26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质&26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学同步练（人教版·新教材）

指南针·课堂优化·元年级上册·数学(RJ) 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 A基础过关公 B能力提升 1.抛物线y=2x2,y=x2,y=一x2的共同性质6.如图，正方形四个顶点的 是：①都是开口向上；②都以点(0,0)为顶 坐标依次为(1,1)，(3,1)， 点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对 (3,3),(1,3).若抛物线 称.其中正确的个数有 ( y=ax的图象与正方形有 A.1个 B.2个 公共点，则实数a的取值范 C.3个 D.4个 围是 2.若y=(1一m)xm2-2是二次函数，且图象开口7.如图，二次函数y=x2与直线y=kx十b交于 向下，则m的值为 ) P、Q两点，且与x轴交于M(2,0),点P的 A.m=±2 B.0 横坐标为-2. C.m=-2 D.m=2 求：(I)直线y=kx+b的解析式； 3.已知点(-1，y),(2,y2),(-3,y)都在函数 (2)Q的坐标； y=x的图象上，则y、2、的大小关系是 (3)求P、Q与原点O围成三角形的面积， 4.在函数y=x2中，若-1≤x≤2，则y的取值 范围是 5.如图，已知二次函数y=ax2的图象经过点 , (1)求抛物线的解析式： (2)求抛物线上纵坐标等于3的点的坐标， 并在图象上描出符合条件的点； (3)观察图象回答，当x在什么范围内 时，y<3? ·20· 第二十六章二次函数 26.2.2二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k 6.若点(x1,y)和(x2,y2)在二次函数y= 的图象和性质 号-2的图象上，且<<0，则与 y2的大小关系为 A基础过关A 7.小明在某次投篮中，球的 y(0,3.5) 1.二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线 运动路线是抛物线y= 05i 下列关于该抛物线的说法，正确的是() 吉r+35的一部分，如 -2.5m A.抛物线开口向下 图，若命中篮圈中心，则他 B.抛物线经过点(2,3) 与篮底的距离1是 m C.抛物线的对称轴是直线x=1 8.若抛物线y=ax2十k经过点A(-3,2), D.抛物线与x轴有两个交点 B(0,一1)，求该抛物线的解析式. 2.把抛物线y=ax2+k向上平移2个单位，得 到抛物线y=x2,则a,k的值分别是() A.1,2 B.1,-2 C.-1,2 D.-1,-2 3.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二 次函数y=x2十a的图象可能是 来 4.一抛物线的顶点坐标为(0,5)，形状与抛物 B能力提升E 线y=√2x2相同，在对称轴右侧，y随x增 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+3 大而减小，则该函数关系式为 () 与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线 A.y=-√2x2+5 B.y=-5.x2+√2 交抛物线y=号2于点B.C则BC的长为 C.y=-5x2-√2 D.y=√2x2-5 5.函数y=-2x2-4的图象开口向 ,对 称轴是 ,顶点坐标 ,当 时，y随x的增大而减小. ·21· 指南针·课堂优化·元年级上册·数学(RJ) 10.已知正比例函数y=kx与抛物线y=a2+3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2 相交于点(2,4). 的图象和性质 求：(1)正比例函数和抛物线的解析式； (2)求正比例函数图象上纵坐标为，的点A A基础过关日 与抛物线的顶点B及原点围成的三角形的 1.抛物线y=-2(x十3)2的顶点在 ( 面积. A.x轴正半轴上 B.x轴负半轴上 C.y轴正半轴上 D.y轴负半轴上 2.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x 2),则这个平移过程正确的是 () A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向上平移2个单位 D.向下平移2个单位 3.下列函数：①y=-9x;②y=5x+3;③y= 4(x+2)2(x>-2).其中当x在各自的自变 量取值范围内取值时，y随x的增大而增大 的函数有 () A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.观察函数y=2x2,y=2(x+3)2,y=2(x- 3)2的图象回答下列问题： (1)这三个函数图象的形状 ,位置 >》》方法归纳坐 (2)这三个函数图象的对称轴分别为 二次函数y=ax2十k与y=a.x2图象 之间的关系 (3)这三个函数图象的顶点坐标为 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象 形状相同，只是位置不同.抛物线y=ax2十k (4)函数y=2(x+3)2的图象向 平移 可由抛物线y=ax2沿y轴向上（下）平移 个单位得y=2(x一2)2的图象 k|个单位长度得到.当>0时，抛物线y 5.抛物线y=x2+kx+16的顶点在x轴的负 =ax2沿y轴向上平移k个单位长度得到 半轴上，则的值为 抛物线y=ax2十k;当k<0时，抛物线y 6.如果(2，y1),(3,y2)是抛物线y=(x+1)2 ax2沿y轴向下平移k个单位长度得到抛 上的两点，那么y y2.(填“>”或 物线y=ax2十b. “<”) 22· 第二十六章二次函数 7.已知直线)y-kx+6经过抛物线y=2+3 10.如图，以边长为1的正方形ABCO的两边 OA,OC所在直线为轴建立坐标系，点O为 的顶点A和抛物线y=3(x-2)2的顶点B, 原点.求 则直线AB的解析式为 (1)以A为顶点，且经过点C的抛物线的解 8.已知抛物线y=a(x一h)2的对称轴为x=-2, 析式； 且过点(1，-3). (2)上题中的抛物线与对角线OB交点D (1)求此抛物线的解析式； 的坐标. (2)画出函数的图象； (3)从图象上看，当x取何值时，y随x的增 大而增大？当x取何值时，函数有最大值 (或最小值)？ B能力提升E 9.(南充中考)若点P(m,n)在抛物线y=ax2 (a≠0)上，则下列各点在抛物线y=a(x+ 1)2上的是 () A.(m,n+1) B.(m+1,n) C.(m,n-1) D.(m-1,n) ·23· 指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(RJ) 第3课时 二次函数y=-a(x-h)2十k7.把抛物线yb2平行移动，顶点移到 的图象和性质 （-3,一2)，得到抛物线 如果顶点移到(2,3)，那么得到抛物线 A基础过关® 8.如图，把抛物线y=x2沿直 1.(哈尔滨中考)抛物线y=（x-3)+4的 线y=x平移√2个单位后，其 顶点坐标是 顶点在直线上的A处，则平 A.(3,4) B.(-3,4) 移后的抛物线解析式是y= C.(-3,-4) D.(3,-4) 2.把函数y=(x一1)2+2的图象向右平移19.用配方法写出下列抛物线的开口方向、对称 个单位长度，平移后图象的函数解析式为 轴和顶点坐标 ( (1)y=x2-2x-3; A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2十3 3.二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为 （2y-2女-2x+1. 4.（威海中考)已知点(-2，y1),(3,y2),(7,y) 都在二次函数y=-(x一2)2十c的图象上， 则y1,y2,y的大小关系是 () A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y>y3 D.y3>y2>y1 5.(甘孜州中考)对于抛物线y=2(x一1)2+3， 下列说法正确的是 () A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为(1,3) C.抛物线的对称轴为直线x=一1 D.当x>一3时，y随x的增大而增大 6.(绍兴中考)关于二次函数y=2(x-4)2+6的 最大值或最小值，下列说法正确的是() A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6 ·24· 第二十六章二次函数 10.若抛物线y=-2(x-2)2一k的顶点在一 (1)图象的顶点坐标(2，-2)，累积利润S 次函数y=x一4上，求函数的顶点坐标. (万元)与时间t(月)之间的函数关系式为 S=a(t-h)2+k.求其解析式. (2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30万元？ (3)求第8个月公司所获利润是多少万元？ ◆S(万元) B能力提升E 11.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m 时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形 是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面 直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的 抛物线解析式是y=一(x一6)+4，则选 取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 4m 12m B本 12.当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)2+ m2+1有最大值4，则实数m的值为 13.如图，某公司推出了一种高效环保型洗涤 用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈 利的过程，如图刻画了该公司年初以来累 积利润S(万元)与销售时间（月）之间的关 系（即前t个月的利润和S与t之间的 关系). 根据图象提供的信息，解答下列问题： ·25·指南针·深堂优化·九年级上册·数学参考答案(RJ》 指南针·课堂优化·九年级上册·数学·同步参考答案 第二十五章一元二次方程 (3)x1=1+6,x1=1√6 14.(1)2(2)不存在.理由略 (2)0<x<15(3)五=4，=11 9.证明：2x2-4x十3=2(2-2x)十3 =2(x-10+1≥1>0， 25.3实际问题与一元二次方程 1.1)y=-7t+50(0<x<10)(2)6cm 25.1一元二次方程的概念 .无论x为何值，代数式2一4x十3的值恒大于0 第1课时变化率问题 26.2二次函数的图像和性质 基础过关 能力提升 基础过关 1.C2.A3.B 10.111.212=1+24a=1-8i13号或-删 1.C2.A3.A 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 4.(1)≠士1(2)=一15.6 4.10% 基础过关 6.15x(10-x)=3607.1一2 25.2.2公式法 5.60+60(1+x)+60(1+x)2=200 1.B2.D 8.(1)m=4,二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 基础过关 6.(1)50%(2)能.理由路 3.为<y<为4.0≤r≤4 (2)m=3或m=2 1,B2.C3C4.B 能力提升 7.28.(1)25%(2)30 5y=寻2 (2)(2,3)、(一2,3)，图略(3)一2<x<2 9.17cn 能力提升 9.(1)500(2)20(3)1500 能力提升 10.-211.-9 7)=1+ 第2课时图形问题 12.(1)x(x一1)=756 =1-⑤ 6.日≤a≤3 基础过关 (2)x一x-756=0,a=1,b=-1,c=-756 13.3023 2%=%-号 1.D2.A3A4.B 7.(1)y=-x十2(2)(1,1)(3)3 14.(1)证明：a十c=一b. 8a=-5+3 ,6=-5-37 526100时71m8m 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k 6 的图象和性质 ∴a+b+e=0, 能力提升 当x=1时，ax2十bz十c=a×12+6×1+e=a+b+ 能力提升 9.4m或6m10.6 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 c■0. 9四10冬 11.-2m 1L.分别在10s,155,30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形基础过关 ∴x=1必是方程a2十十e=0(a≠0)的一个根 1.D2.B3.C4.A 12.(1)m<2(2)x=0,=2 的面积是450cm (2)a-b十c=0 5.下x=0(0,-4)x>0 13.(1)略(2)m=2或3(3)1.5 第二十五章 章末测试 25.2.3因式分解法 6.为<3 25.2降次—解一元二次方程 1.A2.A3.A4.B5.A 7.4 基础过关 25.2.1配方法 1.D2.D3.C 61-是7138-4048 8y=}2-1 第1课时直接开平方法 4,65.因式分解法6.1 3w-1G 910为=1+ 能力提升 基础过关 3 9.6 1.C2.D3.B4.C 71)x=5+3 (2)x1=2十+√6，=2一6 5.