精品解析：福建泉州市晋江市紫帽中学2026 年春季七年级期中质量检测数学试题

2026年春季七年级期中质量检测 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各方程中，是一元一次方程的是　 　 A. B. C. D. 2. 张老师让同学们作三角形BC边上的高，你认为正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个解方程过程中变形正确的是（　　） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 5. 解不等式时，下列去分母正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 某车间共30名工人，每人每天平均能制作10个凳面或20个凳腿，要求1个凳面配4个凳腿，为了使每天制作的凳面和凳腿恰好配套，制作凳面和凳腿的人数分别是多少？设安排人制作凳面，人制作凳腿，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元，社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（ ）． A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 9. 已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（ ）． A. 0 B. C. D. 32 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知是关于x的方程的解，则a的值是__________． 12. 用不等式表示“x与7的差不小于2”：______． 13. 把二元一次方程化成用表示的式子为______． 14. 如图，点D是延长线上一点，若，，则________． 15. 一列火车匀速行驶，经过一条长700米的隧道，从车头进入隧道到完全驶出隧道共用时30秒．在隧道顶部有一盏灯，火车头到达这盏灯的位置到火车尾离开这盏灯的位置用时10秒，则火车行驶的速度是___________米/秒． 16. 对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如；，则方程组的解为_____． 三、解答题：共9题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 21. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为的角平分线时，若，，求的度数． （2）当为边上的中线时，若，的周长比的周长少2，求的长度． 22. 已知关于的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围； （3）在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 23. 某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，其进价与售价如下表： 进价元台 售价元台 甲型 150 200 乙型 120 160 （1）某月该超市花费4200元购进这两种空气加湿器共30台，并且当月全部售完，问该超市当月销售这两种空气加湿器赚了多少钱？ （2）为满足市场需求，该超市决定用不超过6750元的资金采购甲、乙两种型号的空气加湿器共50台，且甲型空气加湿器的数量不少于23台，问超市有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，选择哪种进货方案该超市获得利润最多？ 24. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． （1）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 25. 我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若，则______． （2）【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______． （3）如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合．若，则为多少度？ （4）【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点G，若，，试探究和，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季七年级期中质量检测 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各方程中，是一元一次方程的是　 　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义即可判断. 【详解】A. 是二元一次方程，故错误； B. 是二元二次方程，故错误； C. 为一元一次方程，正确； D. 为一元二次方程，故错误， 故选C. 【点睛】此题主要考查一元一次方程的定义，解题的关键是熟知一元一次方程的定义. 2. 张老师让同学们作三角形BC边上的高，你认为正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形高的定义解答即可． 【详解】A、AD是△ABC中BC边上的高，符合题意； B、DB不是△ABC中BC边上的高，不符合题意； C、DB是△ABC中AC边上的高，不符合题意； D、∵AD⊥CD，∴CD是AB边上的高，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的距离叫做三角形的高，熟知高的概念是解题的关键． 3. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据题意得到，由此根据不等式的性质和有理数的加减计算法则判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项中的结论成立， 故选D． 4. 下列四个解方程过程中变形正确的是（　　） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 【答案】C 【解析】 【分析】各方程变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、由-4x=7，得：x，不符合题意； B、由x=4，得：x=，不符合题意； C、由-2（x-1）=-4，得：x-1=2，符合题意； D、由2-4x=7+x，得：-x-4x=7-2，不符合题意， 故选C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 解不等式时，下列去分母正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 去分母，得. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 在数轴上表示为： 故选：D． 7. 某车间共30名工人，每人每天平均能制作10个凳面或20个凳腿，要求1个凳面配4个凳腿，为了使每天制作的凳面和凳腿恰好配套，制作凳面和凳腿的人数分别是多少？设安排人制作凳面，人制作凳腿，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据车间共30名工人和要求1个凳面配4个凳腿且要使每天制作的凳面和凳腿恰好配套列出两个方程即可． 【详解】解：设安排人制作凳面，人制作凳腿，则可列方程组为：， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 8. 某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元，社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（ ）． A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 【答案】B 【解析】 【分析】设定制书签和笔记本的数量，根据总花费列出二元一次方程，结合两种产品都需定制，即数量均为正整数的条件，找出方程的正整数解的个数，即可得到定制方案的数量. 【详解】解：设定制书签x张，定制笔记本y本，其中x，y均为正整数， 根据题意列方程得， ∴， ∴，共5个值， 故共有5种定制方案. 9. 已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（ ）． A. 0 B. C. D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程组，根据整体思想分别求出，进而得到关于b的一元一次方程，解出b，即可得解． 【详解】解：如图所示，设中间的数字为a，第三行第一个数字为b， 由题意得， 由得， 由得， ， 解得， ． 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知是关于x的方程的解，则a的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程的知识，掌握以上的知识是解题的关键； 本题将代入得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：将代入得到， 解得：； 故答案为：1. 12. 用不等式表示“x与7的差不小于2”：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据“x与7的差不小于2”列不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 13. 把二元一次方程化成用表示的式子为______． 【答案】 【解析】 【分析】把含的项放到方程左边，移项，求即可． 【详解】解：， 移项，得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方程的基本运算，包括移项、合并同类项、系数化为等，解题关键是理解表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化就可用含的式子表示的形式． 14. 如图，点D是延长线上一点，若，，则________． 【答案】103 【解析】 【分析】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 由点D是延长线上一点，，，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，求得，即可得出的度数． 【详解】解：∵在中，点D是延长线上一点， ， ，， ， 故答案为：103． 15. 一列火车匀速行驶，经过一条长700米的隧道，从车头进入隧道到完全驶出隧道共用时30秒．在隧道顶部有一盏灯，火车头到达这盏灯的位置到火车尾离开这盏灯的位置用时10秒，则火车行驶的速度是___________米/秒． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这列火车行驶的速度是米/秒，则这列火车的长度为米，再根据“经过一条长米的隧道，从车头进入隧道到完全驶出隧道共用时秒”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设这列火车行驶的速度是米/秒， 则这列火车的长度为米， 由题意得：， 解得， 即这列火车行驶的速度是米/秒， 故答案为：． 16. 对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如；，则方程组的解为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组以及分类讨论的思想，先根据加减消元法解出，，然后再根据分类讨论，分别求出合适的a，b值即可． 【详解】解： ②，， 解得， 将代入①得：， 解得：， 当时，即当时，得， 解得：， 当时，即当时，得， 解得：（舍去） 当时，即当时，， 解得：， 当时，即当时，， 解得：， 综上：原方程组的解为：或， 故答案为：或． 三、解答题：共9题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【小问1详解】 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得. 【小问2详解】 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得. 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由得：， 解得． 把代入②得：， 解得． ∴方程组的解为． 19. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查解不等式组；首先解出不等式组中每个不等式的解集，然后找出两个不等式解集的公共部分，求出不等式组的解集，最后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 在数轴上表示不等式组的解集如下： 20. 列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【答案】8个 【解析】 【详解】解：设有x个牧童， 依题意得：， 解得． 经检验，符合题意． 答：共有8个牧童． 21. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为的角平分线时，若，，求的度数． （2）当为边上的中线时，若，的周长比的周长少2，求的长度． 【答案】（1）15° （2）8 【解析】 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定的数量关系，继而可以求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 又∵为的角平分线， ∴． ∵为边上的高， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵为边上的中线，∴． 又∵的周长比的周长少2， ∴， ∴， ∴． 22. 已知关于的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围； （3）在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（）把两个方程相加可得 ，即得，解方程即可求解； （）用第二个方程减去第一个方程可得 ，即得 ，再解不等式即可求解； （）由不等式可得 ，进而根据解集得到 ，求出的解集再结合（）得到，据此即可求解． 【小问1详解】 解：， ①②，得， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ②①，得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴不等式的解集为， ∴， 解得， 又由（）得，， ∴， ∴的整数值为或或． 23. 某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，其进价与售价如下表： 进价元台 售价元台 甲型 150 200 乙型 120 160 （1）某月该超市花费4200元购进这两种空气加湿器共30台，并且当月全部售完，问该超市当月销售这两种空气加湿器赚了多少钱？ （2）为满足市场需求，该超市决定用不超过6750元的资金采购甲、乙两种型号的空气加湿器共50台，且甲型空气加湿器的数量不少于23台，问超市有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，选择哪种进货方案该超市获得利润最多？ 【答案】（1）该超市当月销售这两种空气加湿器赚了1400元 （2）超市有3种进货方案：方案1：购进甲型空气加湿器23台，乙型空气加湿器27台；方案2：购进甲型空气加湿器24台，乙型空气加湿器26台；方案3：购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台； （3）选择方案3，即购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台时，该超市获得利润最多 【解析】 【分析】（1）设超市购进甲型空气加湿器x台，乙型空气加湿器y台，利用总价=单价×数量，结合购进两种空气加湿器30台时共用去了4200元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用总利润每台的利润销售数量购进数量，即可求出该超市在该买卖中赚的钱数； （2）设购进甲型空气加湿器a台，则购进乙型空气加湿器台，根据“购买50台空气加湿器的总花费不超过6750元，且购进甲型空气加湿器的数量不少于23个”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出各进货方案； （3）利用总利润=每台的利润×销售数量，可分别求出选用各进货方案可获得的利润，比较后即可得出选择方案3超市赚钱最多． 【小问1详解】 解：设超市购进甲型空气加湿器台，乙型空气加湿器台， 根据题意，得， 解得， 则(元)， 答：该超市当月销售这两种空气加湿器赚了1400元； 【小问2详解】 解：设购进甲型空气加湿器台，则购进乙型空气加湿器台， 根据题意，得， 解得：， 又因为为正整数，所以可以取23，24，25， 所以超市有3种进货方案： 方案1：购进甲型空气加湿器23台，乙型空气加湿器27台； 方案2：购进甲型空气加湿器24台，乙型空气加湿器26台； 方案3：购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台； 【小问3详解】 解：选择方案1时得销售总利润(元)； 选择方案2时得销售总利润(元)； 选择方案3时得销售总利润(元)． 因为， 所以选择方案3，即购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台时，该超市获得利润最多． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总利润每台的利润销售数量，分别求出选用各进货方案可获得的利润． 24. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． （1）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）根据“美好方程”求出的解为，再把变形为，即可得到． 【小问1详解】 解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵“美好方程”其中一个解为n， ∴另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为7， ∴或， 解得或． 【小问3详解】 解：解方程得：， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴的解是， ∵， ∴， ∴， 解得． 25. 我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若，则______． （2）【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______． （3）如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合．若，则为多少度？ （4）【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点G，若，，试探究和，之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出． （3）由角平分线的定义得出，，由三角形内角和定理得出，求出，再得出，由折叠的性质可得，， 进而可求出，由平角的定义得出，，进而可求出． （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 、的角平分线交于点P， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ， ， ． 【小问3详解】 解：∵平分，平分， ∴，（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质可得，， ∴， ∵，， ∴． 【小问4详解】 解：①当点F在点E左侧时，如图所示， ∵，∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． ②当F在D、E之间时，如图所示： 同理可得，， ， ∴． ③当点F在D点右侧时，如图所示： 同理可得． 综上所述，F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $