3 第2课时 直角三角形全等的判定&专题5 共顶点的等腰三角形手拉手模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 新知梳理 ①互余直角三角形②平方和③直角④互逆命题逆命题逆定理 例题引路 【例】解：(1)：∠ACB=37°，∠BAC=53°，六.∠B=180°-∠ACB-∠BAC=180°-37°-53°=90°。∴.AC=√AB+BC= √3+4平=5。(2)AC+CD=25+144=169,AD=169,∴.AC+CD2=AD。.∠ACD=90°。.∠BCD=∠ACD+∠ACB= 127°。 基础过关 1A2243.C41)解：在R△ACD中，由勾股定理，得AD=VAC-CD-√F-(皆)-点.(2)证明：在R△BCD 中，由勾股定理，得BD=√BC-CD-√3-（得） =号.AB=AD+BD=9+号=5。十3=5，即AC+B=AB, 5 .△ABC是直角三角形。5.D6.真 能力提升 7.A8.3√39.解：连接AC。在Rt△ADC中，AC=√/AD+CD严=5m。在△CAB中，：AC+AB=169,BC2=169,∴.AC+ AB=BC。÷△CAB为直角三角形，且∠CAB=90。SB=Sae6-Sae=2AC·AB-号AD·CD=24(m)。 10.解：逆 命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角形是直角三角形。已知：如图，在△ABC中，BE是 ∠ABC的平分线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相交于点O,且∠AOE=45°。求证：△ABC是 直角三角形，证明：BE是∠ABC的平分线，AD是∠BAC的平分线，∠OAB=立∠BAC,∠OBA- 号∠ABC。∠OAB+∠0BA=(∠BAC+∠ABC).∠A0E=2180-∠O。又：∠A0E=45,.∠C =90°。∴.△ABC是直角三角形。 思维拓展 11.15-53 第2课时直角三角形全等的判定 新知梳理 ①HL 例题引路 【例I】证明：连接AD。:DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠DFA=∠DEA=90°。在Rt△ADF和Rt△ADE中， IAD=AD,:.R△ADF≌ AF=AE, DB=DC, Rt△ADE(HL),.DF=DE。D是BC的中点，.DB=DC。在Rt△DBF和Rt△DCE中， ,.Rt△DBF≌Rt△DCE(HL), DF=DE. ∴.∠B=∠C,.AB=AC。 易错典例 【例2】C 基础过关 1.B2.B3.证明：：∠1=∠2，.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴△ADE和△BEC是直角三角形。在Rt△ADE和Rt△BEC 中， DE=EC:R△ADE≌R△BEC(HL)。4.C5.证明：EFLAC,∠F+∠C=90。∠ABC=90,∠A+∠C= AD=BE. ∠F=∠A, 90°。∴.∠A=∠F。在△FBD和△ABC中，∠FBD=∠ABC=90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)。.BF=AB。 BD=BC, 能力提升 6.77.5或108.(1)证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF:R△ABE≌R△CBF(H)。(2)解：R△ABE≌ AB=CB. Rt△CBF,·∠BCF=∠BAE=23°。·AB=BC,∠ABC=90°，∴.∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68°。 第5页（共48页） 9.证明：(1)·AD是△ABC的中线，，.BD=CD。BE⊥AD,CF⊥AD,,.∠BED=∠F=90°。在△BED和△CFD中， ∠BED=∠F, ∠BDE=∠CDF,∴.△BED≌△CFD(AAS)。.BE=CF。(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中， BG=CA:R△BGE≌R△CAF(HL)· BE=CF. BD=CD, ∴GE=AF。∴GE-AE=AF-AE,即AG=EF。由(ID知△BED2≌△CFD,DE=DF=EF。·AG=EF=2DE。 思维拓展 10.(-4,0) 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：·BA=BC,BD=BE,∴.∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE= 180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE。:∠BAC=∠BDE,∴.∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即 BA=BC, ∠ABD=∠CBE。在△ABD和△CBE中， ∠ABD=∠CBE,.△ABD≌△CBE(SAS)。∠BAD=∠BCE。2.证明： BD=BE, (1):△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴.AB=AC,AE=AD。:∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE十∠CAE, AB=AC, 即∠BAE=∠CAD。在△ABE和△ACD中， ∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1)知△ABE≌△ACD, AE=AD, ∴.∠ABE=∠ACD。:∠BAC=90°，∴.∠ABE十∠ACB=90°。∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。DC⊥BE。3证明： (1):△ABC和△CDE都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°。∴∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°。 CA=CB. .∠ACD=∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE,∴.△ACD≌△BCE(SAS)。∴.AD=BE。(2):△ACD≌ CD=CE, ∠MAC=∠NBC, △BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由(1)，得∠ACM=∠BCN=60°。在△ACM和△BCN中，CA=CB, .△ACM≌△BCN ∠ACM=∠BCN, (ASA)。.CM=CN。∠MCN=60°，△CMN是等边三角形。4.解：(I)△ACB和△DCE均为等边三角形，.CA=CB, CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°。∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE。∴.△ACD≌△BCE(SAS)。∴.∠ADC=∠BEC。,'△DCE 为等边三角形，∴.∠CDE=∠CED=60°。.∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，.∠AEB=∠BEC-∠CED=60°。(2)： △ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°。∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB。即 ∠ACD=∠BCE。∴△ACD≌△BCE(SAS)。∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC。:△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED= 45°。：点A,D,E在同一直线上，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=135°。·∠AEB=∠BEC∠CED=90°。CD=CE,CM ⊥DE,∴.DM=ME。.∠DCM=∠CDE=45°。∴.DM=CM。∴.AE=AD+DE=BE+2CM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②垂直平分线 例题引路 【例I】证明：：AB=AD,点A在BD的垂直平分线上。：BC=DC,∴点C在BD的垂直平分线上。.AC垂直平分BD。又： 点E在AC上，∴.BE=DE。 易错典例 【例2】68°或22 基础过关 1.D2.B3.104.B5.证明：∠C=90,∠A=30,∠ABC=90°-30=60°。：BD平分∠ABC,∠ABD=号∠ABC 30°。.∠A=∠ABD。.DA=DB。.点D在线段AB的垂直平分线上。 能力提升 6.D7.48,证明：DE/∥BC,∠CDE=∠DCR。“DC平分∠EDF,∠CDF=∠CDE=∠EDR。÷∠CDF=∠DCE。 ∴.DF=CF。点F在线段CD的垂直平分线上。AD=AC,∴点A在线段CD的垂直平分线上。∴.AF垂直平分CD。 第6页（共48页）第2课时 直角三角形全等的判定 名师导学 ◆预习先知 基础过关 。◆。逐点击破 新知梳理 知识点1用“HL”证明直角三角形全等 ①定理：斜边和一条直角边分别相等的1.如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明 两个直角三角形全等。这一定理可 Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是( ) 简述为“斜边、直角边”或“ ” A.∠A=∠D B.AB=CD ②判定两个直角三角形全等的方法共有 C.AE-EF D.∠B=∠C 5种，它们分别是“SSS”“SAS”“ASA” “AAS”“HL”。 ☑例题引路 【例1】（教材P31习题T3 变式)如图，在△ABC中， (第1题图) (第2题图) D是BC的中点，DF⊥ AB,DE⊥AC,垂足分别 2.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD,∠1=40°，则∠2的度 是点F,E,AF=AE。 数为 求证：AB=AC。 A.40° B.50° C.60° D.759 【名师点拨】先利用“H”证明Rt△ADF≌3.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AD=BE, Rt△ADE,得到DF=DE,再由“HL” ∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。 证Rt△DBF≌Rt△DCE即可. 【学生解答】 知识点2用其他方法证明直角三角形全等 4.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是 A.两条直角边分别对应相等 B.斜边和一个锐角分别对应相等 C.两个锐角对应相等 D.斜边和一直角边分别对应相等 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，且 DB=BC,过点D作EF⊥AC,分别交AC于点E,交CB 易错典例 的延长线于点F。求证：BF=AB。 【例2】如图，已知AB=AD,那么添加下 列一个条件后，仍无法判定△ABC≌ △ADC的是 A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90 【学生解答】 19第一章三角形的证明及其应用 夏能力提升 ◆·整合运用 9.如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD,垂足 6.(T3变式)(2025·西安阎良区期末)如图， 为E,CF AD,交AD的延长线于点F,G MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线 是DA的延长线上一点，连接BG。 MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7, (1)求证：BE=CF; AD=EB,DE=EC,则AB的长为 (2)若BG=CA,求证：AG=2DE。 MA D N P B CO (第6题图) (第7题图) 7.分类讨论新理念如图，有一个Rt△ABC, ∠C=90°，AC=10,BC=5,一条线段PQ= AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直 于AC的射线AX上运动，当AP= 时，才能使△ABC与△PQA 全等。 8.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°， F为AB延长线上一点，点E在BC上，且 AE=CF。 (1)求证：△ABE≌△CBF; (2)若∠BAE=23°，求∠ACF的度数。 口思维拓展 ，,·强化素养 10.如图，在△PMN中，点P,M在坐标轴上， P(0,2),N(2,-2),PM=PN,PMPN, 则点M的坐标是 数学八年级下册(BS)20 专题五共顶点的等腰三角形— 手拉手模型【回归教材】 B右手 背景：两个共顶点、等顶角的等腰三角形所组成的图形。 左手E 模型解读 已知：如图，CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD。 结论：左拉左，右拉右，围成的两个三角形全等，即△ACE≌△BCD。 左手 右手 (1)等边三角形手拉手： ☆ 常见 模型 (2)等腰三角形手拉手： 呈现 等腰直角三角形 一般等腰三角形 1.如图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，2.如图，已知△ABC与△ADE都是等腰直角 BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接 三角形，点B,C,E在同一条直线上，且 AD,CE。求证：∠BAD=∠BCE。 ∠BAC=∠DAE=90°。 求证：(1)△ABE≌△ACD; (2)DC⊥BE。 21第一章三角形的证明及其应用 3.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且4.(2025·榆林月考)【问题探究】 点A,C,E在同一条直线上，AD与BC相交 (1)如图①，△ACB和△DCE均为等边三角 于点M,BE与CD相交于点N,连接MN。 形，点A,D,E在同一直线上，连接BE, 求证：(1)AD=BE; 求∠AEB的度数； (2)△CMN是等边三角形。 【问题解决】 (2)如图②，四边形ABEC为某小区的平面 示意图，AE,BC为两条人行通道（宽度 不计)，且△ABC区域为等腰直角三角 形，∠ACB=90°，物业工作人员计划在 人行通道AE上的点D、M两处分别修 建一个凉亭，并沿CM铺设一条鹅卵石 路，根据设计要求，△CDE区域应为等腰 直角三角形，且∠DCE=90°，CM⊥DE 于点M。为了精准预算，物业工作人员 需要知道∠AEB的度数和CM,AE,BE 这三条线段之间的数量关系，请你帮助 物业工作人员计算出∠AEB的度数和 CM,AE,BE这三条线段之间的数量 关系。 图② 数学八年级下册(BS)22