精品解析：2026年江西吉安市永丰县恩江中学等校初中学业水平考试数学学科模拟卷

2026年初中学业水平考试数学学科模拟卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数字中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 了解神舟飞船发射前零部件的情况 B. 了解某班级学生的月考数学成绩 C. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D. 了解生产的一批鞭炮的质量 4. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的部分图象如图，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的值随值的增大而增大；⑤当函数值时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：________． 8. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则______． 9. 如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 10. 若方程的两个根是和，则的值为______． 11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______． 12. 吉州窑烧制技艺是国家级非物质文化遗产，本觉寺岭龙窑遗址作为现存罕见的宋代长条龙窑，与古朴矗立的本觉寺塔相映成趣，共同见证千年窑火传承．某研学小组在遗址区开展实践活动，如图所示，以遗址中心广场为坐标原点建立平面直角坐标系，测得代表本觉寺塔的点在轴上，代表本觉寺岭龙窑遗址的点在轴上，两点所在观景路线的表达式为．若遗址第二象限内有一处研学打卡点，使得为等腰直角三角形，则打卡点的坐标为___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1）计算：． （2）化简：． 14. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过，，三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的圆上找一点，使得平分； （2）在图②中的圆上找一点，使得平分． 16. 2026年新年伊始，首届江西省城市篮球联赛（赣）火热开赛，吸引了全省大批篮球爱好者的关注．其中吉安队主场赛区，共进行5场比赛，对手依次为：抚州队、景德镇队、鹰潭队、九江队、新余队． （1）开赛前，学校球迷小贤准备随机抽取1场吉安队主场的比赛观看，他恰好抽到对手为景德镇队的概率为多少； （2）在即将进行的第三轮比赛开始前，吉安队主教练已经确定了3名首发上场队员，剔除伤病队员，只有甲、乙、丙、丁四名队员可以上场，现欲从这4人中抽取2人参赛，用列表法或树状图求抽到甲、丙两名队员的概率． 17. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点的面积为4． （1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某学校为落实立德树人，传承井冈山精神，厚植青少年家国情怀，组织入学新生开展“我的井冈行”红色研学活动，需要租赁客车．现有两家租赁公司可供选择：A公司；每辆车限载45人，租金每辆每天900元，另收一次性调度费300元（不分车辆数）．B公司：每辆车限载30人，租金按实际乘车人数计算，每人每天25元，无其他费用． 设某日参加专线游的游客总人数为人，是45和30的公倍数，且． （1）分别写出选择、两公司所需总费用、与人数之间的函数关系式． （2）若该日游客人数为180人，通过计算说明选择哪家公司更省钱． （3）当游客人数在什么范围内时，选择A公司比选择B公司更划算？（结果用不等式表示，不必取整） （4）文旅集团计划将每日租车费用控制在4500元以内．若选择A公司，最多能接待多少名游客？（结果取整数） 19. 2026年春晚的机器人表演令人印象深刻，这些高科技的机器人，其一举一动都蕴含着精确的数学计算，如图，机器人分开两脚站立，两脚间距，上半身地面，且．机器人两腿与地面的夹角分别为， （1）求A点到地面的距离（结果保留整数） （2）若机器人手臂从A点伸出，手臂长，手臂末端E到地面的垂直距离为，求手臂与竖直方向的夹角．（参考数据： 20. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若⊙O半径为1，BC＝4，求图中阴影部分的面积． 五（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 近年来AI软件兴起，给人们的学习、生活和工作带来了极大的便利．现有关人员分别针对甲、乙两款软件的用户使用满意度进行了问卷调查．现从调查结果中各随机抽取20名用户的评分（满分100分，评分为不小于60的整数，评分越高代表用户越满意），并对用户的评分进行整理、描述、分析（评分用表示，共分成四个等级：（A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 甲款软件的分数是：96，95，92，90，89，88，88，87，84，80，80，80，80，78，75，75，73，65，65，60． 乙款软件的分数在B等级的数据是：88，87，85，85，84，84，84，82． 甲、乙两款AI软件评分统计表 甲款软件 乙款软件 平均数 81 81 中位数 80 众数 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中，，的值； （2）根据以上数据分析，你认为哪款软件的用户满意度较高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若此次评分中有300名用户对甲款软件打分，有200名用户对乙款软件打分，请估计此次评分中A等级的用户数一共有多少？ 22. 定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________； （2）直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接，以为直角边在其右侧作，使，其中与交于点，与交于点，连接． 【猜想证明】 （1）判断与的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 （2）当时，求线段的长； （3）当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试数学学科模拟卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数字中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值，比较有理数的大小关系．先求出绝对值，比较大小，即可． 【详解】解：∵，，，， ∵， ∴绝对值最小的数为， 故选：D． 2. 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 了解神舟飞船发射前零部件的情况 B. 了解某班级学生的月考数学成绩 C. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D. 了解生产的一批鞭炮的质量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，正确掌握相关性质内容是解题的关键．抽样调查适用于总体数量大、具有破坏性或耗时的情况，而全面调查（普查）适用于总体数量小、需精确结果的情形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、神舟飞船零部件必须全部检查，否则隐患可能导致严重后果，需全面调查，故选项不符合题意； B、班级人数较少，直接统计所有学生成绩更准确，适合全面调查，故选项不符合题意； C、订购校服需每个学生的尺寸，否则无法保证合身，必须全面调查，故选项不符合题意； D、鞭炮质量检测具有破坏性（检测后无法销售），且数量庞大，适合通过抽样推断整体质量，故选项符合题意 故选:D． 4. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如图所示： 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质，可得，由对顶角相等，可得，根据三角形外角的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 二次函数的部分图象如图，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的值随值的增大而增大；⑤当函数值时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质、由图象与性质判断式子符号、利用图象解不等式等知识，根据查二次函数图象与性质、由图象与性质判断式子符号、利用图象解不等式的方法逐项验证即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，即， ，故①正确； 如图所示，当时，，则，故②错误； 二次函数的部分图像如图，图像过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点是，则抛物线与轴有两个交点， ，故③正确； 由图可知，抛物线开口向下、对称轴为， 当时，的值随值的增大而增大，故④错误； 抛物线与轴的交点是和， 当函数值时，是指抛物线在轴下方的图象对应的自变量x的取值范围，是或， 故⑤正确； 综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 8. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的特征，代数式求值． 关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出的值，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ， 故答案为：． 9. 如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质求出，再结合等腰三角形两底角相等求出，最后根据角平分线的定义算出的度数． 【详解】解：∵，是的中线， ∴根据等腰三角形三线合一，可得平分， ∴ ∴等腰中，底角 ∵是角平分线，平分， ∴． 10. 若方程的两个根是和，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到与a的等量关系，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入化简即可求解． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴，即． ∴． ∵a，b是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得． ∴原式． 11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、乘方及代数式求值，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由题意可得到关于m、n的两个方程，解方程即可求出的值，再把m、n的值代入计算即可求解． 【详解】解：设右上角数字为x，右下角数字为y， 由题意可得，， 解得，， ， 故答案为： ． 12. 吉州窑烧制技艺是国家级非物质文化遗产，本觉寺岭龙窑遗址作为现存罕见的宋代长条龙窑，与古朴矗立的本觉寺塔相映成趣，共同见证千年窑火传承．某研学小组在遗址区开展实践活动，如图所示，以遗址中心广场为坐标原点建立平面直角坐标系，测得代表本觉寺塔的点在轴上，代表本觉寺岭龙窑遗址的点在轴上，两点所在观景路线的表达式为．若遗址第二象限内有一处研学打卡点，使得为等腰直角三角形，则打卡点的坐标为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先由的表达式为，得到，；再根据为等腰直角三角形，根据直角顶点不同分情况讨论，分别画出图形再根据一线三垂直模型求坐标即可． 【详解】解：∵的表达式为， ∴当时，，则，； 当时，，解得，则，； ∵为等腰直角三角形， ∴当为直角顶点时，此时，， 如图，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 同理，当为直角顶点时， 取中点， ∵，， ∴，，即是等腰直角三角形； 综上所述，使得为等腰直角三角形的打卡点的坐标为或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先化简绝对值、算术平方根以及负整数指数幂，再算乘法，最后进行加减运算即可； （2）原式先算分式的除法，再算同分母分式的减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，首先得到，然后得到，证明出，得到，进而证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴， ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过，，三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的圆上找一点，使得平分； （2）在图②中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用垂径定理即可在图①中的圆上找一点，使得平分； （2）利用矩形的性质，垂径定理和同弧所对圆周角相等即可在图②中的圆上找一点，使得平分． 【小问1详解】 解：如答图①，点，即为所求． 【小问2详解】 解：如答图②，点即为所求． 16. 2026年新年伊始，首届江西省城市篮球联赛（赣）火热开赛，吸引了全省大批篮球爱好者的关注．其中吉安队主场赛区，共进行5场比赛，对手依次为：抚州队、景德镇队、鹰潭队、九江队、新余队． （1）开赛前，学校球迷小贤准备随机抽取1场吉安队主场的比赛观看，他恰好抽到对手为景德镇队的概率为多少； （2）在即将进行的第三轮比赛开始前，吉安队主教练已经确定了3名首发上场队员，剔除伤病队员，只有甲、乙、丙、丁四名队员可以上场，现欲从这4人中抽取2人参赛，用列表法或树状图求抽到甲、丙两名队员的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：总共有5场等可能的比赛结果，抽到景德镇队的结果只有一种，所以他恰好抽到对手为景德镇队的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲、丙两名队员的结果数为2， 所以恰好抽到甲、丙两名队员的概率． 17. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点的面积为4． （1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）15 【解析】 【分析】（1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某学校为落实立德树人，传承井冈山精神，厚植青少年家国情怀，组织入学新生开展“我的井冈行”红色研学活动，需要租赁客车．现有两家租赁公司可供选择：A公司；每辆车限载45人，租金每辆每天900元，另收一次性调度费300元（不分车辆数）．B公司：每辆车限载30人，租金按实际乘车人数计算，每人每天25元，无其他费用． 设某日参加专线游的游客总人数为人，是45和30的公倍数，且． （1）分别写出选择、两公司所需总费用、与人数之间的函数关系式． （2）若该日游客人数为180人，通过计算说明选择哪家公司更省钱． （3）当游客人数在什么范围内时，选择A公司比选择B公司更划算？（结果用不等式表示，不必取整） （4）文旅集团计划将每日租车费用控制在4500元以内．若选择A公司，最多能接待多少名游客？（结果取整数） 【答案】（1）， （2）选择A公司更省钱 （3） （4）最大为180人 【解析】 【分析】（1）根据、两公司的收费标准分别列出、与人数的函数关系式； （2）将分别代入（1）中的解析式计算，再比较大小即可得出结论； （3）令，求出x的取值范围，再结合，取公共部分，即可得出结论； （4）令，求出x的取值范围，再结合x为45和30的公倍数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：A公司：需车辆数辆， ； B公司：； 【小问2详解】 解：当时： 元， 元， 因为， 所以选择A公司更省钱； 【小问3详解】 解：令：即， ， ， 又∵， ∴当时，A公司更划算； 【小问4详解】 解：当时，即：， ， ， 又∵是45和30的公倍数（即90的倍数），且， ∴最大为180人（因 ）． 19. 2026年春晚的机器人表演令人印象深刻，这些高科技的机器人，其一举一动都蕴含着精确的数学计算，如图，机器人分开两脚站立，两脚间距，上半身地面，且．机器人两腿与地面的夹角分别为， （1）求A点到地面的距离（结果保留整数） （2）若机器人手臂从A点伸出，手臂长，手臂末端E到地面的垂直距离为，求手臂与竖直方向的夹角．（参考数据： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，设，则，，由解得 ，最后计算机器人的高度； （2）过点作的延长线于点，先求出，在中， ，即可得到． 【小问1详解】 解：延长交于点，设 在中，，则， 在中，，则， 由得， 解得 ， 所以 ， 所以机器人的高度为 ； 【小问2详解】 解：过点作的延长线于点， 由题意得 ， 所以， 在中， ， ∴． 20. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若⊙O半径为1，BC＝4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE（SAS），根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明； （2）求出AC，AE的长，得出∠AOD=120°，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接OE、OD，如图， ∵AC是⊙O的切线， ∴AB⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∵点E是AC的中点，O点为AB的中点， ∴OE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠3， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠3， ∴∠1＝∠2， 在△AOE和△DOE中 , ∴△AOE≌△DOE（SAS） ∴∠ODE＝∠OAE＝90°， ∴DE⊥OD， ∵OD为⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）∵⊙O半径为1， ∴AB＝2， ∵∠BAC＝90°，BC＝4， ∴∠C＝30°，AC＝， ∴∠B＝60°， ∴∠AOD＝2∠B＝120°， 又∵点E是AC的中点， ∴AE＝AC＝， ∴图中阴影部分的面积＝2S△AOE﹣S扇形AOD＝2×××1﹣＝﹣． 【点睛】本题考查的是三角形和圆的相关知识点，关键在于对三角形和圆的性质的运用. 五（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 近年来AI软件兴起，给人们的学习、生活和工作带来了极大的便利．现有关人员分别针对甲、乙两款软件的用户使用满意度进行了问卷调查．现从调查结果中各随机抽取20名用户的评分（满分100分，评分为不小于60的整数，评分越高代表用户越满意），并对用户的评分进行整理、描述、分析（评分用表示，共分成四个等级：（A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 甲款软件的分数是：96，95，92，90，89，88，88，87，84，80，80，80，80，78，75，75，73，65，65，60． 乙款软件的分数在B等级的数据是：88，87，85，85，84，84，84，82． 甲、乙两款AI软件评分统计表 甲款软件 乙款软件 平均数 81 81 中位数 80 众数 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中，，的值； （2）根据以上数据分析，你认为哪款软件的用户满意度较高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若此次评分中有300名用户对甲款软件打分，有200名用户对乙款软件打分，请估计此次评分中A等级的用户数一共有多少？ 【答案】（1），， （2）乙款 （3）80人 【解析】 【分析】（1）先求出乙款软件的分数在B等级的百分比，即可求出m，再根据中位数和众数的定义解答； （2）根据中位数做出决断即可； （3）分别用总数乘以选择A等级所占的百分比，再求和． 【小问1详解】 解：∵乙款软件的分数在B等级的百分比为， ∴， ∴； A等级人数：，B等级人数：8人，C等级人数：，D等级人数 ． 乙款软件的分数在B等级的数据为88，87，85，85，84，84，84，82， 所以中位数是第10，11个都是，故中位数为它们的平均数，即； 甲款软件评分最多的是80分，所以众数是； 【小问2详解】 解：乙款软件评分的中位数高，所以大多数人喜欢乙款软件，所以乙款软件的用户满意度较高； 【小问3详解】 解：， 所以此次评分中A等级的用户数一共有80人． 22. 定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________； （2）直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 【答案】（1）， （2）①；②的坐标为或；③点不是点关于点的的“正旋点”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义，利用旋转的性质得出相等的边，利用等边三角形的判定和性质以及勾股定理进行求解； （2）①假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点， 根据直线解析式求出点的坐标，确定线段的长度，证明，根据对应边成比例求解； ②作轴于点，轴于点，证明，得出，设点的坐标是，则，表示出的坐标为，然后代入反比例函数解析式求解即可； ③过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则，证明，得出，求出直线的解析式为，联立解析式求出点的坐标为，然后根据勾股定理求出，，进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，若点的坐标为，根据旋转的性质得， ∴点关于点的正垂旋点坐标是； 如图所示，令点为点关于点旋转的正旋点，过点作轴于点， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴点关于点旋转的正旋点坐标是； 【小问2详解】 解：①如图1所示，假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； 当时，， 解得， ∴， ∴； ∵点的横坐标为6， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上一动点， ∴点的横坐标为， 将代入得， ， ∴点的坐标为； ②如图所示，作轴于点，轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标是，则， ∴，， ∴的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴， ∴， 解得：． ∴的坐标为或； ③如图3，过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立解析式得， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为． ∵，， ∴， ∴点不是点关于点的的“正旋点”． 六、（本大题共12分） 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接，以为直角边在其右侧作，使，其中与交于点，与交于点，连接． 【猜想证明】 （1）判断与的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 （2）当时，求线段的长； （3）当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，，推得，根据相似三角形的判定和性质得出，结合矩形的性质即可证明； （2）根据相似三角形的性质求出，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，即可求解； （3）根据正切的定义和相似三角形的性质得出，分两种情况讨论：当时，，根据平行线的性质推得，结合正切的定义即可求解；当时，，过点作交于点，过点作交于点，根据平行线的性质推得，结合正切的定义求得，根据勾股定理求得，结合正切的定义求出，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 ；证明如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 由题意可得． 由（1）得， ∴， 即 解得； ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 故． 【小问3详解】 在中，， 又∵， ∴，∴． 分两种情况讨论． 情况一：当时，，如图①， ∵， ∴， 故， ∴， 在中，， 即 解得； 情况二：当时，， 过点作交于点，过点作交于点，如图②， 则四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， 故， ∴； 在中，， 即 解得； 在中，， ． ∵， ∴， 即， 解得； 在中，， 即， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $