“手拉手”模型（共顶点的等腰三角形）2025-2026学年北师大版八年级数学下册试题

**基本信息** 聚焦“手拉手”模型，通过选择、填空、解答题分层设计，强化全等证明及综合应用，培养推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一全等证明|单选1直接应用SAS证全等| |能力提升|多结论判断与角度计算|填空6结合外角性质求角度| |综合拓展|跨情境综合应用|解答15含观察猜想与实际情境应用|

第一章《三角形的证明》--一“手拉手”模型一一共顶点的等腰三角形 一、单选题 1.如下图，△ABC和aDEC均为等腰直角三角形，点B,D,E在同一直线上，连接AD,BD,若 AC=V0,EC=√2，求线段AD的长是() A.1+1 B.1+√10 C.4 D.5+i0 2.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB,点D是AC的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC, 下列判断正确的有() ①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④SAEc=2SAEB A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，C为线段AE上一动点.（不与A,E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边 △ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,则有以下五个结论： ①AD=BE;②PQ∥AE;③AB=BQ;④DE=DP;⑤LAOB=60°.其中正确的有() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.如图，分别以△ABC的边AB,AC为边，在△ABC的外侧作等边△ABD和等边△ACE,连接 BE,CD相交于点O,CD与AB相交于点M,BE与AC相交于点N,连接MW,AO有下列结论： ①BE=CD;②MN∥BC:③OA平分∠D0E;④LB0C=120°其中，正确结论的个数是() E A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 5.如图，AC=BC=4,DC=EC=2,LACB=LECD=90°，且ED平分LBDC,则AE=一， B D E 6.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠ABC=∠ADE=72°，∠ECD=45°，则 LBEC的度数为 B 7.如图，在△ABC中，AC=2,AB=4,分别以AC,BC为边向外作正△ACD和正△BCE,连接 AE,在△ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为 8.如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且点C,D,E在同一条直线上，连接BD,BE, 则以下四个结论： ①BD=CE;②LACE+∠DBC=60°；③BD⊥CE;④LBAE+LDAC=180°.其中正确的个数是 三、解答题 9.如图，△ABC为任意三角形，以边AB,AC为边分别向外作等腰三角形ABD和等腰三角形 ACE,AB=AD,AC=AE,且LDAB=LCAE,连接CD,BE并且相交于点P. (1)求证：CD=BE; (2)若∠DAB=LCAE=65°，求∠DPB的度数. 10.如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=LDCE=90°，CA=CB,CD=CE,连 接AE,BD. (1)证明：△ACE≌△BCD; (2)若CA=CB=6,AD=2V2,且∠CAD=45°，求CE的长. 11.如图，△ABC是等边三角形，AB=10,AD是边BC上的高，点E在边AD上，连接BE,在 其下方作BF,使BE=BF,LBEF=6O°，连接DF,CF,EF. (1)当△BDE是等腰三角形时，求出∠ABF的度数； (2)求证：△ABE≌aCBF; (3)当△CDF是等腰三角形时，求出∠BDF的度数. I2.如图①，CA=CB,CD=CE,LACB=LDCE=a,AD,BE交于点M,AD,BC交于点O,连 接CM. B 图① 图② (1)求证：BE=AD; (2)用含a的式子表示LAMB的度数； (3)当a=60°时，分别取AD,BE的中点P,Q,连接CP,CQ,PQ,如图②所示，判断aCPQ的形状， 并加以证明. 13.(1)如图1，△ABD,△AEC都是等边三角形，连接BE,CD相交于点O,求证： △DAC≌△BAE; (2)如图2，△ABD,△AEC都是等边三角形，点C在BD边上，过E作EF垂直AB于F,求证： AF BC+BF (3)如图3，△ABD是等边三角形，在△ABC中，AB=AC,∠BAC<60°，连接CD,AE平分 ∠DAC交CB延长线于点E,交CD于点F,则∠AEC的度数为 ·(直接写出答案) D F B 图1 图2 图3 14.如图，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF，连接BE,CF. E 图1 图2 图3 【发现问题】(1)如图1，若∠BAC=30°，延长BE,交CF于点D,则BE与CF的数量关系是 ,LBDC的度数为 【类比探究】(2)如图2，若LBAC=120°，延长BE,FC,相交于点D,请猜想BE与CF的数 量关系及∠BDC的度数，并说明理由， 【拓展延伸】(3)如图3，若LBAC=90°，BE,CF相交于点D,连接BF,CE.若CF=8,求 四边形FBCE的面积. 15.如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等 边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE、BD交于点P. E E D P D C C B B 图1 图2 图3 (1)观察猜想 AE与BD的数量关系，请直接写出结论 (2)数学思考 如图2，当点C在线段AB外时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请你写出正确结论再给予证明： (3)拓展应用 如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足LAED=LBEC=9O°，AE=DE,BE=CE,对角线 AC、BD交于点P,AC=I0 ①求证AC⊥BD; ②求四边形ABCD的面积. 参考答案 一、单选题 1.C 证明：如图，过C作CF⊥AD交于F, D .∠CFD=∠CFA=90° :△ABC和aDEC均为等腰直角三角形， .AC=BC=V10,DC=CE=V2,∠ACB=∠DCE=90°. :ZACB+ZBCD ZDCE+ZBCD 即∠ACD=LBCE. 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, DC=CE △ACD≌BCE(SAS), ∠ADC=∠BEC. :DC=CE=√2，∠DCE=90°， DE=VDC2+CE=2+V2=2,∠CDE=BEC=45°. ∴.∠ADC=LBEC=45°. :∠CFD=90°， .∠DCF=90°-∠CDF=45°. LDCF=LCDF=45°. 2x( ·.DF=CF= V2CD2 =1 2 2 :∠CFA=90°， .4F-4C-CF-)-1-3. :AD=AF+FD=3+1=4. 故选：C 2.D 解：：AC=2AB,点D是AC的中点， :AD =CD AB=DC, :AD CD=AB, :△ADE是等腰直角三角形， AE=DE,LEAD=∠ADE=45°， ∠BAE=LBAC+∠EAD=90°+45°=135°， ∠EDC=180°-∠ADE=180°-45°=135°， AB=DC 在△ABE和△DCE中， ∠BAE=∠EDC, AE=ED △ABE≌△DCE(SAS), 故①正确； :BE=EC(全等三角形的对应边相等)， 故②正确： :∠AEB=∠DEC(全等三角形的对应角相等)， .∠BEC=LBED+LDEC=∠BED+LAEB=LAED=90°， BE⊥CE, 故③正确； △ABE≌△DCE, SABE S.DCE S.4EC S.DCE+S.4ED AD =CD .S.ADE S.CDE SAAEC=2S△AEB, 故④正确 综上分析，正确的有4个 故选：D. 3.B 解：：△ABC和aCDE是等边三角形， ∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， :∠ACB+∠BCD=∠DCE+LBCD,即∠ACD=LBCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE △ACD≌△BCE(SAS), AD=BE,故①正确； :△ACD≌△BCE(SAS), ∠CBE=∠DAC, 又：LACB=LDCE=60°， :∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ, 又：AC=BC, △CQB≌△CPA(ASA), ..CP=CO, 又：LPC0=60°，可知△PCQ为等边三角形， :∠PQC=LDCE=60°， P∥AE,故②正确； :△CQB≌aCPA(ASA), .AP=BO, ∴.AB≠BQ,故③错误； .AD BE AP BO, AD-AP=BE-BQ,即DP=QE, ∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,LCDE=60°， ∠DOE≠∠CDE,则DE≠DP,故④错误； :∠ACB=∠DEC=60° :BC∥DE, :ZCBE ZBED :∠DAE=∠CBE=LBED, :∠AOB=∠OAE+∠AE0=∠BED+∠AE0=∠CED=60°，故⑤正确. 故选：B 4.B 解：，△ADB和△ACE是等边三角形， ∴.AD=AB,AC=AE,LDAB=∠EAC=60°， .ZDAB+ZBAC ZDAC ZEAC+ZBAC=ZBAE, ∴.LDAC=LBAE, 在△ADC和△ABE中， AD=AB ∠DAC=∠BAE, AC=AE ∴.△ADC≌△ABE(SAS), ∴CD=BE,故①正确； ,△ADC≌△ABE, .∴.∠ABE=∠ADC, .∠BMO=∠DMA, ∴.∠DAB=∠B0D=60°， .∴.∠B0C=180°-60°=120°，故④正确； 如图，过A作AH⊥DC于H,AI⊥BE于I, E B ,△ADC≌△ABE, ∴.SADAC=S△BAE,BE=DC, ∴.AH=AI, ∴.OA平分LD0E,故③正确； ,·无法得出LNMC=LBCO,不能得出MNI|BC,故②错误； 故选：B 二、填空题 5.25 解：LDCE=90°，CD=CE=2, ∴.∠CDE=45°， ED平分∠BDC, ∴.∠BDC=90°， BC=4, ∴.BD=VBC2-CD2=25, ,LACB=LECD=90°， ∴.LDCB=LACE, 在△DCB和△ACE中， CD=CE ∠BCD=∠ACE, CB=CA ∴.△DCB≌△ECA(SAS), ∴.DB=AE=2V5. 故答案为：2V5. 6.9° 解：如图，延长DC交BE于点P, B AB=AC,∠ABC=72°， ∠ABC=LACB=72°， ∠CAB=36°， 同理得：∠DAE=36°， ∠CAB=∠DAE, ∠CAB+∠CAE=LDAE+LCAE, 即∠BAE=∠CAD, AB=AC,AE AD, ·△BAE≌△CAD(SAS), :ZAEB ZADC :∠AOD=∠EOP, ∠EP0=∠EAD=36°， △CPE中，LECD=LEPC+LBEC, ∴∠BEC=45°-36°=9°. 故答案为：9°. 7.27 解：如图所示，连接BD, D B △ACD,△BCE都是等边三角形， ∴.AC=CD,BC=CE,LACD=LBCE=60°， ∴.∠ACD+LACB=LBCE+∠ACB, 即∠BCD=∠ACE, ∴.△BCD≌△ECA(SAS), ∴.BD=AE. .BD≤AD+AB, ∴当点A,B,D共线时，BD最大，即AE最大. 过点C作CF⊥AD于点F, E DFA B aACD是等边三角形， ∴.AC=AD=2, A号4D, ∴.BF=AB+AF=5. 在Rt△AFC中，根据勾股定理，得CF=VAC2-AF2=5. 在RtaBCF中，根据勾股定理得BC=VCF2+BF2=2√万， 故答案为：2√7. 8.3个 解：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ACB=45°， ∠BAC+∠CAD=LDAE+LCAD,即LBAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS), BD=CE,故①正确； :△ABD≌△ACE, .∠ABD=∠ACE, ∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=LABC=45°≠60°，故②不正确； .