1 1.5 第2课时 三角形的角平分线-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

第2课时 三 知识储备 三角形的三条角平分线相交于一，点，并且这 一点到三条边的距离 01基础练 必备知识梳理一 知识点一 三角形的角平分线的性质 1.如图，O为△ABC的三条角平分线的交点， OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为 D,E,F,连接OA,OB,OC,下列说法不一定 正确的是 () A.△BOD≌△BOFB.∠OAD=∠OBF C.∠COE=∠COFD.AD=AE 第1题图 第2题图 2.如图，O是△ABC中∠ABC,∠ACB的平分 线的交点，且点O到BC的距离为3cm,则点 O到AB的距离是 cm。 3.(1)如图，在△ABC中，AB=16,AC=12,O 为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥ BC于点D,若OD=4,则△AOB的面积为 第3(1)题图 第3(2)题图 (2)【T3(1)变式】如图，△ABC的三边AB, BC,CA的长分别为30,40,50，其三条角平 分线相交于点O,则S△AB0：S△0：S△cA0= 21八年级数学下册·BS 角形的角平分线 知识点二三角形的角平分线的判定及应用 4.(2025·铜仁期中)如图所示是一块三角形的 草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要 使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位 置应选在△ABC () A.三条中线的交点 B.三边的垂直平分线的交点 B4 T YY T C.三条角平分线的交点 D.三条高在直线的交点 5.如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路 恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 6m和8m。按照输油中心点O到三条支路 的距离相等来连接管道，则点O到三条支路 的管道总长（计算时视管道为直线）是() A.2 m B.3 m C.6 m D.9m 第5题图 第6题图 6.如图，有三条铁路a,b,c相互交叉，现在建一 个货物中转站，要求到三条铁路的距离相等， 则可供选择的地址有 处。 02综合练 身关镜能力提升一 7.(2025·郑州期末)如图，在△ABC中，∠B 100°，点D在△ABC的内部，且到三边的距 离相等，则∠ADC= 0 第7题图 第8题图 8.如图，已知△ABC的周长为20，OB,OC分别 平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D, OD=3,则S△ABC= 0 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8, BC=6,D为AC上一点，若BD是∠ABC的 平分线，则AD= D B 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接 AD,2∠B=∠DAC,CE⊥AD于点E,若 AE=DE=3,BC=14,则AC的长为 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是 Rt△ABC的一条角平分线，点O,E,F分别 在BD,BC,AC上，且OE⊥BC于点E, OF⊥AC于点F,OE=OF。 (1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)若AC=5,BC=12,求OE的长。 微专题目角平分线+ 【例】如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若 CD=2cm,则OD= B (答题模板)，OC平分∠AOB: ∴.∠1= .CD∥OB, .∠1= ..OD=CD= cm。 【针对练习】 1.如图，BC∥AD,∠ABC的 平分线交AD于点E, ∠BCD的平分线交AD于 点F,若AB=CD=3,AD=4,则EF的长 是 A.1 B.2 C.2.5 D.3 …++”十+”++++十+”…+十十…+十十+”十+n+十…+十” 请完成进阶测评（二） 平行线+等腰三角形 2.(1)如图1，在△ABC中，∠ABC,∠ACB 的平分线交于点O,过点O作EF∥BC分 别交AB,AC于点E,F,若BE=3,CF=2, 则EF的长是 图1 图2 (2)如图2，将图1中的∠ACB的平分线改 为外角∠ACD的平分线，其他条件不变， 则EF,BE,CF之间的数量关系为 +“+++…++n十…+…+十十++++++n+十+n++十+ 助学助教优质高效2210.解：如图所示，点P和P1即为所求。 第10题图 第11题图 11.解：BE=CF。证明：连接DC,DB。,点D在∠BAC的平分线上，DE」 AB,DFLAC,,∴.DE=DF,∠BED=∠F=90°。又，点D在BC的垂直平 分线上，∴.DB=DC。∴.Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)。∴.BE=CF。 12.证明：(1)，∠1=∠2，.OA平分∠BAC。又CD⊥AB,BE⊥AC, .OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°。在△BOD和△COE中， ∠BDO=∠CEO, OD-OE, .△BOD≌△COE(ASA)。.OB=OC。 ∠BOD=∠COE, ∠BDO=∠CEO, (2)在△BOD和△COE中， ∠BOD=∠COE,∴.△BOD≌△COE(AAS)。 OB=OC, ∴.OD=OE。又CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,∴.OA平分∠BAC, 即∠1=∠2。 第2课时三角形的角平分线 知识储备 相等 基础练 1.B2.33.(1)32(2)3:4:54.C5.C6.47.1408.309.5 10.811.(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M。BD平 分∠ABC,OE⊥BC于点E,OM⊥AB于点M,∴.OE=OM。 M .OE=OF,.OM=OF。又：OF⊥AC,.点O在∠BAC 的平分线上。(2)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，ACB =5,BC=12,∴.AB=13。连接OC。S△ABc=S△0B十S△0Bc十S△A0c2 AC·BC=-2AB·OM+7·BC·OE+2AC·OP。OM=OE=OF,AC =5,BC=12.AB=13.2×5×12=号×18·0E+号×12·0E+号× 5·OE。∴.OE=2。 微专题三角平分线十平行线→等腰三角形 【例】2cm∠2∠C∠2∠C2 【针对练习】 1.B2.(1)5(2)EF=BE-CF 方法技巧专题（一）构造等腰三角形的方法 1.解：∠ACE=∠B十∠ECD。理由如下：延长CE交AB于点 F。.AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD。,CELAD, ∴.∠AEC=∠AEF=90°。又.AE=AE,△AEC≌△AEF (ASA)。∠ACE=∠AFE。又，∠AFE=∠B十∠DCE, ∴.∠ACE=∠B+∠ECD。2.证明：延长BA,CD相交于点Q。 .∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，∴.∠ACQ+∠Q=90°， ∠ABE+∠Q=90°。∴.∠ACQ=∠ABE。在△ABE和 ∠ABE=∠ACQ, △ACQ中，AB=AC, ∴.△ABE≌△ACQ ∠BAE=∠CAQ, B (ASA)。.BE=CQ。BD平分∠ABC,.∠QBD= ∠CBD。∠BDC=90°，.∠BDC=∠BDQ=90°。在△QDB和△CDB