 易错必刷题型03.求二次根式的值 典题特征：计算纯根式、根号内含平方数的算式结果 易错点：混淆算术平方根与平方根，出现负数值答案 7.下列各式是二次根式的是() A.√4 B.5 C.V2-π D.阿 8.代数式√n2+4的最小值为 9.若√a-1+(2a+b-12=0求V4a+b2的值。 09 易错必刷题型04.求二次根式中的参数 典题特征：依据根式等式成芯立条件，求解字母取值范围 易错点：乱用不等号，把≥写成>，取值范围写反 10.当a= 时，二次根式√4+2a的值是0. 试卷第1页，共3页 11.己知n是正整数，√27n是整数，则的最小值是() A.0 B.1 C.3 D.27 12.已知二次根式√2x-4,回答下列问题： (1)当x为何值时，该二次根式有意义？ (2)当x=6时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为2时，求x的值. 易错必刷题型05.利用二次根式的性质化简 典题特征： 给定字母取值区间， 化简2型代数式 易错点：省略绝对值步骤，不会根据范围判断正负 13.下列式子错误的是（) A.V4+9=2+3B.√4×9=2×3 C.V92=9 D.(3=3 14.若(3x+2y-19)2+2x+y-11=0,则Vx+y的值是 15.已知m,n是两个连续自然数(m<n),且9=mn,p=√g+n+Vg-m,求证：p是奇 数. 69 易错必刷题型06.二次根式的乘法运算 典题特征：含整数系数的二次根式两两相乘计算 易错点：根式外系数忘记相乘，计算结果未化成最简 16.若√5=a,√5=b,用含a,b的式子表示√60为 17.下列计算中，正确的是() A.3√5-25=1 B.(1-2)1+2)=-1 c.(22-2)(22+2)=4 D.（3+5=8 18.计算： ()5+3xV5-V20 2(7+27-2+(2-5° 试卷第1页，共3页 易错必刷题型07.二次根式的除法运算 典题特征：二次根式单独相除、系数根式同步除法计算 易错点：系数与被开方数运算混淆，结果保留分母根号 19.计算： (1)√10÷√5=10÷5=； 4. =4= 20.若a>0,b>0,则 Va a A.avab B.vab C.aab D. -ab a ab 21.计算： 0V: e6-日va. 易错秘刷题型08.分母有理化 典题特征正：处理分母为单项根号、 两项根式的代数式化简 易错点：分子未同步乘有理化因试，两项分母不会变形 2025 22.已知m= V2026-1’则m2-2m-2025= 23.对于正整数n,定义f(n)= 、1 Vn+yn+i, 例如：川2)=2+5则 f1四+f(2)+f(3)+…+f(2025)的值为0 A.√2025-1B.V2026-1 C.√2025+1 D.√2026+1 24.小鹏在解决问题：已知a 2+5,求2a2-8a+1的值时，他是这样分析与解决的： 1 1 (2-5 ,a= =2-√3， 2+5(2+V3)(2-3 ∴(a-22=a2-4a+4=3, .a2-4a=-1, 试卷第1页，共3页 .2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×(-1)+1=-1, 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： 1 (①)计算： 1+2√2+55+4 V2025+V20269 2若a=5-2 ①求3a2-12a+1的值： ②求2a3-10a2+6a+3的值. 易错必刷题型09.最简二次根式的判断 典题特征：批量判断各式子是否符合最简根式标准 易错点：看不出被开方数中平方因数，无视内含分数形式 25.在二次根式4，√万，8， 中，最简三次根式是 26.若式子√⑧-x是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个 27.能够使Vx2-5与√一x+1是同类最简二次根式的x值是() A.-3 B.2 C.-3或2 D.不存在 易错必刷题型10.化为最简二次根式 典题特征：把带分数、小数、复杂根式统化成最简形式 易错点：分数根式换算出错，因式拆分不彻底 28.下列式子中，最简二次根式是() A.⑧ B.√6 C.4 D. 29.若√32与最简二次根式√31-4可以合并，则t的值为 30.若最简二次根式√2m-8与√m+5可以合并，则√3m+6的值是(). A.35 B.35 C.45 D.4V5 易错必刷题型11.已知最简二次根式求参数 典题特征：告根式为最简形式，求解式子中字母数值 试卷第1页，共3页 易错点：求出数值后，不冈验证被开方数非负条件 31.已知5与最简二次根式va-1是同类二次根式，则a的值为· 32.若最简二次根式mn与√3m+n可以合并，则m,的值为() A.m=2,n=0B.m=1,n=1 C.m=1,n=-1D.m=0,n=2 33.若最简二次根式3x-Q2x+y-5和Vx-3y+11是同类二次根式. (1)求x、y的值； (2)x、y平方和的算术平方根. P易错必刷题型12.二次根式的嵊除混合运算 典题特征：同一算式内连续进行根式汞除连贯计算 易错点：违背从左至右运算醇，跳步计算出现纰漏 34.计算⑧÷昼×情 3 结果为() A.32 B.4√2 C.52 D.62 化简厚6 的结果 36.计算： (0212x5 ÷5V2; (2)-6√8x2√6÷4√27； o、43w5io ④22x2÷52; 易错必刷题型13.二次根式的大小比较 典题特征：比较普通根式、带系数根式之间数值大小 易错点：直接比对数大小，不会统一转化后北较 37.已知：m=0+ ,n=√0-1，比较m、n的大小() 2 A.m>n B.m<n C.m=n D.无法确定 试卷第1页，共3页 38.己知a=√5+√万，b=25,则a与b的大小关系为 39.素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法.例如，比较2√6和 3√3的大小时，我们可以将26和33分别平方. :(26=24,(35=27,24<27,.2W6<33. 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小.