2026年山东省济南市天桥区中考二模数学试题

2026年九年级学业水平考试模拟测试 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分.考试时间为120分钟. 答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将 学校、班级、姓名填写在试卷规定的位置上. 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5m黑色签字笔在答题卡上题号所提 示的答题区域作答.答案写在试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 第I卷（选择题共40分） 都 一、 选择题(（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 1.下列实数中，是有理数的为 A.√2 B.π C.0 D.4 弼 2.盖碗茶是中国传统饮茶方式，茶具由盖、碗、托三件组成，又称“三才碗”，盖为天、托 童 为地、碗为人，寓意天地人和.如图，是一种盖碗茶具的实物图，关于它 的三视图，下列说法正确的是 A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 触 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 正面 3.ChatGPT是人工智能研究实验室Ope4I新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处 理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数 法表示为 A.1.75×103 B.1.75×1012 C.1750×108 D.1.75×101 4.下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 同 数学试题第1页（共8页） 5.下列运算正确的是 A.d÷ad2=ad B.-2d)3=-6a6 C.a+a3-as D.a2.a-d 6.己知a<b,则下列不等式变形不正确的是 A.a+1<b+1 B.3-a<3-b C.-2a-1>-2b-1 D.a< 22 7.若x=-1是关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是 A.-1 B.0 C.1 D.2 8.将分别标有“大”、“美”、“泉”、“城”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球 除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回后再随机摸出一球， 两次摸出的球上的汉字可以组成“泉城”的概率是 a话 c.1 8 D. 9.如图，在△ABC中，∠C=90°， ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M,交AB于点N: ②分别以M,N为圆心，以大于二MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P; ③作射线AP交BC于点D: ④分别以A,D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点G,H: ⑤作直线GH,分别交AC,AB于点E,F. A 依据以上作图，若AF=3,CE=1, F米H 则△ACD的面积是 A.2 B.2N2 GC D B 第9题图 C.4V2 D.6V2 10.定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”.若二次函数y=x2-2x+c (c为常数)在-1<x<3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是 25 A.4<c<7 B.4<c< C.0<c<7 D.0<c<25 4 数学试题第2页（共8页） 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1.第IⅡ卷必须用0.5黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.) 11.因式分解：x2-25= 12.一只不透明的袋中装有2个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意 摸出1个球，摸到白球的概率为二，那么黑球的个数大约是 13.如图，在⊙O中，OA=2,∠C=45°，则图中阴影部分的面积为 s/km 80 G 20--- 011.5 第13题图 第14题图 第15题图 14.A,B两地相距80k,甲、乙两人沿同一条路从A地到B地.甲、乙两人离开A地的距 离s(单位：k)与时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当=3时，甲、乙两人 相距 km. 15.如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E,且CE=4AE,点F在DC的延长线上， 连接EF,过点E作EG⊥EF,交CB的延长线于点G,连接GF并延长，交AC的延长 线于点P,若AB=5,CF=2,则线段EP的长是 三、解答题（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.） 16.(本小题满分7分) 计算：（令+月-2si血60°+（π-2026°-8. 17.(本小题满分7分) 2x-2<x① 解不等式组： X,1≤2x-②'并写出它的所有整数解. 2 3 数学试题第3页（共8页） 18.(本小题满分7分) 如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的点， C 且AE=CF.求证：AF=CE. A E B 第18题图 19.(本小题满分8分) 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别）， 其示意图如图2，摄像头P的仰角∠APN、俯角∠BPN都为15°，摄像头高度OP=150cm, 识别的最远水平距离OQ=120cm. (1)小玲站在离摄像头水平距离80cm点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线 AP处)，请问小玲的身高约为多少厘米？ 郑 (2)身高145cm的小婷，头部高度为16cm,当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小 婷能被摄像头识别吗？请说明理由.（结果精确到0.1cm.参考数据：sinl5°≈0.26，cos15° ≈0.97，tanl5°≈0.27.) A 摄像头P N水平线 痢 第19题图1 MO 第19题图2 細 20.(本小题满分8分) 如图，己知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线， 切点为C,AE⊥DC,垂足为E,连接AC E (1)求证：AC平分∠BAE: B C2)若AC=10,tan∠AcE=三，求⊙0的半径 第20题图 数学试题第4页（共8页） 21.(本小题满分9分) 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来.为培养学生创新思 维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计 分析： 【收集数据】 (1)随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本.下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适 的是： (请填写序号) ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩： ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩： ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩： ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%学生的竞赛成绩， 【整理数据】 郑 将学生竞赛成绩的样本数据分成A,B,C,D四组进行整理如表： 组别 A B C D 成绩(al分) 60≤a<70 70≤a<80 80≤a<90 90≤a≤100 【描述数据】 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图 杯 学生竞赛成绩的频数直方图 学生竞赛成绩的扇形统计图 频数/人 80 B 60 D 40 38% 20-- 阳 60708090100成绩/分 第21题图1 第21题图2 【分析数据】 根据以上信息，解答下列问题： (2)①抽取学生竞赛成绩的样本容量为 请补全频数直方图： ②抽取的样本数据中位数所在组别是 组 (3)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 度； 靠 (4)若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中 成绩为优秀的人数， 数学试题第5页（共8页） 22.(本小题满分10分) 【问题背景】 2026央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱.为满足儿童对机器人玩具的 需求，某玩具店决定购进A,B两种机器人玩具. 素材一：己知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元. 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具 数量的2倍. 【问题解决】 (1)求购进A,B两种机器人玩具的单价： (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A,B两种机器人玩具共40个，且A种机器人 玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具 各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ A种机器人玩具B种机器人玩具 23.(本小题满分10分) 如图1，一次函数片=：+b与反比例函数马=”(x>0)的图象相交于点A(3,4), B(6,m)两点，点C为线段AB中点，连接AO,CO. (1)求一次函数与反比例函数的表达式： (2)求△AOC的面积： (3)如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”.在平面内是 否存在点P、Q（点P在直线AB上方)，使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请直接写 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. B 0 O E 第23题图1 第23题备用图 数学试题第6页（共8页） 24.(本小题满分12分) 如图，二次函数y=x2+2x+c(a≠0)的图象经过点B(4,0)和点M(1,4),与x轴 交于另一点A. (1)求二次函数的表达式： (2)在x轴上方的二次函数图象上有一动点C, ①如图I,作射线BC,当BC平分∠ABM时，求点C的坐标. ②如图2，连接BC,AC,设点C的横坐标为，当△ABC为锐角三角形时，求出的 取值范围， A A 第24题图1 第24题图2 数学试题第7页（共8页） 25.(本小题满分12分) 已知四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD边上的点，DE与CF交于点G. 【问题发现】 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，DE⊥CF, DE CE (2)如图2，四边形ABCD是矩形，DE⊥CF,AB=m,AD=n, DE CR 【拓展探究】 (3)如图3，四边形ABCD是平行四边形，∠B=∠EGF,求证： DE AD CF CD 请写出完整的证明过程，以下思路仅供参考 思路一：在AD的延长线上取点M,使CM=CF… 思路二：在线段DF上取点N,使CN=CD… 数 【解决问题】 （4)如图4，BA=BC=5,DA=DC=10,∠BAD=90°，DE⊥CF,求DE CF -y A 痢 G E 第25题图1 第25题图2 舸 D B G E B C 第25题图3 C第25题图4 数学试题第8页（共8页）2026年九年级学业水平考试模拟测试 数学试题 参考答案 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D A D B B C C B 10.解：由题意可得“和谐点”所在直线为y=-a+6, 将a=-1代入y=-a+6得y=7, 将a=3代入y=-a+6得y=3, 设A(-1,7),B(3,3),如图， y=-a+6 联立y=a2-2a+c 得a2-2a+c=-a+6, 即a2-a+c-6=0, .抛物线与直线y=-a+6有两个交点， .△=(-1)2-4(c-6)>0, 5 解得c<4 当直线a=-1和直线a=3与抛物线交点在点A,B上方时， 抛物线与线段AB有两个交点， 把a=-1代入y=a2-2a+c, 得y=3+c, 把a=3代入y=a2-2a+c 得y=3+c, .3+c>7 3+c>3 解得c>4, 25 4 数学试题答案第1页（共8页） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 132 11: (x+5)（x-5) 12.6 13.π-2 14.40 15.2 15.解：如图，作FH⊥PE于H. A E B ,四边形ABCD是正方形，AB=5, AC=5V2,∠ACD=∠FCH=45°， .'∠FHC=90°，CF=2, .CH=HF=, .CE=4AE, ..EC=42,AE=2, ∴EH=5v2, 在Rt△EFH中，EFP=E+Ff=(5V2)2+(V2)2=52, ,∠GEF=∠GCF=90°， .E,G,F,C四点共圆， ∴.∠EFG=∠ECG=45°， .∠ECF=∠EFP=135°， 数学试题答案第2页（共8页） ,'∠CEF=∠FEP, ∴.△CEF∽△FEP, EF EC ∴.EPEF, ∴.EF2=ECEP, 5213√2 .EP=4W2=2 三、解答题：（共90分） 16.解，写+-2sn60+a-2020y-8 1-25 =3+3-2x -5分 =3+V5-V5+1-22 =4-22 --7分 17.解：解不等式①，得<2， -2分 解不等式②，得≥-1， .-4分 在数轴上表示不等式①②的解集如下 -2-101234 > “原不等式组的解集是-≤x<2, -6分 .它的所有整数解有：-1,0,1. --7分 18.证明：四边形ABCD是菱形， ·AB=BC, -1分 AE=CF, ∴AB-AE=BC-CF, 即BE=BF, ---3分 :在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠B=∠B BF=BE ·△ABF≌△CBE(SAS), -6分 数学试题答案第3页（共8页） ..AF=CE. -7分 D A E B 第18题图 19.解：(1)如图，过M作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点E,D,交水平线于点 F, -1分 由题意知∠POQ=∠OPF=∠FMO=90°， ∴.四边形POMF是矩形， ..PF=OM=80 cm,MF=OP=150 cm, -2分 tan∠EPF=EF 在Rt△PEF中， F,tan∠EPF=l5°， .∴.EF=PF-tanl.5o=80×tanl5≈21.6， -3分 ∴.ME=MF+EF=150+21.6=171.6, 答：小玲的身高约是171.6厘米： -.4分 A E CA 摄像头P N水平线 摄像头P HN水平线 D B GB “0M 第19题图2 第19题图2 数学试题答案第4页（共8页） (2)过Q作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点C,G,交水平线于点H, 同(1)可知四边形POQH是矩形， .'.PH=00=120cm,OH=OP=150cm, 在Rt△PCH中， tan∠CPH=CH PH,tan∠CPH=l5o ∴.CH=PH-tan1.5°=120×tanl5≈32.4(cm), 同理GH=P∠GPH=PH-tan15°=120×tanl5≈32.4(cm), ∴.GQ=QH-GH=150-32.4-117.6(cm), CQ=QH+CH=150+32.4=182.4(cm), -6分 小婷头部以下的高度为：145-16=129(cm), -7分 .129cm>117.6cm,且小婷身高145cm<182.4cm, .小婷整个头部都在摄像头视角范围内 .小婷能被摄像头识别. -8分 20.(1)证明：连接OC, .直线DC是⊙O的切线，切点为C, .OC⊥DC, -1分 ∴.∠OCD=90° 又，AE⊥DC,垂足为E, ∴.∠AEC=90°， ∴.∠OCD=∠AEC=90°， ..OC AE, -2分 ∴.∠EAC=∠ACO, .OC=0A, ∴.∠ACO=∠OAC, -3分 ∴.∠EAC=∠OAC, .AC平分∠BAE; 4分 D D E B数学试题答案第廖（共8 第20题图 第20题图 (2)解：连接BC, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠AEC=90=∠ACB 由(1)得，∠EAC=∠OAC, ∴.90°-∠EAC=90°-∠OAC, ∴.∠ABC=∠ACE, 在Rt△ABC中， tan∠ABC=tan∠ACE= 4 AC103 .BCBC 4. BC=40 3, -6分 AB=AC2+BCZ=50 ∴.在Rt△ABC中， -7分 ,AB是半径， 25 25 OA= .半径 3,即⊙0的半径为3 -8分 21.解：(1)④： -1分 (2)①150： -2分 学生竞赛成绩的频数直方图 人频数/人 80 60 57 45 40 20 28 20 3分 0 60708090100成绩1分 第21题图1 数学试题答案第6页（共8页） ②B -4分 (3)108. 6分 45+28 1500× ×100% (4) 150 -8分 =730(名). 答：估计该参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数大约是730名. -9分 22.解：(1)设A种机器人玩具的单价为x元，则B种机器人玩具的单价为(x+10)元， --1分 25001500 ×2 根据题意得：xx+10 -3分 解得：x=50, -4分 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意， .x+10=50+10=60(元). -5分 答：A种机器人玩具的单价为50元，B种机器人玩具的单价为60元：---6分 (2)设购进A种机器人玩具m个，则购进B种机器人玩具(40-m)个， 购进A、B两种机器人共花费w元， 由题意得：m≤3(40-m). 解得： m≤30. -7分 由题意得：w=50m+60(40-m),即w=-10m+2400, --8分 .-10<0 ∴.w随m的增大而减小. .m≤30且m为正整数 当m=30时，w取得最小值，最小值为-10×30+2400=2100（元），-9分 .40-m=40-30=10(个) 答：购买A型机器人玩具30个和B型机器人玩具10个时花费最少，最少花费是2100元. --10分 23.解：(1)由题意得：n=3×4=12, 数学试题答案第7页（共8页） 反比例函数的表达式为：.占、 X -1分 12 12 y2= m= =2 将点B(6,m)代入x得： 6 ∴点B(6,2), 把点A(3,4)、B(6,2)代入乃=+b得 2 「4=3k+b k=- 3 2=6k+b,解得b=6 = .直线AB的表达式为： 3+6 (2)连接OA、OB, 由一次函数的表达式可知，点E(9,0), --4分 1 S.408S.OE-S.OE= ×0E×(y4-ya)=×9×(4-2)=9 则 ---5分 ,C为AB中点 A0c=S.A0B=4.5 则 2 -6分 F A B 0 第23题图1 22,24) 3118) (3)存在，P55或P55 -10分 24.解：(1)把B(4,0)、M(1,4)代入y=m+2x+c得 0=16a+8+c 4=a+2+c 1分 数学试题答案第8页（共8页） a=- 3 解得 e-3 --3分 2 y=- x2+2x+ ∴.抛物线的表达式为 31 3 4分 8 (2)①令 2x2+2x+3=0 3 解得=4，=-1 ∴.A(-1,0) 法一：过点M作MD∥x轴交BC的延长线于点D,则∠D=∠DBA, :'BC恰好平分∠ABM,即∠DBM=∠DBA, ∴.∠D=∠DBM, .DM=BM=V(1-4)2+(4-0)2=5 -5分 又·M(1,4) .D(-4,4) -6分 设直线BC的表达式为y=+b,把B(4,0),D(-4,4)代入得 1 [0=4k+b k=- 2 4=-4+b,解得b=2 1 y=- )r+2 ∴直线BC的表达式为 -7分 y= 2 8 x2+2x+ 3 3 1 联立P=2+2 ,解得 =4,5=- 4 c-1,17) .48 D M 数学试题答案第？页（共8页） C A/O B x 第24题图1 第24题图1 法二：连接AM,交BC于点N ,'AB=BM=5, ∴.△ABM为等腰三角形 `·'BC恰好平分∠ABM ·点N为线段AM的中点 -5分 N(0,2) -6分 设直线BC的表达式为y=a+b 把B(4,0),N(0,2)代入得 0=4k+b K=- 2 2=b ，解得(b=2 1 y= 直线BC的表达式为 2+2 -7分 2 8 y=-二x2+2x+9 3 3 1 联立P 2*+2 ,解得 =45=- 4 c-1,1 48 -8分 2 ② C(m,亏m2+2m+ 当AC⊥BC时，如图，过点C作x轴的平行线PQ,作AP⊥PQ于点P,BQ⊥PQ于点？ 易证△APC一△CQB AP CP .Co BO -9分 3m2+2m+8 2 m+1 4-m 、 3m+2m+ 8 -10分 数学试题答案第10页（共8页） 1 7 解得 m=2m= -11分 1 7 <m< 当△ABC为锐角三角形时2 2 -12分 y 9 第24题图2 25.(1)1 -2分 n (2)m -4分 (3)方法1： 证明：在AD的延长线上取点M,使CM=CF, -5分 则∠CMF=∠CFM, AB∥CD, ∴.∠A=∠CDM, -6分 ,AD∥BC, ∴.∠B+∠A=180°， ,'∠B=∠EGF, ∴.∠EGF+∠A=180°， ∴.∠AED=∠CFM=∠CMF, ∴·△ADE△DCM, -7分 DE AD :CM DC, DE AD 即CFDC: --8分 A F G E 数学试题答案第11页（共8页） B 第25题图3 方法二：在AD上找一点N,使得CN=CD… F D E B 第25题图3 (4)方法一： 解：过C作CN⊥AD于N,CMLAB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x, ∠BAD=90,即AB⊥AD, ∴·∠A=∠M=∠CNA=90°， ∴.四边形AMCN是矩形， ∴·AM=CN,AN=CM, 在△BAD和△BCD中， AD=CD AB=BC BD=BD .△BAD≌△BCD(SSS), ∴.∠BCD=∠A=90°， ∴.∠ABC+∠ADC=180°， :∠ABC+LCBM=180°， ∴.∠MBC=∠ADC, ,∠CND=∠M=90°， ∴.△BCM∽△DCN, -9分 CM BC CM5 .CNCD,即x10, CM-2 在Rt△CMB中， CM 2,BM=AM-AB=x-5,由勾股定理得：BM+CM=BC2, 数学试题答案第12页（共8页） (x-52+(5x=5 -10分 解得：=0（舍去），=8， -11分 ∴.CN=8, .∠A=∠FGD=90°， ∴.∠AED+∠AFG=180°， '∠AFG+∠NFC=180°， ∴.∠AED=∠CFN, ∠A=∠CNF=90, ∴·△AED∽△NFC, DE AD 10 5 .CF CN 84 -12分 A N G B 第25题图4 方法二：连接BD .AB=CD,AD=CD,BD=BD ∴·△ABD≌△CBD(SSS ∴.∠A=∠BCD=90°， -9分 过点C作CP⊥AB,交AB延长线于点P, 过点D作DOLPC,交PC延长线于点Q, 易证四边形APOD为矩形， ·AP=DQ DQ⊥PC,CP⊥AB ∴.∠P=4Q=90°， 数学试题答案第13页（共8页） ∴.∠DCQ+∠CDQ=90°， ,∠BCD=90°， ∴.∠BCP+∠DCQ=90°， ∴.∠BCP=∠CDQ ·△BPC-△CQD BP PC BC51 .CO DO CD 102 设BP-m,则CQ-2m,AP=DQ=5+m 5.1 CP=+m 22 m2+(51 +二m)2=52 在Rt△BPC中，由勾股定理 22 -10分 解得m=3,m=-5(舍) .'.AP=8 -11分 过点C作CHLAD交AD于点H. .'CH⊥AD .∠CHA=90°=∠BAD .‘∠P=90°， ∴.四边形APCH为矩形 ∴·AP=CH=8 .'DE⊥CF ∴.∠EGF=90°， ∴.在四边形AEGF中，∠AEG+∠AFG=180°， .∠HFC+∠AFG180°， .∠HFC=∠AEG ∴·△AED~△HFC DE AD 10 5 .CF=CN=8=4 -12分 A 母 G D 数学试题答案第14页（共8页） P女