三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型2025-2026学年北师大版八年级数学下册试题

**基本信息** 聚焦三角形双角平分线与高线模型，通过基础计算、复合应用到拓展探究的三层设计，构建从单一知识点到综合推理的巩固路径，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双角平分线、高线基础模型计算|单选题1-3直接考查内角平分线夹角公式，夯实概念理解| |能力提升|内外角平分线结合、多结论辨析|填空题7-9涉及中线与垂直平分线综合，解答题11-13多问递进，提升模型迁移能力| |综合拓展|跨情境模型应用与规律探究|解答题15-18通过变式探究（点位置变化、多角平分线叠加），培养创新意识与逻辑推理|

《三角形的证明》--三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 一、单选题 1.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠A=60°，则∠BFC等于 () E A.100° B.110° C.120° D.150° 2.如图，在△ABC中，∠ABC=LACB,BD是∠ABC的平分线，AD是△ABC的外角∠EAC的平分 线，CD是△ABC的外角LACF的平分线，以下结论不正确的是() E A A.AD∥BC B.∠ACB=2 ZADB C.AB=AD D.CD∥AB 3.如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，BE,CE分别平分∠ABC,LACD,CF⊥BE,垂 足为F.若LA=60°，则∠ECF=() B D C A.30° B.60° C.65° D.70° 4.在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的 平分线相交于点D,与∠ABC的外角平分线相交于点E,则下列结论一定正确的个数有() 个 B ①∠E+∠DcP=90+∠480：②∠E=0-A:®∠n0c=90+A:④∠D=4. A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在△ABC中，BD、BE分别是高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交 BD于G,交BC于H,下列结论：①∠DBE=∠F;②2LBEF=LBAF+LC;③ ∠F=∠BAC-∠C:④∠BGH=LABE+1C,正确的是() E H C A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.如图，等腰△ABC中AB=AC,∠ABC=46°，三角形的内外角的角平分线交于点P,∠P的度 数为 B D 7.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CF是边AB上的中线，DE是线段CF的垂直平分 线.已知LFCB=15°，则∠B=一 E 8.如图，直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,则∠P与∠B、∠D的数量关系 是 B D 9.如图，在△ABC中，∠A=a,∠ABC的平分线与∠ACB的外角（∠ACD)的平分线交于点A; LABC的平分线与∠A,CB的外角的平分线交于点4，…，以此类推，则∠A2s=(用含0的 式子表示) B 10.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,LB0C=130°. (1)∠A的度数为 (2)若CD平分外角LACF,交BO的延长线于点D,点E是ABC的两外角平分线的交点，则 ∠E-∠D的度数为一· 三、解答题 11.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=3∠A. D (1)求∠ACB的度数； (2)若BD平分∠ABC,CE是△BCD的高线，求LBCE的度数， 12.在△ABC中，已知∠A=40°. M B (1) (2) (1)如图(1)，角平分线BM和CM相交于点M,求∠BMC的度数. (2)如图(2)，外角平分线BN和CN相交于点N,求∠BNC的度数. I3.如图，四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角LMBC和LNDC,若LBAD=a, ∠BCD=B. M M F B B D D 图1 图2 (1)如图1，若a+B=105°，求∠MBC+∠NDC的度数； (2)如图1，若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°，请直接写出a,阝所满足的数量关系式； (3)如图2，若a=B,判断BE,DF的位置关系，并说明理由. 14.在△ABC中，AE是边BC上的高. A B B D E D E 图1 图2 (1)如图1，若AD是边BC上的中线，S△4Bc=7.5cm,AE=3cm,DE=0.8cm,求CE的长. (2)如图2，若AD是△ABC的角平分线，∠C=66°，∠B=38°时，求∠DAE的度数. 15.已知：在△ABC中，∠C>LB,AE平分∠BAC交BC于点E. F G E D B PE D C ① ② ③ (1)如图①，AD⊥BC于点D,若LC=60°，LB=30°，求∠DAE的度数； (2)如图①，AD⊥BC于点D,若∠B=a,∠C=B,求∠DAE的度数（用含，B的式子表示）： (3)如图②，在ABC中，AD⊥BC于点D,F是AE上的任意一点（不与点A,E重合），过点 F作FG⊥BC于点G,且LB=30°，LC=80°，请你运用(2)中的结论求出LEFG的度数； (4)在(3)的条件下，若点F在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则LEFG的度数会 发生改变吗？说明理由， 16.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. B B B M M Q 图① 图② 图③ (1)如果∠A=80°，求∠BPC的度数； (2)如图②，作△ABC外角LMBC,LNCB的角平分线交于点0，已知LA=a,求∠Q(用a表示). (3)如图③，延长线段BP、QC交于点E,当LA= 时，△BQE中存在一个内角等于 另一个内角的2倍（直接写出∠A的度数）. 17.(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是∠BAC的角平分线，CD是AB边上的高线， AE、CD相交于点F,若LBAC=40°，求∠AFC的度数. (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交 CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若LBAC=a,求∠AFC的度数 (用o表示)： (3)如图3，在△ABC中，∠ACB=∠BACa,∠ABC的平分线BD与AC交于点D,与△ABC的外 角∠CAG的平分线交于点E,过点E作EF⊥BG,交BG与点F,请自行补全图形，并证明 ∠AEF=∠AEB=& 2 G F D E B B 图1 图2 图3 18.(1)在△ABC中，∠A=60°，图1，∠0是两内角平分线的夹角；图2,0是内角和外角角 平分线的夹角；图3，∠0是两外角平分线的夹角，请直接写出∠0的度数， 如图1，L0=；如图2,10=；如图3,40= 0 0 图1 图2 图3 (2)如图4所示，在△ABC中，∠ABC的三等分线BO、BO2和∠ACB的平分线CO,相交于点O 和点Q,∠2=135°，∠1=115°，求∠A的度数. A B 图4 参考答案 一、单选题 1.C 解：：在△ABC中，∠A=60°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°， :LABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F, ∠FBc=ABc,∠FcB=54ca, :∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠ACB=60, ∴.∠BFC=180°-∠FBC+∠FCB=120°. 故选：C 2.D 解：∠ABC=LACB, ∴.∠EAC=∠ABC+LACB=2LABC, ,'AD是△ABC的外角∠EAC的平分线， ∠EAC=2∠EAD, ∴.∠EAD=∠ABC, ∴.AD∥BC, ∴.LADB=LCBD, BD是∠ABC的平分线， ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠ABC, ∴.LACB=2LADB,AB=AD, ,CD是△ABC的外角∠ACF的平分线，LACF=∠ABC+∠BAC, ∴.∠ACF=2LDCF, 由于题干并未给出∠ABC=∠BAC,所以无法得到LACF=2LABC,也就无法得到CD∥AB; 故选D. 3.B 解：：BE,CE分别平分∠ABC,LACD, ∠Bc-4c,∠cn=AcD .∠ACD=∠ABC+∠A, :∠A=∠ACD-∠ABC. ∠B=∠BD-∠B8c=54CD-ABc-∠4CD-∠AaC-5A=30. :CF⊥BE, ∴.∠ECF=60°. 故选：B. 4.D 解：由条件可知， ∠ABD=L0BC=∠ABC,∠0CB=∠AC0=ACB, 2 208c+20cB=∠ABc+∠4c=l80-∠小=90-A, 21 ∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=90°+）∠A, 2 故③正确，符合题意； 由条件可知，∠DcF4cF, :∠ACF=∠ABC+LA,∠DCF=LOBC+∠D, .2∠OBC+2∠D=∠ABC+∠A, 1 D=24A, 故④正确，符合题意： :∠MBC=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,LACB+∠A+∠ABC=180°， ∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠ABC+LA=I80°+LA, :BE平分∠MBC,CE平分∠BCN, ·∠MBC=2LEBC,LBCN=2LBCE, ∠E8C+∠ECB=80+∠A=90+)A, 2 :∠E=180°-∠EBC+∠ECB)=90°-∠A, 2 故②正确，符合题意； '∠DCF=LDBC+LD, .E+LDCF=90°A+LDBC4)AE90°±∠DBC :LABD=∠DBC, LE+∠DCF=90°+LABD, 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④. 故选：D. 5.D 解：，BD⊥AC, .∴.LF+LFGD=90°. ,FH⊥BE, .∴.∠DBE+∠BGH=90°. ZFGD ZBGH LDBE=LF.故①符合题意； BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE=∠ABC. 2 ZBEF ZCBE +ZC ∴.2LBEF=2LCBE+LC)=∠ABC+2LC, ,·∠BAF=∠ABC+∠C, ∴.2LBEF=LBAF+LC.故②符合题意； BE平分∠ABC, ∠aE=方48c-lw-∠B4C-∠0=90r4c-4c. ,BD⊥AC, ∴.∠ABD=90°-∠BAC. ∠D8E-∠48E-48D-90B4c-C90-∠B4c<B4c-∠C. 由①知：∠DBE=∠F, ∠r-∠B4C-∠C.故③符合题意： BD⊥AC,FH⊥BE, .∠BGH+∠DBE=90,∠BED+∠DBE=90°. .ZBGH ZBED ZCBE +ZC ,BE平分∠ABC, .∠ABE=LCBE, ∴.LBGH=LABE+LC.故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D. 二、填空题 6.44° 解：，AB=AC, ∴.∠ABC=LACB, :三角形的内角LABC的角平分线为BP, i<C8P=号Aac, :CP平分△ABC外角， ∠DcP∠AcD-A+∠ABc)A+ABc, 在△ABC中，由三角形的外角性质，得， ∠DCP=∠CBP+∠P=∠ABC+∠P, 2 AABC-2ABC4P 2P=号A=5x180-2Z4BC)-180-2x469)=4: 2 故答案为：44°. 7.30° 解：如图，连接DF, D B AD⊥BC, ∴.LADB=90°， ,CF是边AB上的中线， ∴.DF=FB, ,DE是线段CF的垂直平分线， ∴.CD=DF, .∴.LFCB=LCFD=I5°， ∴.∠FDB=30°， ∴.∠B=∠FDB=30°， 故答案为：30°. 8.∠P=(∠B+∠D)+90° 2 解：如图，作LBCD的平分线与AP的延长线交于点N,AN与BC交于点M,CN与AD交于点Q 、M W 3A公6D C :AP平分∠BAD,CP平分∠BCE,CN平分∠BCD, ·∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6， :∠3+∠4+∠5+∠6=180°， 1 :∠PCN=∠4+∠5=二x180°=90°. :∠AMB=∠CMN,∠AQN=∠CQD, :∠1+B=∠5+∠N,∠6+∠D=L2+∠N, ·∠2+∠5+2LN=∠1+∠6+LB+∠D, :2∠N=∠B+∠D, ·N=2B+∠D, :∠APC=∠N+∠PCN, ∠aC=∠B+∠D+90, 即∠P-B+D+9. 故答案为：∠P=∠B+∠D)+90. 9.22025 解：'LBA,C+LA,BC=LA,CD,2LA,CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC, .2(∠BA,C+∠A,BC)=∠BAC+∠ABC, .2∠BA,C+2∠ABC=∠BAC+∠ABC, 而2∠A,BC=∠ABC, .2∠BA,C=∠BAC, 4=4, 以此类推得，∠2=京A:…4n=A, .∠BA02sC= 22025, 故答案为：25· 10. 80° 10° (1)解：，B0平分∠ABC,C0平分∠ACB, ∴.∠ABC=2L0BC,∠ACB=2L0CB. ,∠0BC+∠0CB+LB0C=180°，∠B0C=130°， .∠0BC+∠0CB=50°， .∴.∠ABC+∠ACB=2(L0BC+∠0CB)=100°， .∠A=180°-∠ABC+∠ACB)=80° (2)解：由(1)知∠ABC+∠ACB=100° ,点E是△ABC的两外角平分线的交点， ·.∠CBE=180-∠ABC),∠BCE=180°-∠ACB, .∠E=180°-∠CBE-∠BCE=-180-2180°-∠ABC)-2180°-∠ACB8) =24Bc+Z4C)=x10o=50. ,BO平分∠ABC,CD平分外角LACF, “∠0ac=∠ABc,tDcr=54cr. .LOBC+∠D=∠DCF,∠ACF=I80°-∠ACB, :D=P-∠0c=3Acr-H8c =180-Z4C0-548c=90-<4c8+∠4Bc1=903x10=40, .∠E-∠D=50°-40°=10°. 三、解答题 11.(1)在△ABC中，∠ABC=60°， .∠ACB+∠A=120°. .∠ACB=3∠A, .4∠A=120°，∠A=30°. ∠ACB=90°. (2)BD平分∠ABC, ∠D8c-48c=0. :CE是△BCD的高线， ∠CEB=90°. .∠BCE=180°-∠CEB-∠EBC=60°. 12.(1)解：：∠BMC=180°-∠MBC-∠MCB, 2∠BMC=360°-2∠MBC-2∠MCB, .BM平分∠ABC,CM平分∠ACB, ∠ABC=2∠MBC,∠ACB=2∠MCB, .2∠BMC=360°-（∠ABC+∠ACB), :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 2∠BMC=180°+∠A, B∠BMC=90°+2ZA, 当∠A=40°时，∠BMC=110°； (2)解：∠CBD=∠ACB+∠A,∠BCE=∠ABC+∠A, .BN平分∠DBC,CN平分∠BCE, .∠CBD=2∠NBC,∠BCE=2∠BCN, :2LNBC+2∠BCN=∠ABC+∠ACB+2∠A, ∠ABC+∠ACB+LA=180°， :2∠NBC+2LBCN=180°+∠A, ,∠NBC+∠BCN+∠BNC=180°， 360°-2LBNC=180°+LA, 即∠C=0-A. E A 夕 D 当A=40°时，∠BNC=70°. 13.(1)解：：四边形ABCD的内角和为360°， :a+B=∠A+∠BCD=360°-LABC+∠ADC), :∠MBC和LNDC是四边形ABCD的外角， :∠MBC=180°-∠ABC,∠NDC=180°-∠ADC, :LMBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC =360°-LABC+LADC), =0+B =105°； (2)解：B-a=90°. 理由：如图1，连接BD, F B D -N 图1 由(1)有，∠MBC+∠NDC=a+B, :BE、DF分别平分四边形的外角LMBC和LNDC, LCBG=3LMBC,∠CDG=;∠NDC, LCBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=∠MBC+∠NDC)=号a+B), 1 在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-B, 在△BDG中，∠BGD=45°，∠GBD+LGDB+LBGD=180, .∠CBG+∠CBD+∠CDG+LBDC+∠BGD=180°， ∠CBG+∠CDG+∠BDC+∠CBD+∠BGD=180°， :a+B)+1800-B+45=180, .B-0a=90°. 故答案为阝-a=90°； (3)解：BEDF. 理由：如图2，过点C作CP‖BE, M 一E D 图2 则∠EBC=∠BCP, .∠DCP=∠BCD-∠BCP=B-∠EBC, 由(1)知∠MBC+∠NDC=a+B, .a=B, .∠MBC+∠NDC=2B, 又：BE、DF分别平分LMBC和LNDC, ∴∠EBc+∠FDC=∠MBc+∠NDC=B, .∠FDC=B-∠EBC, 又'∠DCP=B-∠EBC, .∠FDC=LDCP, ..CPI DF, 又CPI‖BE, .BE DF. 14.(1)解：，AE是边BC上的高， 5c-468Cc=75, .AE 3cm, .∴.BC=5cm, AD是边BC上的中线， .'.CD=BC=2.5cm, 2 .∴CE=CD-DE=l.7cm; (2).∠C=66°，∠B=38°， .∴.∠BAC=180°-∠C-∠B=76°， ,AD是△ABC的角平分线， .∠CAD=∠BAC=38°， ,AE是边BC上的高， ∴.∠CAE=90°-∠C=24°， .∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE=14°. 15.(1)解：，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C, :AE平分LBAC,·∠BAE=∠CAE=∠BAC=080-∠B-∠O=90-(B+∠O, ,AD1BC,LADC=90°，∴.∠DAC=90°-∠C, “∠D4E=2C4E-2D4C=902B+20-o-2O=C-∠A, 当LC=60°，LB=30°时，∠DAE=(60°-30)=15°； (2)由(1)可知，∠D1E=(2C-∠B),当∠B=a,∠C=B时，∠D1E=B-a): (3):∠D1E=号(2C-∠B,而∠B=80,4C=80,∠D1E=-x80-309=25°， AD⊥BC,FG⊥BC,∴.FG∥AD,∴LEFG=LEAD=25°； (4)∠EFG的度数大小不发生改变，理由如下： ,AD⊥BC,FG⊥BC,∴.FG∥AD,∴.∠EFG=∠EAD=25. 16.(1)解：LA=80°. :∠ABC+∠ACB=100°， ,点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∠BPc=ls0-∠ABc+∠4CB=180-×100=130: (2):外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q, ∠08C+∠0c8=AMnC+∠CB, -360-∠A8c-∠4c8, 0+A, =90°+ .∠0=180°- ,∠A=, 40=90°-28： (3)延长BC至F, A P B M 9 图③ .CQ为△ABC的外角LNCB的角平分线， ·CE是△ABC的外角LACF的平分线， ∠ACF=2LECF, :BE平分∠ABC, :ZABC 2ZEBC, :∠ECF=LEBC+LE, :2ZECF =2ZEBC +2ZE 即∠ACF=∠ABC+2LE, 又：LACF=LABC+LA, 六∠A=2∠E,即∠E=)∠A: 2 ∠EBQ=∠EBC+∠CBQ, =2ABC+∠MBC, )∠ABC+∠A+∠ACB)=90P 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2LE=90°； ②∠EB0=2∠Q=90°，则∠Q=45°，LE=45°，LA=2LE=90°； ③∠0=2☑E,则90-A=∠A,解得1A=60; ④4E-20,则4=20-列 解得∠A=120°. 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°. 17.解：(1)CD是AB边上的高线， ·∠ADC=90°， :AE是∠BAC的角平分线，∠BAC=40°， :∠DAE=∠BAC=20, 2 又：LAFC=LDAE+LADC, :∠AFC=20°+90°=110°； (2)解：AF为LBAG的角平分线， ·∠GAF=∠DAF=∠BAG=180°-& 2 2 CD是AB边上的高， ∠ADF=90°， ∠AFC=90°-∠FAD=90°_180°-a=a 22 (3)如图：作出的∠ABC平分线BD,与AD交于D点，作出△ABC的外角CAG的平分线AE, 两条平分线交于点E,过点E作EF⊥BG,交于点F, 证明：在△ABC中，∠ACB=∠BAC=a, G、F D CL B ∠ABC=180°-2a, 又.BD平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD=180°-2a-90°-a, 2 :∠BEF=90°-EBF=a. 又：AE平分LCAG, ÷∠FAE=∠DAE=180°-&=90- 2 2 EF⊥BG, LBFE=90°， :∠AEF=90°-∠FAE=90°- ∠AEB=C- aa 22' ∴∠AEF=∠AEB= 2· 18.解：(1)如图1： A B C 图1 ,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, “∠CB0-Ac,∠c0-4cB, ∴.L0=180°-∠CB0-LBC0 =1w-4cc8 =180-c18c+Aca =180r180-∠4到 =180°-1180°-60) 2 =120°； 如图2： A B C D 图2 ,BO平分∠ABC,CO平分LACD, .∠CB0=∠ABC,∠DC0=,LACD, 2 2 .LACD=∠BAC+LABC=60°+LABC, ∠0=∠DC0-∠CB0=60+∠ABC-∠ABC=30: 如图3， B E 图3 .BO平分∠CBE,CO平分LBCF, C04cE,∠Bc0Bcr, ∠CBE=180°-∠ABC,LBCF=180°-∠ACB, ∴.LBCF+∠BCO =180°-∠ACB+180°-∠ABC =360°-（∠ACB+∠ABC) =360°-(180°-∠BAC) =360°-180°-601 =240° 9Dt∠BC0ZCBE+∠BCF .∴.L0=180°-LCB0+∠BC0)=60°. 故答案为：120°，30°，60°. (2)解：，：∠ABC的三等分线BO、BO和∠ACB的平分线CO相交于点O和点O, ∠CB0,-号4ac,∠CB0-4c,c0=4c,080-4Bc, ∠2=∠1+∠0B02,∠2=135°，∠1=115°， .∴.∠0，B02=∠2-∠1=20°， ∴.∠ABC=3∠0，B02=60°， ÷2C80=写46c=20, .∴.∠BC01=180°-∠CB0,-∠2=25°， .∴.∠ACB=2∠BC01=50°， .∠A=180°-∠ABC-∠ACB=70°.