如在图1的方格纸中， AB=√2，AC=√5，显然AC>AB,√5>√2 根据以上素材，解决下面问题： B A 图1 图2 (1)比较大小：4√58： (2)小明在比较√2+2与√10的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“√2+2>√10”： ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“√2+2>√10”. 09 易错必刷题型14.复合二次根式化简 典题特征：化简根号内部含有加减根式的复欧三式子 易错点：无法凑出完全平方式，化简后符号判定错误 40.已知a<0,则化简V-ab的结果是() A.-aab B.aab C.-aab D.avab 41.化简2√4+2√5-V21-125的结果为 42.阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)及二次根式的性质Va=la化去一层根号.例如： 试卷第1页，共3页 i0+46=V2+2x2x6+(6=2+6=2+6=2+V6 解决问题： ()在横线上填上适当的数： V4+25=V4+2x1x5=V)2+()2+2x1xV5=V)2= (2)根据上述思路，试将V11-6√互予以化简. 易错必刷题型15.同类二次根式 典题特征：先化简再别同类根式，借助同类条件求参数 易错点：不经化简直接判定同类，遗漏字母取值限制 43.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是() A.18与5B.12与√2 6与得 D.√40与5 4.下列各组二次根式：①V8和20；②V3x和8x;⑧2h6和6， ④-√27r和 化简后其中是同类次根式的是 45.若a和b都是正整数且a<b,√a和√b是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个 数为() ①只存在一组a和b使得√a+√b=√18； ②只存在两组a和b使得√ā+√b=√5； ③不存在a和b使得√a+√b=√260. A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 易错必刷题型16.二次根式的劬加减运算 典题特征：多个化简完成的根式进行合并加减计算 易错点：强行合非同类根式，去括号时符号变换错误 46.若√m+√n=18,则m与的值不可能是() A.m=9,n=2 B.m=8,n=2 试卷第1页，共3页 1 25 9 9 C.m=2n D.m=2,n=2 2 的结果为 48.计算： 0+-2- (2)V24×, P易错必刷题型17.二次根式的混合运算 典题特征：结合平方差、完全平方公式进行根式综合计算 易错点：公式书写缺项，搞错先汞除后加减运算顺序 49.计算2-27+6：的结果是 50.已知m=(315+V20x5 ,则实数m的范围是() A.6<m<7 B.7<m<8 C.8<m<9 D.9<m<10 5.计算：-×s+而-2m+2列 09 易错必刷题型18.已知字母的值.化简求值 典题特征：给出字母具体数值，代入根式代数式计算结果 易错点：原式不化简直接代入，计算步骤繁琐极易算错 52.若m=5-√2025，则代数式m2-10m+26的值是 53.已知：a=3-√2，b=3+√2，则代数式(3a2-18a+15(2b2-12b+13)的值是() A.6 B.24 C.42 D.96 54.求代数式的值：1--2。x2-4 其中x=√2-2 xx2+x 易错必刷题型19.已知条件式化简求值 典题特征：已知两数和、积，整体代入求解根式代数式 易错点：不会整体配方变形，开方后随意取舍正负值 55.已知x=√5-2，则代数式x2+4x-6的值为() 试卷第1页，共3页 A.5-2 B.6 C.-5 D.5 56.若x-y=√5+1，xy=2W5,则代数式x-1(y+)的值等于 57.计算： 02-6y5+3s, (2)已知x=√5+√5，y=√5-√5，求x2-y+y2的值 题易错必刷型20.二次根式的实际应用 典题特征：结合几何边长、长度测量等实际场景列式计算 易错点：算出负数结果不舍去，答案不符合实际长度要求 58.若三角形三边长分别为a、6、c,记p-a+b+c,则三角形的面积为 2 s=√p(p-a(p-b(p-c,此公式被称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式 计算以下ABC的面积为 4 59.如图，从一张大正方形纸片中裁去面积分别为8cm?和18cm的两个小正方形，则剩下部 分的面积为() 8cm 18cm2 A.16cm2 B.20cm2 C.24cm2 D.26cm2 60.如图，小明家有一块长方形空地ABCD,长BC为√72m,宽AB为√32m.现要在空地 中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓.其中长方形水池的长为 o+m,宽为（o-m. 试卷第1页，共3页 (I)求长方形空地ABCD的周长； (2)求小明家种草莓的面积. 试卷第1页，共3页 专题01二次根式易错必刷题型专项训练 本专题汇总二次根式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.二次根式的识别 题型02.二次根式有意义的条件 题型03.求二次根式的值 题型04.求二次根式中的参数 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法运算 题型07.二次根式的除法运算 题型08.分母有理化 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.已知最简二次根式求参数 题型12.二次根式的乘除混合运算 题型13.二次根式的大小比较 题型14.复合二次根式化简 题型15.同类二次根式 题型16.二次根式的加减运算 题型17.二次根式的混合运算 题型18.已知字母的值.化简求值 题型19.已知条件式.化简求值 题型20.二次根式的实际应用 易错必刷题型01.二次根式的识别 典题特征：罗列多种根式、非根式式子，区分判定二次根式 易错点：混淆二次根式与立方根，默认负数可开平方 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式． ∵选项A中的根指数为3，是三次根式， ∴A不符合要求． ∵选项B中的被开方数，式子无意义， ∴B不符合要求． ∵选项C中的被开方数可能小于0，此时式子无意义， ∴不是一定为二次根式，C不符合要求． ∵对任意实数，都有， ∴，根指数为2，满足二次根式的定义，一定是二次根式， ∴D符合要求． 2．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 3．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 易错必刷题型02.二次根式有意义的条件 典题特征：含单根式、分式根式、双根式组合式，求自变量取值范围 易错点：只满足被开方数非负，忽略分式分母不为零 4．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 5．已知有理数，满足，则的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的非负性、解一元一次方程以及代数式的化简与求值，由二次根式的非负性得出的值，进而求出的值，再将，的值代入即可求出． 【详解】解：由二次根式的非负性可知，解得， ， ， 解得， ． 6．若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，． 由 得 ， 由 得 ，即 ， ∴ ． 代入原式：， ， ∴ ， 两边平方得 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 易错必刷题型03.求二次根式的值 典题特征：计算纯根式、根号内含平方数的算式结果 易错点：混淆算术平方根与平方根，出现负数值答案 7．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 8．代数式的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 9．若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 易错必刷题型04.求二次根式中的参数 典题特征：依据根式等式成立条件，求解字母取值范围 易错点：乱用不等号，把≥写成＞，取值范围写反 10．当__________时，二次根式的值是0． 【答案】 【分析】根据二次根式的值为0，可知被开方数为0，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 两边平方，得． 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 11．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 12．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 易错必刷题型05.利用二次根式的性质化简 典题特征：给定字母取值区间，化简型代数式 易错点：省略绝对值步骤，不会根据范围判断正负 13．下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项，左边，右边，， 等式错误，符合题意； 选项，左边，右边，左边右边， 等式正确，不符合题意； 选项，左边右边， 等式正确，不符合题意； 选项，左边右边， 等式正确，不符合题意． 14．若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据平方的非负性与绝对值的非负性列出二元一次方程组，求出的值，再根据二次根式的性质得到结果． 【详解】解：∵， ， 得： ， ∴， ． 15．已知m，n是两个连续自然数，且，，求证：p是奇数． 【答案】见解析 【分析】根据连续自然数的关系得到，结合可推出，利用二次根式的性质化简，最终整理得到，即可证明是奇数． 【详解】证明：∵，是两个连续自然数，且， ∴， ∵， ∴， 将代入得 同理可得 将代入得 ∴， ∵，是自然数， ∴ 将代入得， ∵是偶数， ∴是奇数， ∴是奇数． 易错必刷题型06.二次根式的乘法运算 典题特征：含整数系数的二次根式两两相乘计算 易错点：根式外系数忘记相乘，计算结果未化成最简 16．若，用含的式子表示为___________． 【答案】 【详解】解：． 17．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A： ，∴ A错误； B： ，∴ B正确； C：，∴ C错误； D：，∴ D错误． 18．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法，零次幂，再合并即可. 【详解】（1）解： . （2）解： . 易错必刷题型07.二次根式的除法运算 典题特征：二次根式单独相除、系数根式同步除法计算 易错点：系数与被开方数运算混淆，结果保留分母根号 19．计算： （1）_____； （2）__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）应用二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法即可； （2）应用二次根式的除法法则，先计算被开方数的除法，再开方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 故答案为：，，． 20．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的除法运算法则，分别对系数和被开方数计算，再化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法、除法运算法则求出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型08.分母有理化 典题特征：处理分母为单项根号、两项根式的代数式化简 易错点：分子未同步乘有理化因式，两项分母不会变形 22．已知，则________． 【答案】0 【详解】解：， ． 23．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 24．小鹏在解决问题：已知，求的值时，他是这样分析与解决的： ， ， ， ． 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①4；②1 【分析】（1）先将各项分母有理化，然后前后相消，即可计算； （2）①仿照例题解答即可； ②将所求式子变形为即，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴ ． 易错必刷题型09.最简二次根式的判断 典题特征：批量判断各式子是否符合最简根式标准 易错点：看不出被开方数中平方因数，无视内含分数形式 25．在二次根式，，，中，最简二次根式是________． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 26．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 27．能够使与是同类最简二次根式的x值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可 【详解】根据题意得： ，且，， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键 易错必刷题型10.化为最简二次根式 典题特征：把带分数、小数、复杂根式统一化成最简形式 易错点：分数根式换算出错，因式拆分不彻底 28．下列式子中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵选项A中是三次根式，不是二次根式，∴A不符合要求； ∵选项C中，被开方数是能开得尽方的因数，∴C不是最简二次根式，不符合要求； ∵选项D中的被开方数含分母，可化简为，∴D不是最简二次根式，不符合要求； ∵选项B中根指数为2，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，∴选B． 29．若与最简二次根式 可以合并，则t的值为__________． 【答案】2 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据题意可得与最简二次根式是同类二次根式，据此根据同类二次根式的定义建立方程求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式可以合并， ∴与最简二次根式 是同类二次根式， 解得． 30．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 易错必刷题型11.已知最简二次根式求参数 典题特征：告知根式为最简形式，求解式子中字母数值 易错点：求出数值后，不验证被开方数非负条件 31．已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 【答案】 4 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，是最简二次根式，也是最简二次根式，二者是同类二次根式， 因此被开方数相等，可得 解得． 32．若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 33．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值； （2）将和的值代入代数式得出答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， 解得，． （2）解：当，时． 【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键． 易错必刷题型12.二次根式的乘除混合运算 典题特征：同一算式内连续进行根式乘除连贯计算 易错点：违背从左至右运算顺序，跳步计算出现纰漏 34．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 35．化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 易错必刷题型13.二次根式的大小比较 典题特征：比较普通根式、带系数根式之间数值大小 易错点：直接比对系数大小，不会统一转化后比较 37．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 38．已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 39．素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 【答案】(1)＞； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查二次根式的大小比较，实数的乘方，三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． （1）分别求出两个数的平方，再比较大小即可； （2）①根据平方法比较大小的步骤，逐步求解即可；②画出三角形，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：>． （2）解：①证明：∵， ，而， ∴， ∴． ②如图，，，． ∵， ∴． 易错必刷题型14.复合二次根式化简 典题特征：化简根号内部含有加减根式的复杂式子 易错点：无法凑出完全平方式，化简后符号判定错误 40．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 41．化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 42．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；1；；； (2) 【分析】（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型15.同类二次根式 典题特征：先化简再辨别同类根式，借助同类条件求参数 易错点：不经化简直接判定同类，遗漏字母取值限制 43．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误； ，则与不是同类二次根式，故B错误； ，则与是同类二次根式，故C正确； ，则与不是同类二次根式，故D错误． 44．下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【答案】③④ 【分析】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：① 化简得：，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ② 化简得：为最简二次根式，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ③ 化简得：为最简二次根式，二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； ④ 由二次根式有意义可知，得， 化简得：， 二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； 故化简后其中是同类二次根式的是③④． 45．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 可设，，其中和都是正整数， 则， 又，∴， ∴只有满足条件的一组数，，， 此时，， 故只存在一组解，选项①正确； ②由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足条件的正整数对有和， 当时，，； 当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件， 故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确； 故选：C． 易错必刷题型16.二次根式的加减运算 典题特征：多个化简完成的根式进行合并加减计算 易错点：强行合并非同类根式，去括号时符号变换错误 46．若，则与的值不可能是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据二次根式运算法则，将各选项代入计算即可． 【详解】解：A、当，时，，故该选项符合题意； B、当，时，，故该选项不符合题意； C、当，时，，故该选项不符合题意； D、当，时，，故该选项不符合题意． 47．计算的结果为_________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 48．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型17.二次根式的混合运算 典题特征：结合平方差、完全平方公式进行根式综合计算 易错点：公式书写缺项，搞错先乘除后加减运算顺序 49．计算的结果是________． 【答案】 【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： ． 50．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， 即． 51．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 易错必刷题型18.已知字母的值.化简求值 典题特征：给出字母具体数值，代入根式代数式计算结果 易错点：原式不化简直接代入，计算步骤繁琐极易算错 52．若，则代数式的值是_______． 【答案】2026 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式配方，再代入已知条件计算，简化运算过程． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式． 53．已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 【答案】A 【分析】先根据、的值，利用完全平方公式推导出和的值，再将所求代数式变形为含这两个式子的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 54．求代数式的值：，其中． 【答案】 【分析】原式将除法转换为乘法，约分后得，再通分可得，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 易错必刷题型19.已知条件式.化简求值 典题特征：已知两数和、积，整体代入求解根式代数式 易错点：不会整体配方变形，开方后随意取舍正负值 55．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对二次代数式配方变形，简化代入计算即可求解． 【详解】解： 又∵ ∴ 将代入变形后的式子得原式． 56．若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 57．计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2），， ，， ． 题易错必刷型20.二次根式的实际应用 典题特征：结合几何边长、长度测量等实际场景列式计算 易错点：算出负数结果不舍去，答案不符合实际长度要求 58．若三角形三边长分别为，记，则三角形的面积为，此公式被称为海伦－秦九韶公式，请你利用海伦－秦九韶公式计算以下的面积为______． 【答案】 【分析】根据图形确定三角形的三边长，利用公式求出半周长的值，再将及三边长代入海伦－秦九韶公式进行计算，最后化简二次根式即可． 【详解】解：由图可知，的三边长分别为，，， 令，，，则， 代入海伦－秦九韶公式 ． 59．如图，从一张大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求出两个正方形边长后再求得大正方形边长，继而即可求得阴影面积． 【详解】解：∵从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， ∴两个小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形边长为， ∴大正方形面积为：， ∴阴影面积为：. 60．如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的周长公式求解即可； （2）小明家种草莓的面积等于长方形的面积减去长方形水池的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， 答：小明家种草莓的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $