专题02 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题02 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型 目录 题型一：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1 题型二：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 6 题型三：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 14 题型四：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 23 题型一：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 模型总结： 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：. 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，. ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A. 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D. 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，. ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）.即：2∠P=∠A+∠D. 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：. 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，. ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°.即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°. 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值(用含的度数来表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用； （1）利用三角形的内角和定理求解； （2）由（1）的结论可知 【详解】（1）解：，． ，即， ∴． ． （2）由（1）可知，， ． 2．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，点分别在射线上运动（不与点重合），分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到的度数，由角平分线的定义可得的度数，根据三角形外角的性质求出的度数即可； （2）同（1）的方法求出的度数，从而求出的度数． 【详解】（1）解：若， ， 、的平分线交于点， ， ∴； （2）解：在中，， 、的平分线交于点， ， ． 3．（25-26八年级上·广东肇庆·月考）在中，和的平分线相交于点O． (1)若，求的度数； (2)求证： 【答案】(1)的度数为 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，利用整体思想是解题的关键． （1）首先根据平分和，可得，再根据三角形内角和定理即可算出的度数； （2）根据三角形的内角和定理把表示出来，再根据角平分线的定义表示出，然后在中利用三角形的内角和定理列式整理即可得证． 【详解】（1）解：∵平分和，， ∴， ∴在中， ， ∴的度数为； （2）解：在中，， ∵平分和， ∴， ∴在中， ． 4．（25-26八年级上·山东滨州·月考）数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在的内部有一点D，分别连接和．”所形成的图形展开研究． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，和分别平分和． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，运用以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，结合已知条件，根据角的运算进而得到，最后由三角形内角和定理即可求得答案； （2）①根据三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得到，最后由三角形内角和定理即可求得答案；②同①的原理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）在中，已知的等分线与的等分线相交于点，试猜想：与的数量关系．（且为整数） (1)如图1，当时，探究与的数量关系； (2)如图2，当时，与的数量关系：________； (3)如图3，猜想与的数量关系：________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理． （1）当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数； （2）当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数； （3）根据与的结论可得出猜想． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴； （2）解：∵当时，， ∴； 故答案为：； （3）解：由可知，． 故答案为：． 题型二：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 模型总结： 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，. ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A. 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，. ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=.同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，平行线的判定． （1）根据角平分线的定义得出，结合已知推出，于是问题得证； （2）根据是的一个外角得出，再根据角平分线的定义推出，再根据是的一个外角得出，从而推出与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ； （2）解：， 理由： ∵是的一个外角， ， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ， ． 2．（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，则______； (2)判断与的数量关系，并加以证明； (3)若的平分线与的外角的平分线相交于点（如图2），直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线、三角形内角和、三角形的外角的性质： （1）（2）如图（见解析）利用三角形内角和定理、并结合角平分线和三角形的外角的性质即可得； （3）利用（2）中结论即可得到，从而可得． 【详解】（1）解：，理由见（2）； 故答案为：． （2）解：，证明如下： 如图， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）结论可知：， 又， ∴， 即． 3．（25-26八年级上·吉林·月考）（1）【探究发现】如图①，在中，点P是内角和外角的平分线的交点． ①若，求的度数： ②试猜想与之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： （2）【迁移拓展】如图②，在中，点P是内角和外角的n等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【应用创新】如图③，相交于点C，的平分线交于点P，若，，则________度． 【答案】（1）①，②；（2），理由见解析；（3）38 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角定理等知识． （1）①根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可求出； ②根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可证明； （2）根据三角形外角性质和角的代换即可证明； （3）根据（1）②分别求出，，即可求出． 【详解】解：（1）①∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； ②∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； （2）． 证明：∵是外角，是外角， ∴； （3）∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，点F在的延长线上，的平分线与相交于点Q． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． 5．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． 题型三：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 模型总结： 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，. ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A. 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD. 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD., 1．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 2．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图，分别是的内角、的平分线，两外角、的平分线交于点， (1)若，求的度数． (2)若用含有的式子表示，则______，并给予证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）根据三角形的外角的定义，结合角平分线的定义，求出的度数，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是的内角、的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明见解析： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵两外角、的平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，点 P是两内角平分线的交点，N是两外角平分线的交点，延长交于点M． (1)①若 ，则 ②的数量关系是 ； (2)请探索证明与之间的数量关系； (3)在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，关于角平分线的计算等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，得出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可；②求出，，即可得到答案； （2）根据角平分线定义得出，，根据，得出，同理得出，根据四边形内角和求出即可； （3）先证明， 根据，得出，分四种情况分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： ②∵N是两外角平分线的交点，延长交于点M． ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为： （2）解：；理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 即， 同理得：， ∴； （3）解：∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： 若，则， ∴； 若，则， ∴， ∴； 若，则， ∴； 若，则， ∴； 综上所述，的度数是或或或． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 5．（25-26八年级上·天津·月考）直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）． (1)如图1，，若，与的角平分线相交于点，的度数为_____； (2)如图2，，与的角平分线相交于点，的度数为_____； (3)如图3，若，与的角平分线相交于点，延长至点，的角平分线与射线相交于点，点A、B在运动的过程中，试探索与之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理和外角的性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理、角分线定义即可求得的度数； （2）与（1）同理，只是把内角平分线转化为外角平分线，借助外角的性质即可得结论； （3）根据内角和外角平分线的定义可得，再利用可得结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， ． （2）解：与的角平分线相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：．如图：   与的角平分线相交于点， ，， 由外角的性质可得：，， ． 平分，平分， ， ，即． 题型四：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 模型总结： 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 1．在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 【答案】 /10度 /30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出是解本题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线概念得到，然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可； （2）首先由角平分线的概念得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴ ∴； （2）∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：；． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再根据即可得出； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系． 【详解】（1）证明：在中，， 是的平分线， ， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ； （3）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ． 3．（25-26八年级上·山西忻州·月考）（1）如图1，在中，点D，E在边上，平分，，，，求的度数； （2）如图2，若把（1）中的条件“”变成“点F为的延长线上一点，”，其他条件不变，求的度数； （3）若把（1）中的条件“”变成“点F为AD的延长线上一点，”，其他条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）图见解析， 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和、平行线的性质，解题的关键是能够举一反三，通过第一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题． （1）关根据角平分线的性质和三角形内角和的性质求角度； （2）作于H，由（1）的结论和平行的性质得到； （3）作于H，由(1)的结论和平行的性质得到． 【详解】（1）如图1，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）如图2，作于点H，由（1）可得， ∵， ∴， ∴. （3）如图3，作于点H，由（1）可得， ∵， ∴， ∴. 4．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线定义求出，再结合垂直定义、以及三角形内角和求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意，结合图形，用、表示出，利用角平分线，表示出，仿照第（1）题，表示出，即可得到结果； （3）结合图形，用，表示出，利用角平分线，表示出，利用是的外角，表示出，同时也是的外角，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 5．（2024八年级上·安徽合肥·竞赛）（1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：（1）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ； （2）不变，理由如下：    由（1）可知，， 是的外角， ， ， ； （3）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型 题型归纳 目录 题型一：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 .1 题型二：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型6 题型三：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型14 题型四：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型， …23 题型专练 题型一：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 模型总结： 1)两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P:结论： ∠P=90+3∠A 证明：，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P,∴ ∠PBC=ABC,☑PCB=5∠ACB 1 ∴.∠P-180°.（∠PBC+∠PCB)=180°.2（∠ABC+∠ACB)=180°.2(180°-∠A)-=90°+2∠A 2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D. ∠PBC=)∠ABC∠PCB=)∠DCB 证明：，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,. 1 1 1 .∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°.2（∠ABC+∠DCB)=180°-2(360°-∠A-∠D)=2(∠A+∠D), 即：2∠P=∠A+∠D 3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,两条角平分线相交于点P;结论： 2∠P=∠A+∠B+∠E-180° 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：·CP、DP平分∠BCD、∠CDE,∴ ∠nCD=∠BcD,∠PDc=∠CDE .∠P-180°.（∠PCD+∠PDC)=180°.2（∠BCD+∠CDE)=180°.2(540°-∠A-∠D ∠E)=∠A+∠D+∠E-90°即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°. 1.(24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4. A 100 ◇ 47 B (1)若∠A=100°，求x的值： (2)若∠A=n°，求x的值（用含n的度数来表示）. 2.(25-26八年级上·福建南平·月考)如图，点A,B分别在射线OM,ON上运动（不与点O重合）， AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线，延长BC交OM于点G. (1)若∠O=60°，求∠ACG的度数： (2)若∠O=n°，求∠ACG的度数.（用含n的代数式表示） 3.(25-26八年级上：广东肇庆·月考)在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. B A (1)若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数： (2)求证：∠0=90°+∠A 2 4.(25-26八年级上·山东滨州月考)数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在△ABC的内部有 一点D,分别连接BD和CD.”所形成的图形展开研究. 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (I)如图1，若∠BDC=120°，∠ABD=30°，∠ACD=40°，求∠A的度数： (2)如图2，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB ①若∠BDC=110°，求∠A的度数： ②若∠BDC=a,请直接写出∠A的度数（用含a的式子表示）· 5.(25-26八年级上：安徽阜阳·月考)在△ABC中，已知∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于点 Gn1,试猜想：∠BGm-C与∠A的数量关系.(n≥2且n为整数) G 图1 图2 图3 (I)如图1，当n=2时，探究∠BGC与∠A的数量关系： (2)如图2，当n=3时，∠BGC与∠A的数量关系：∠BGC= (3)如图3，猜想∠BGn-C与∠A的数量关系：∠BGn-C= (用含n的式子表示) 题型二：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 模型总结： 图1 图2 1)一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P;结论： 3/11 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 证明：，BP、CP平分∠ABC、∠ACD, ∠PBC=∠ABc.∠PCD=AcD .∠P∠PCD-∠PBC2(∠ACD-∠ABC)=2∠A. 2)一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，∠A=a,∠ABC、∠ACD的平分线相交于点P,∠BC,∠PCD的平分线相交于点B, ∠BBC,∠RCD的平分线相交于点B…以此类推：结论：∠P的度数是2 明：BP1、Cp1平分∠ABC、∠4CD,2FBC=5<ABC∠PCD ∠ACD 2 11 ∠R=∠PCD-∠PBC-2(∠ACD-∠ABC)-i∠A=2同理：∠P-2∠P=2&,∠P. 0y 1.(24-25八年级上·四川成都期末)如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, 且BE、CE交于点E. (I)若∠ABC=∠ACE,求证：AB‖CE: (2)试探究∠A与∠E之间的数量关系，并说明理由. 2.(25-26八年级上广东东莞·月考)如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平 分线相交于点D. B 图1 图2 (1)若∠A=50°，则∠D= (2)判断∠D与∠A的数量关系，并加以证明： (3)若∠DBC的平分线与△DBC的外角∠DCE的平分线相交于点G(如图2)，直接写出∠G与∠A的数 量关系 3.(25-26八年级上·吉林·月考)(1)【探究发现】如图①，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD的平分线的交点. ①若∠A=60°，求∠P的度数： ②试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： (2)【迁移拓展】如图②，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即 ∠PBC=∠BC,∠PCD∠ACD,试猫想∠p与∠A之间的数量关系，并证明你的箱想： n (3)【应用创新】如图③，AD、BE相交于点C,∠ABC、∠CDE、∠ACE的平分线交于点P,若∠A=36°， ∠E=40°，则∠BPD= 度 图① 图② 图③ 4.(25-26八年级上山东临沂·月考)如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交AC于 点E,DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,点F在BC的延长线上， ∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q. (1)若∠A=40°，∠B=60°，则∠DPC= °，∠Q= o: (2)若∠A=a,当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？若要变化，说明理由：若不 变化，求出∠DPC、∠Q的度数（用a的代数式表示）· 5.(25-26八年级上·甘肃张掖·月考)如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平 分线相交于点D D D E B E 图1 图2 ()判断∠D与∠A的数量关系，并加以证明： 5/11 ◎学科网·上好课 www.zxx .com 上好每一堂课 (2)如图 2，∠DBC 与 ∠DCE 的平分线交于点 $$D _ { 1 } ，$$ ，得 $$\angle { D _ { 1 } } ； \angle { D _ { 1 } } B C$$ 与 $$\angle { D _ { 1 } } C E$$ 的平分线相交于点 $$D _ { 2 } ，$$ ，得 $$\angle { D _ { 2 } } ； \cdots ， \angle { D _ { 2 0 2 5 } } { B C } 与 \angle { D _ { 2 0 2 5 } } { C E }$$ 的平分线相交于点 $$D _ { 2 0 2 6 } ，$$ ，得 $$\angle { D _ { 2 0 2 6 } } ，$$ ，直接写出 $$\angle { D _ { 2 0 2 6 } }$$ 6与 ∠A 的关系 (3)如图2，若 $$\angle { D _ { 1 } } = 5 ^ { \circ } ， \angle A C B = 8 5 ^ { \circ } ，$$ ，求 ∠ABC 的度数. 题型三：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 模型总结： A H C D D B C $$h _ { 3 }$$ N E F B A E B A M $$\overrightarrow { M E }$$ 图1 图2 图3 1)两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在 △ABC 中， BO，CO 是 △ABC 的外角平分线；结论： $$\angle O = 9 0 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle A$$ 证明： ∵BO、CO 平分 ∠CBE、∠BCF，∴ $$\angle B C F ， \therefore \angle O B C = \frac { 1 } { 2 } \angle E B C ， \angle O C B = \frac { 1 } { 2 } \angle B C F$$ $$\therefore \angle O = 1 8 0 ^ { \circ } - \left( \angle O B C + \angle O C B \right) = 1 8$$ $$+ \angle O C B \right) = 1 8 0 ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \angle E B C + \angle B C F \right) = 1 8 0 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \left( \angle A + \angle A C B +$$ ∠A+∠ACB+∠ABC+∠A) $$= 1 8 0 ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \frac { 1 } { 2 } \left( 1 8 0 ^ { \circ } + \angle A \right) = 9 0 ^ { \circ } + \frac { 1 } { 2 } \angle A .$$ 2)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分 ∠ABC，CD 平分 ∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点 D； 结论： AD 平分 ∠CAD. 证明：如图3，过点D作 DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD 平分 ∠ABC，CD 平分 ∠ACB 的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD 平分 ∠CAD， 1.(25-26八年级上四川广安期中)如图，在 △ABC 中，BD，CD分别是 ∠ABC，∠ACB 的外角平分 线， 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若∠ABC=50°，∠ACB=40°，那么∠D= (2)若∠A=a,求∠D的度数（用含a的式子表示）. 2.(25-26八年级上·广东江门月考)如图，BG、CG分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，两 外角∠DBC、∠ECB的平分线交于点F, (1)若∠A=80°，求∠BGC的度数. (2)若用含有∠A的式子表示∠BFC,则∠BFC=,并给予证明. 3.(25-26八年级上山东济宁·月考)如图，点P是△ABC两内角平分线的交点，N是△ABC两外角平分 线的交点，延长BP,NC交于点M. (1)①若∠A=100°，则∠BPC= ②∠A,∠M的数量关系是_： (2)请探索证明∠BPC与∠W之间的数量关系： (3)在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，求∠A的度数. 4.(25-26八年级上·浙江宁波·期中)如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. 7/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (I)如果∠A=80°，求∠BPC的度数： (2)如图②，作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,己知∠A=,求∠Q(用a表示)· (3)如图③，延长线段BP、QC交于点E,当∠A= 时，△BQE中存在一个内角等于另一个内角 的2倍（直接写出∠A的度数）. 5.(25-26八年级上·天津·月考)直线MN与直线P2垂直相交于点O,点A在射线OP上运动（点A不与 点O重合)，点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）. M E M M B B B A P A oo 图1 图2 图3 (1)如图1，MN⊥1P2,若∠BAO=30°，∠BAO与∠ABO的角平分线相交于点E,∠AEB的度数为： (2)如图2，MN⊥PO,∠BAP与LABM的角平分线相交于点E,∠AEB的度数为一： (3)如图3，若∠MOQ<90°，∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于点E,延长BA至点G,∠OAG的角平分线 与射线EO相交于点F,点A、B在运动的过程中，试探索∠F与∠ABO之间的等量关系，并证明你的结论 题型四：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 模型总结： 1)条件：如图1，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，结论： ∠DME=∠C-∠B到 2)条件：如图2，F为△ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FD1BC于D,结论： ∠DFA=(∠C-∠B) 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B ED 图1 图2 D证明：：4C平分∠B4C,片∠E1C=<B1C :∠BAc=180-∠B-C,2Bic-8e-ZB-∠0=90-B-<c :2EiD=∠B4C-2D4C=0B-c-0w-20-2C-∠B 2)证明：如图，过A作AG1BC于G,由(2)可知： ∠EAG=C-∠B AG⊥BC,∠AGB=90°，FD⊥BC,∠FDC=90°，.∠AGD=∠FDC,FD∥AG, ∠AD=B4G,∠AFD=C-∠m 1.在△ABC中，∠A=40°，∠C=60°，BD是△ABC的角平分线. 图1 图2 (I)如图1，若BE是△ABC的高，则∠DBE的度数为 (2)如图2，若BF是△ABD的角平分线，G是BF延长线上一点，过点G作GH⊥AC于点H,则∠G的 度数为 2.(25-26八年级上·全国期中)如图1，AD,AE分别是∠ABC的高和角平分线（∠C>∠B). A F B ED C B ED 图1 图2 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求证：∠DM=引<C-∠A, (2)如图2，若点F为AE上一点，且FD⊥BC于点D,试推导∠EFD与∠C,∠B之间的等量关系： (3)当点F在AE的延长线上时，且FD⊥BC于点D,其余条件都不变，请直接写出∠EFD与∠C,∠B之 间的等量关系 3.(25-26八年级上山西析州月考)(1)如图1，在△ABC中，点D,E在边BC上，AD平分∠BAC, AE⊥BC,∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数； B DE 图 (2)如图2，若把(1)中的条件“AE⊥BC”变成“点F为DA的延长线上一点，FE⊥BC”,其他条件 不变，求∠DFE的度数： F B D EC 图2 (3)若把(I)中的条件“AE⊥BC”变成“点F为AD的延长线上一点，FE⊥BC”,其他条件不变， 请画出相应的图形，并求出∠DFE的度数. 4.(24-25八年级上·河南信阳·期末)在△ABC中，CE平分∠ACB,∠A>∠B D E 图1 图2 (I)如图1，若CD⊥AB于点D,∠A=70°，∠B=40°，则∠DCE的度数为： (2)如图1，若CD⊥AB于点D,猜想并写出∠A、∠B、∠DCE之间的数量关系，并说明理由： (3)如图2，设∠A=a,∠B=B,当点F在射线EF上时（不与点E重合），且DF⊥AB于点D,直接写出 ∠DFE的度数为： .(用含a、P的式子表示). 5.(2024八年级上·安徽合肥·竞赛)(1)【判断】如图1，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，作 10/11