1.2 等腰三角形（高效学习日日优）-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

第三部分高效学习目目优 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理 1.B2.C3.1024.直角5.6050706.15°7.解：CE是边AB 上的高，∠BEC=90°。：∠ABC=50°，.∠BCE=40°。：∠AFC=80°， ∴.∠CGF=60°。∴.∠AGC=180°-∠CGF=120°。 第2课时三角形的外角 1.D2.60°3.∠A<∠BEC<∠BDC4.50°5.解：(1)∠DAE是 △ABD的外角，.∠DAE=∠B+∠D=50°。∴.∠D=∠DAE-∠B=50 -30°=20°。(2)AD平分∠CAE,∴.∠DAC=∠DAE=50°。在△ACD 中，∠ACD=180°-∠DAC-∠D=180°-50°-20°=110°。 第3课时多边形的内角和与外角和 1.D2.C3.C4.B5.900°6.97.188.解：六边形ABCDEF的 每个内角都相等，.一个内角的大小为6-2)X180=120。·∠E=∠F 6 =∠BAF=120°。，∠1=48°，.∠FAD=120°-48°=72°。∴.在四边形 ADEF中，∠2=360°-∠E-∠F-∠FAD=48°。 2等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.B2.D3.120°4.225.19或236.2084°7.解：AE∥BC。理由 如下：AB=AC,∴∠B=∠C。,∠DAC=∠B+∠C,∴.∠DAC=2∠B。 :AE平分∠DAC.∠DAE=号∠DAC=号×2∠B=∠B.AE/BC 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.B3.D4.等腰5.这两个角所对的边相等6.等边对等角等 角对等边 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.D3.B4.485.66.证明：，△AB0是等边三角形，∴∠A= ∠B=∠AOB=60°。.CD∥AB,∴.∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°。又 ∠COD=∠AOB=60°，∴∠D=∠C=∠COD=60°。∴△OCD是等边三 角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C2.B3.B4.B5.42°6.87.解：∠ADE=124°，∠CDE= 180°-∠ADE=56°。.DE∥BC,∴.∠C=∠CDE=56°。：在△ABC中， ∠A=90°，.∴∠B=90°-∠C=34°。 第2课时利用“HL”判定两个直角三角形全等 1.D2.D3.34.59°5.证明：，AE⊥BC,DF⊥BC,∴.∠AEC= ∠DFB=9O°。BE=CF,.BE+EF=CF+EF,即BF=CE。在Rt △ACE和Rt△DBF中，AC=DB,CE=BF。.Rt△ACE≌Rt△DBF (HL)。∴∠C=∠B。∴AC∥DB。 4线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理 1.B2.C3.AB4.BD=CD线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等5.解：DE垂直平分BC,.BE=CE。.△AEC的周长 为13，.AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=13。AB=8,.8+ AC=13。∴.AC=5。 第2课时尺规作等腰三角形与三角形三边的垂直平分线 1.A2.B3.A4.55.解：，AD垂直平分BE,EF垂直平分AC,∴.AB =AE=EC。.∠ABE=∠AEB,∠C=∠CAE。:∠BAE=40°，∴.∠AEB =号×180°-409)=70.∠EAC=号∠AED=35°。∠AEF=90°- ∠EAC=55°。.∠BEF=∠AEB+∠AEF=70°+55°=125°。2等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 堂请练习 名师讲坛 1.如图，△ABC中，AC=AD=BD,∠DAC=80°，则 01要点领悟 ∠B的度数是 1.在等腰三角形性质定理的 A.20° B.25° C.35° D.40° 推论中，“三线”中只要有“一线” 成立，其余“两线”都成立。这条 性质可简称“三线合一”。 2.等边三角形是特殊的等腰 三角形，具有等腰三角形的所有 第1题图 第2题图 第3题图 性质，但等腰三角形不一定是等 2.如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上， 边三角形。 ∠DBC=35°，则∠ADB的度数是 () 3.等边三角形是轴对称图 A.25° B.60 C.85 D.95 形，它有三条对称轴，而底边长和 3.如图，BD,CE是等边三角形ABC的两条中线，则 腰长不相等的等腰三角形只有一 ∠BFC= 条对称轴。 4.已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9， 02典例导学 则它的周长为 【例】如图，直线m∥n,△ABC是 5.已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于9， 等边三角形，顶点B在直线n上， 则它的周长为 直线m交AB于点E,交AC于 6.如图，在△ABC中，AB=AC, 点F,若∠1=140°，则∠2的度数 AD⊥BC于点D,若AB=6,CD= 是 (B) 4,∠BAD=42°，则△ABC的周长 是 ,∠BAC= 7.如图，在△ABC中，AB=AC,AE是△ABC的外角 ∠DAC的平分线，那么AE∥BC吗？为什么？ A.80° B.100° C.1209 D.140° 【点拨】本题主要考查了等边三角 形的性质，平行线的性质，三角形 外角的性质，题目比较基础，熟练 掌握性质是解题的关键。 第2课时等腰三角形的判定与反证法 堂清练习 名师讲坛 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定 △ABC是等腰三角形的是 () 01要点领悟 A.∠A=50°，∠B=70°B.∠A=70°，∠B=40 用反证法证明时，如果结论 C.∠A=30°，∠B=90°D.∠A=80°，∠B=609 的反面不止一种情况，那么必须 2.如图，把一张长方形纸条如图折叠，重合部分是( 把各种可能的情况全部列举出 A.等边三角形 来，并且要一一加以否定，才能证 B.等腰三角形 明原结论是正确的。 C.直角三角形 02方法技巧 D.无法确定 等腰三角形的判定方法： 3.如图，在3×3的正方形网格中，以AB (1)用等腰三角形的定义，即有 为一边，点P在格点上，使△PAB为等 两边相等的三角形是等腰三角形； 腰三角形的点P有 ( B (2)用判定定理，即“等角对等边”。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 03典例导学 4.在△ABC中，如果∠B=65°，∠A的外角等于130°， 【例】如图，在△ABC 那么△ABC是 三角形。 中，AB=AC,∠A= 5.用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相 36°，∠ABC,∠ACB 等，那么这两个角所对的边也不相等。可以先假设 的平分线BE与CD 交于点F,那么图中的等腰三角 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M为AB上一点，且 形共有 (0) MB=MC A.6个B.7个C.8个D.9个 求证：MA=MC。 【点拨】由AB=AC得∠ABC= 请在下面证明过程后边的括号内填上适当理由。 ∠ACB=72°，继而根据角平 证明：MB=MC(已知)， 分线定义可得∠ABE=∠ACD .∠B=∠1( ）。 =∠EBC=∠DCB=36°，再 又.∠ACB=90°， 根据三角形外角的性质可得 ∴.∠1+∠2=90°， ∠BDC=∠BEC=72°， ∠A+∠B=90°。 ∠CFE=∠BFD=72°，然后 .∠A=∠2（等角的余角相等）。 根据“等角对等边”进行判断即可 ∴.MA=MC( ）。 得到答案。 5 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 堂请练习 名师讲坛 1.以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是( 01要点领悟 A2,2,3 B.3,3,3 C.3,4,5 D.3,4,4 利用含30°角的直角三角形 2.下列条件中，不能判断△ABC是等边三角形的是( ) 的性质定理，可以把三角形中角 A.∠A=∠B=∠C B.AB=AC,∠B=60° 的关系转化为边的关系，切记此 C.∠A=60°，∠B=60 D.AB=AC,∠B=∠C 定理的条件有两个，一个是在直 3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒 角三角形中，另一个是一个锐角 为30°。应用时要找准30°角所对 下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度 的直角边，明确斜边。 为 () 02典例导学 A6米 B.9米 C.12米 D.15米 【例】如图，△ABC为等边三角 形，D为BC延长线上的一点，CE 平分∠ACD,CE=BD。 30° D 求证：△ADE为等边三角形。 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路BC(B,C为小 路端点)和一棵小树(A为小树位置)。测得的相关数 据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC= B 米。 (答题模板)，△ABC为等边三角形， ∴.∠B=∠ACB=∠BAC 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于 60°，AB=AC。∴.∠ACD=120° 点D,CD=2,则BD的长为。 .CE平分∠ACD,.∠ACE 6.如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB,分别交AO, ∠DCE=60° BO的延长线于点C,D ∴.∠B=∠ACE。 求证：△OCD是等边三角形。 .BD=CE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS). ∴.AD=AE ∠BAD=∠CAE, 即∠BAC+∠CAD=∠DAE+ ∠CAD. ∴.∠BAC=∠DAE=60°。 又AD=AE, △ADE为等边三角形。 6