士7 (2)x1=4+5,西=45 10.)y=2xy=子+3(2)爱 (3)=-1,=5 61(客案不唯一，只要c≥0即可) (3)x1■3，■一1 第2课时二次函数y■a(x-h)2的图象和性质 7.8 8.一3或3 40=1+3 1w1 基础过关 81D面=0.3，函=-0.3(2=子为=-1 能力提升 9e=010.-号11.c 10.)号m(m十1)(3m+6)(2)第24个 1.B2.B3C 4.(1)相同不同(2)y轴，直线x=一3，直线x=3 (3)a-01,4=-21(0%-0,为=-号 (3)不能.理由略 (3)(0,0),(一3,0)，(3,0)(4)右5 12.1=p,n=m十2一p 11,(1)路(2)±1 9k=士6x=一3 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 12.(1)6米(2)40元 5.86.<7.y=-2x+3 能力提升 基础过关 10.=0,五=51.}12.2或-113.五=3,5=0 L.C2.C344.2 第二十六章 二次函数 8ay=-号6x+2 5.(1)=4,m=士6(2)略 (2)略 第2课时配方法 能力提升 26.1二次函数的概念 (3)当x<一2时，y随xr的增大而增大，当x=一2时，有 基础过关 6-181.(0)略(2m=1或m=号 基础过关 最大值0 1.A2.B3.C4.D 1.C2.A3.C4B 能力提升 51D42(2品0一品（343x2 专题训练（一）根的判别式及 5一4或16.117.a(1十x)2 9,D 根与系数的关系 8.(1)k=1(2)k≠0或k≠1 6.2 7.五=五=一1 能力提升 g=-1e(325,325) L,A2.A3.A4.>25.D6.A7.28.A9.B 9.y=-10x2+200x-360 第3课时二次函数y=a(x一h2十k的图象和性质 8.(10m=一2+5,4=-2-√5 10.B11.D 10.1)s=x(0-x）=一2+15u 基础过关 (2)为=6+4W2,为=6-4w2 12.213.(1)略(2)3或4 1.A2.C3.D4.C5.B6.D 37 38 指南针·课堂优化·九年级上册·数学参考答案(RJ) 7.y=2(x+3-2y=zx-2+3 专题训练（三）函数值的大小比较 12.(1)y=(x-1)2-1=x2-2x 8.(x-1)+1 1.为>边=为（或为■为<为） (2)S=-+2+1 27.3实际问题与反比例函数 基础过关 9.(1)开口向上，对称轴是x=1,顶点坐标为(1，一4) 2.C3A4.C5.D6.<7.B8.D9.1<m<5 (3)N(1,-1)或(3,3)或（一1,3） 1.C2.C3.A4.D5.B6B7.B (2)开口向上，对称轴是x=2,顶点坐标是(2，一1) 10.顶点坐标为(2，一2) 26.4实际问题与二次函数 第二十七章 反比例函数 8.409.2.5 能力提升 10.号11.y-12>0) 第1课时实际问题与二次函数（一） 12.(1)100(2)略(3)由函数图象可知：F是1的反比例函 .y=-(x+6y+4 27.1反比例函数的概念 基础过关 数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质 1.C2.C3.B4.B5.1216.1007.40 基础过关 12.2或一5 1.B2.D3.D4.B5.C6.B 可知，F随1的增大面减小，所以当QA的长增大时，拉力 8.(1)y=一5x+150(2)13元(3》每件消毒用品的售价 F减小 13.(0)5=2t-2)-2(2)1=10 为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元 7.②@0839.y=1210.(1y=18 (2)x=3 能力提升 (3)第8个月公司所获利狗为5.5万元 13.31.514.丙 9.(1)x=一0r+12x一320，x=60时，净利润最大，最大 11,嘉伦同学的解题过程不对， 26.2.3二次函数y=axr2+bx+c 15.（1)y=100x(0≤x≤4)y=1600(4≤x≤10 净利润是40万元(2)45≤x≤75：x为45时，销售量最大 由反比例函数的定义，得a2十@一1■一1， 的图象和性质 能力提升 解得a1=一1，as=0, (2)血波中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6 a十1≠0，a≠-1， 第1课时 二次函数的图象和性质 10.14411.26 小时 基础过关 12y=-r+是x+2A(-1.0.B4.0)（2 .当a=0时，函数y=(a十1)x+-'是反比例函数 1.D2.D3.D4.C5.D 2C13.0,44y=2 15.-416.3 专题训练（五）反比例函数 存在最大位，最大值为2，此时点E的坐标是(2,3). 6-4≤571)-是(2士48<-是 第2课时实际问题与二次函数（二） 17.(1)m=-1(2)y=一x- 系数k的几何意义 9.(1)地物线C1的函数表达式y=(x一3)一3 基础过关 18.(1)y= (2)略 (2)点P(a,一6)不在抛物线C:上，理由略 1.C2.A3C4.D5.226.会7.0.488.4.5 1D2A3C4y=-5-4647-4810 (3)>,理由略 9.(1)能射中球门 27.2反比例函数的图象和性质 能力提升 (2)他至少后退0.4m,才能阻止球员甲的射门 第1课时反比例函数的图象和性质 专题训练（六）反比例函数与一次函数 10.-11.0<m<号 能力提升 10.19.611.8 基础过关 1.(1)y=一4(26的值为9或1 1.D2.B3.B4.A5.A6.C7.B 12.(1)y=x-5x+6(2)Sx=3 12.(1)M12,0),P(6,6) (2)y=-1 x+2 2.(1)(0,9)(2)S6um=4 第2课时 求二次函数的关系式 (3)最大值为15米 8a(23)④9>号10.>L.4 基础过关 1.A2.C3.D4.D 专题训练（四） 二次函数与几何综合 12.(1y=>0. 3.0y=-2r+是(2（号，o） (2)直线y=x十5向下平移的距离 4ay=3红-3(2)S%m=含DE,CN= 5.y=-4(x-2)2+3 1.(1)y=x-2x-3 为6. 6.y=22-4x-16 (2)EF=2 能力提升 第二十七章章末测试 7.y=-2x2-4x-5 3)存在满足Su=6的点P点P的坐标为1一7,3)3.(-是，)14.9 能力提升 或(1+√7,3)或(0，一3)或(2，一3) 一、选择题 15.(1)略 83米9.y=2(红-4 2.(1)y=一x2+2x+3(2)略 1.B2.C3B4.D5.A6.D7.A8.C (2)①图象是中心对称图形②当x>一1时，y随着x 二，填空题 (3)ME的值为：3√一2或2-√3 的增大减小 10.(1)y=￥一4红x十3(2)点P的坐标为(2,1) 3.(1)当x<一1时，y随x的增大而增大 9.n>4 (3)左1(4)一1<x<3 (停，号)或(-吾，-号) 26.3二次函数与一元二次方程 (2)m=2(3)略 16.(1)是(2k<2且k≠0(3)m=9或m=-1 hy-是20<x<1或z<-1 基础过关 第二十六章 章未测试 第2课时反比树函数中的系数 13.(W,1)14.6 1.B2D3.A4.B5.-26.< 一、选择题 基础过关 三、解答题 7.k<1且k≠0 1.D2.C3C4.D 1.B2.B3.A4.B5.C6.A 15.(1》k=一6：n=2 8.49.-3<x<1 二、填空题 7.98.8 (2)D3,0):Sakx=4.5 10.(1)(-1,0)、(3,0).(0,一2)(2)图略，-1<x<3 5.(1,-4)6.-1和37.为>为>5为 9.(1)直线OP的解析式为y=x 16.(1)k=32,BC=3(2)点P的坐标为(0,10) 11.(1)交点为(-1.3)为=2十x十3(2)（一2,5） 8.y=16-2(1≤x<4)15m29.-4 17.(1)故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 12.(1)①m=一4②m=4(2)a<1或a>3 三、解答题 (2)正方形ADFE的边长为一3十35 3min和5min 能力提升 (2)一班学生能进人教室 能力提升 10.(1)点D的坐标为（一2,3 13.①④ (2)函数表达式为y=一x2一2x十3 10.=11.-1212.6 第二十八章旋转 14.a<是(2)略(3=-2 (3)由图可知，x<一2或x>1时，一次函数值大于二次13.(1)y=x十7(2)一6≤x≤一1 函数值 (3)Sa=Sm=(DE+BF)EF=乞X(3十 28.1图形的旋转 专题训练（二）二次函数图象信息题 11.(1)一次函数的关系式为y■一2x十100 (2)当天玩具的箱售单价是40元或20元 1)×4=8. 第1课时旋转 1C2A3C4=-3,-15-2<m<-景 (3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利最大：最 14.(1)k=-2(2)B(1一5，-2+25) 基础过关 大利润是800元 (3)(4,2)或(-4，一2) 1.B2.C3.D4A 40