∠BDE=∠DBC+∠BCD =∠DBC+∠ACE+∠ACB =∠DBC+∠ABD+∠ACB =∠ABC+∠ACB =90°， ·BD⊥CE,故③正确： :∠BAC=∠DAE=90°， :LBAE+LDAC=360°-∠DAE-∠BAC=180°，故④正确. 综上所述，正确的结论有①③④，共3个. 故答案为：3个. 三、解答题 9.(1)证明：，LDAB=∠CAE, .∴.LBAD+∠BAC=LCAE+LBAC, ∠BAE=LDAC, (AB=AD ∠BAE=∠DAC, AE=AC ∴.△BAE≌△DAC(SAS), ∴.CD=BE. (2)解：，△BAE≌△DAC(SAS), ∴.∠AEB=LACD, ,∠BPC=LACD+∠ACE+LPEC, ∴.∠BPC=LAEB+LACE+∠PEC, ∴.∠BPC=LAEC+LACE, ∴.180°-LBPC=180°-(LAEC+∠ACE), ∴.∠DPB=LCAE, :LDAB=LCAE=65°， ∴.∠DPB=65°. 10.(1)证明：：∠ACB=∠DCE=90°， :∠DCE+∠ACD=LACB+LACD, .∠ACE=∠BCD, CA=CB,CE=CD, :△ACE≌ABCD(SAS): (2)解：过点D作DH⊥AC交于H, H D :∠CAD=45°， HAD=∠HDA=45°， :AH =DH, :AD=√AH2+DH2=V2AH=2√2， .AH=DH=2, :CH=AC-AH=6-2=4, CD=VCH2+DH2=V42+22=2V5, :.CE =25. 11.(1)解：由题意可知BE=BF,∠BEF=60°， ∴△BEF为等边三角形， 又：△ABC是等边三角形， LABC=LEBF=60°. :AD是边BC上的高， AD⊥BC, .∠BDE=90°. △BDE是等腰三角形， .DB=DE. ∠EBD=∠BED=180P-∠BDE)=45. LABF=LABC+LEBF-LEBD=60°+60°-45°=75°. (2)证明：：BE=BF,∠BEF=60°， ∴△BEF是等边三角形， :△ABC是等边三角形， AB=BC,∠ABE+∠EBC=60°，BE=BF,LCBF+LEBC=60°， .∠ABE=∠CBF, AB=CB 在△ABE和△CBF中{∠ABE=∠CBF, BE=BF △ABE≌△CBF(SAS); (3)解：∠BDF的大小为150°或105°或60°； 理由如下： 当△CDF是等腰三角形时， 分三种情况讨论： FD=FC时， ∠BCF=30°， .∠CDF=∠DCF=30°， .∠BDF=180°-∠CDF=150°， CD=CF时， 则∠CDF=180°-∠DCF)=75 LBDF=180°-∠CDF=105°， DC=DF时， 则∠CFD=∠DCF=30°. ∠BDF=LDCF+LCFD=60°. 综上，∠BDF的大小为150°或105°或60°. 12.(1)证明：：LACB=∠DCE=a, ∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE, CD=CE .△ACD≌△BCE(SAS), :BE AD (2)解：，△ACD≌△BCE, .∠CAD=∠CBE, 在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-LACB=180°-&， ∴，∠BAM+∠ABM=∠BAM+(∠ABC+∠CBE) =(∠BAM+∠CBE)+∠ABC =(∠BAM+∠CAD)+∠ABC =∠BAC+∠ABC =180°-0， 在△ABM中， ∠AMB=180°-（∠BAM+∠ABM) =180°-(180°-0) =0; (3)解：△CPQ为等边三角形. 证明：如图2，由(1)得BE=AD, :AD,BE的中点分别为点P、Q, :.AP=1AD=IBE=BO, 2 ,△ACD≌△BCE, .∠CAP=∠CBQ, 在△ACP与△BCQ中， CA=CB ∠CAP=∠CBQ, AP=BO .△ACP≌△BCO(SAS), ∴.CP=CQ,∠ACP=∠BCQ, 又：∠ACP+∠PCB=60°， LBCQ+LPCB=60°， :∠PC0=60°， ∴.△CPQ为等边三角形. 13.(1)证明：，△ABD,△AEC都是等边三角形， ∴.AB=AD,AC=AE,∠BAD=LCAE=60°， .ZBAD ZBAC=ZCAE ZBAC ∠DAC=∠BAE, 在△DAC和△BAE中， DA=BA ∠DAC=∠BAE, AC=AE ∴.△DAC≌△BAE(SAS): (2)证明：如图，连接BE,在AB上截取BM=BE,连接EM, D △ABD,△AEC都是等边三角形， .AB=AD=BD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=60°， .∴.LBAD-∠BAC=∠EAC-∠BAC, ∴.LCAD=LEAB, ∴.△CAD≌EAB(SAS), .∠D=LABE=60°， .BM BE ∴.△BME是等边三角形， ∴.BE=ME,LBEM=60°， ,△AEC是等边三角形， ∴.AE=CE,LAEC=60°， .∴.∠AEC=LBEM, .ZAEC-ZMEC =ZBEM -ZMEC, ∴.LAEM=LCEB, ∴.△AEM≌aCEB(SAS), ∴.AM=BC, ,△BME是等边三角形，EF⊥BM, ∴BF=MF, AF AM+MF, .AF BC+BF (3)解：，△ABD是等边三角形， ∴.AB=AD,∠BAD=60°， 设∠BAC=a,则∠DAC=60°+， .AE平分∠DAC, ∠B4c=D1c=60+al=30+a, .∠EAB=∠EAC-∠BAC=30°+a-a=30°- 20, .AB=AC,∠BAC=a, .∠ABC=180°-a=90-1a 2 0, 2 ∴.∠AEC=LABC-∠EAB=90°-1a 20-30° 1） 2=60, 故答案为：60°. 14.解：发现问题(1)：BE=CF,LBDC=30°， 如下图，设AC与BD交于点O, 图1 :∠BAC=∠EAF=30°， :.ZBAC ZCAE ZEAF ZCAE, 即LBAE=LCAF, AB=AC,AE=AF, :△ABE≌△ACF(SAS), ∴BE=CF,∠ABE=∠ACF, .'∠AOE=∠ABE+∠BAC,∠AOE=∠ACF+∠BDC, ∠BDC=∠BAC=30°： 类比探究(2)：BE=CF,LBDC=60°，理由如下： 如下图， 9 B E 图2 :∠BAC=∠EAF=120°， :ZBAC-ZCAE=ZEAF-ZCAE 即∠BAE=LCAF, AB=AC,AE=AF, ∴△ABE≌△ACF(SAS), :BE CF,ZAEB ZAFC :∠EAF=I20°，AE=AF ∠AEF=∠AFE=30° :∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-∠AFC-30)=60°； 拓展延伸(3)：·∠BAC=LEAF ∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE, 即∠BAE=∠CAF, AB=AC,AE=AF, △ABE≌△ACF(SAS), .BE=CF,∠ABE=∠ACF, :∠ABE+∠CBE+∠ACB=90 :∠ACF+∠CBE+∠ACB=90 .∠CDB=90° EB⊥CF .Sg边形FBCE=S,EFc+SFCB 0P,DCFB即 -cF(D+80 0r8 2cF. ,CF=8. “四边形FBCE的面积=)×8=×64=32. 2 15.(1)解：AE=BD,理由如下： '△ACD和△BCE是等边三角形， ∴.AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°， .∠ACD+∠ECD=∠BCE+∠ECD,即∠ACE=∠DCB, 在△ACE和△DCB中， AC=DC ∠ACE=∠DCB, CE=CB ∴△ACE≌△DCB(SAS, .'AE BD. (2)解：结论仍然成立，证明如下 ,△ACD和△BCE是等边三角形， .AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°， .∴.LACD+LACB=∠BCE+∠ACB,即∠DCB=LACE, 在△ACE和△DCB中， AC=DO ∠ACE=∠DCB, CE=CB △ACE≌△DCB(SAS, ∴AE=BD (3)解：①如图3，设AC,BE交于点O, E B 图3 LAED=LBEC=90°， ∴.∠AED+LAEB=LBEC+LAEB,即∠DEB=∠AEC, 在△AEC和△DEB中， AE=DE ∠AEC=∠DEB, CE=BE .△AEC≌aDEB(SAS), .AC=BD=10,ZPBO =20CE ZBOP=ZEOC ∴.180°-∠PB0-∠B0P=180°-∠0CE-∠E0C,即∠BP0=∠BEC=90°， .AC⊥BD, ∴.②四边形ABCD的面积为S。ABD+ScBD -号0AP+D-(n -LBD(AP+CP) 2 -号0ac =-×10×10 2 =50, 所以四边形ABCD的面积为50.