第二十章 勾股定理单元卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过赵爽弦图、“葭生池中”古题及黑叶猴保护等情境，覆盖定理应用、实际问题解决，体现文化传承与数学应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理判定、边长计算|基础巩固，如第2题辨析定理条件| |填空题|6/18|古算题、弦图面积|文化渗透，如第11题“葭生池中”| |解答题|8/72|实际应用、折叠问题|能力提升，如第19题黑叶猴路径问题|

第二十章 勾股定理 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解： A. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； C. ∵，∴能构成直角三角形，故选项正确； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； 2、下列说法中正确的是（　　） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2 【答案】C 【详解】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角． A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误； B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误； C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确； D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误； 3、若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（ ） A 5 B. C. 3或 D. 5或 【答案】D 【详解】解：当5是斜边时，它的斜边长是5； 当5是直角边时，它的斜边长＝； 故它的第三边长是：5或． 4、如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】A 【详解】解：正方形和正方形的面积之和为， 在中，， ∴， ∵， ∴． 5、如图，已知，和分别是以的斜边、直角边和为边的等边三角形，则，，满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：， ，， ∵在中， ∴所有项可得：， ∴， 6、如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3， 由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE， 又∵CE＝3， ∴CD＝3， 故选：C． 7、公元3世纪，我国数学家赵爽在周髀算经中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，大正方形面积为10，且．则小正方形的面积为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：， ， 大正方形的面积为10，直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为， ， ， 小正方形的面积为． 8、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=6，BC=8， ∴根据勾股定理得：， 设BD=x，由折叠可知：ED=BD=x，AE=AB=6， 可得：CE=AC-AE=10-6=4，CD=BC-BD=8-x， 在Rt△CDB'中， 根据勾股定理得：（8-x）2=42+x2， 解得：x=3， 则BD=3． 故答案为3． 9、如图是一个内壁长、宽、高的长方体仓库，在其内壁的（长的四等分）处有一只壁虎，（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，展开前面与上面， ∵A是长的四等分点，B是宽的三等分点，长、宽、高， ∴，，， ∴． 如图展开前面与左边，过作于， ∵，， 则； 其余的展开方式要展开三个面，更长， ∵， ∴则最短距离为． 10、如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______． 【答案】13尺 【详解】解：丈尺， 设水深尺，则芦苇长尺， 根据勾股定理得：， 解得， 芦苇的长度为， 故答案为13尺． 12、如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面米，要使梯子顶端离地面米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米． 【答案】 【详解】如图，AB=DE=10，AC=6，DC=8，∠C =90°， ∴BC==8， CE==6， ∴BE=BC-CE=2（米）， 故答案为2. 13、 如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 【答案】110 【详解】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50， ∴2ab＝50， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110． 故答案为：110 14、如图，的直角边，且在数轴上，以A为圆心，以为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为______． 【答案】 【详解】解：∵在△ABC中，，，， ∴， ， ∴点D表示的数为：． 故答案为：． 15、如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿对折，点落在上的点处．若，，则的长为_________． 【答案】5 【详解】解：四边形是矩形，，， ， ， 将矩形沿对折，点落在上的点处， ，，， ， ， ， 解得， 16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 _________． 【答案】3或或2 【解答】解：分三种情况： ①如图1所示： 当AD＝AB时， 由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3； ②如图2所示： 当AD＝BD时， 设CD＝x，则AD＝x+3， 在Rt△ADC中，由勾股定理得： （x+3）2＝x2+42， 解得：x， ∴CD； ③如图3所示： 当BD＝AB时， 在Rt△ABC中，AB5， ∴BD＝5， ∴CD＝5﹣3＝2； 综上所述：CD的长为3或或2． 故答案为：3或或2． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，中，于，是的中点，，，，求的长． 【答案】 【详解】∵△ABC中，CD⊥AB于D， ∴∠ADC=90°． ∵E是AC的中点，DE=5， ∴AC=2DE=10． ∵AD=8， ∴， 在中，BD=AB-AD=12-8=4， ∴． 18、如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 19、麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 【答案】这棵树高有6米 【详解】解：设的长度为， ∵， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 20、为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米． （1）求风筝的高度CE． （2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度CE为16.6米 （2）他应该往回收线7米． 【小问1详解】 在Rt△CDB中， 由勾股定理得， ∴， CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米， 答：风筝的高度CE为16.6米； 【小问2详解】 如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则， ， ， ， ∴他应该往回收线7米． 21、如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm． （1）判断△BDC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的周长． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2） 【详解】解：（1）△BDC是直角三角形， 理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠D＝90°， 即△BDC是直角三角形； （2）设AB＝AC＝xcm， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2， 即（15﹣x）2+82＝x2， 解得：x＝， ∴AB＝AC＝（cm）， ∵BC＝17cm， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）． 22、如图，在△ABC中，D是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【小问1详解】 解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 23、如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． (1)若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ (2)若要求加油站E到两镇的距离之和最小，求距离和的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，则， 由勾股定理得：，， ， ， 即， 解得：； 答：加油站E建在距A站时，加油站E到两镇的距离相等． （2）解：如图，作点C关于的对称点F，连接交于点E， ，， 最小，点E即为加油站的位置． 作于点M，此时四边形时矩形， ，， ， 在中，， 即：加油站E到两镇的距离之和的最小值是． 24、阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【答案】 【探索新知】 【初步运用】（1）；（2）12；（3）24 【详解】 解：【探索新知】 由题意，大正方形面积为，小正方形面积为，四个直角三角形的面积为， ∴； 故答案为：； 【初步运用】 （1）大正方形面积为， 小正方形面积为， 则， 故答案为：； （2），一个直角三角形的面积为， 则空白部分面积为：； 故答案为：12； （3）设，则， 由题意得， ∴， 即； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故风车状图案的面积为． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2、下列说法中正确的是（　　） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2 3、若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（ ） A 5 B. C. 3或 D. 5或 4、如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 5、如图，已知，和分别是以的斜边、直角边和为边的等边三角形，则，，满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 6、如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3 D． 7、公元3世纪，我国数学家赵爽在周髀算经中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，大正方形面积为10，且．则小正方形的面积为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 8、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9、如图是一个内壁长、宽、高的长方体仓库，在其内壁的（长的四等分）处有一只壁虎，（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（   ） A． B． C． D． 10、 如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______． 12、如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面米，要使梯子顶端离地面米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米． 13、 如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 14、如图，的直角边，且在数轴上，以A为圆心，以为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为______． 15、如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿对折，点落在上的点处．若，，则的长为_________． 16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 _________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，中，于，是的中点，，，，求的长． 18、如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 19、麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 20、为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米． （1）求风筝的高度CE． （2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 21、如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm． （1）判断△BDC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的周长． 22、如图，在△ABC中，D是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23、如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． (1)若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ (2)若要求加油站E到两镇的距离之和最小，求距离和的最小值． 24、阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $