2026年山东省济南市初中学业水平数学考试第二次诊断全真模拟试卷

**基本信息** 本试卷全面覆盖初中数学核心知识，通过真实情境（如智能充电桩、太极图）和梯度问题设计，考查数学抽象、几何直观与数据意识，适配二模诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、三视图、科学记数法、概率|基础概念与空间观念结合，如几何体左视图（第2题）| |填空题|5/20|因式分解、概率、平行线性质、函数图像|文化情境（太极图概率，第12题）与几何计算结合| |解答题|10/90|方程应用、圆的证明、统计分析、函数综合|综合实践（测量花果篮高度，第19题）与动态几何（第25题），考查推理能力与模型意识|

2026年山东省济南市初中学业水平数学考试第二次诊断全真模拟试卷 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷共25小题，考试时间120分钟，满分150分. 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 3．某地的耕地面积为422800亩．将数据422800用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点和表示的数分别为和，下列式子中，错误的是（   ） A． B． C． D． 5．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（    ） A．2或 B．3或 C．2 D． 7．有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤(lǎng)”、“朤(lǎng)”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（     ） A． B． C． D． 8．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ） A．100米 B．80米 C．60米 D．40米 9．如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，若，菱形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 10．如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．因式分解：____________． 12．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为________．    13．如图，直线，一块∠B=60°的直角三角板ABC按如图所示放置，若∠1=70°，则∠2的度数为______． 14．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______千米． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共计90分，解答题要有必要的文字说明） 16．（本小题满分7分）计算： 17．（本小题满分7分）解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 18．（本小题满分7分）如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 19．（本小题满分8分）某数学兴趣小组的同学利用国庆假期开展了“测量巨型花果篮的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量巨型花果篮的高度 测量方案 如图，AB代表巨型花果篮的高度，在地面C，D处用测角仪 分别测得巨型花果篮顶端 A 的仰角α，β，并测得 CD 之间 的距离，MC，ND 均代表测角仪的高度 说明:点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角α的度数 仰角β的度数 C，D之间的直线距离 64.1m 63.9 m m 测角仪的高度 1.5m 参考数据 请补全上表并计算巨型花果篮的高度AB(结果精确至0.1m )． 20．（本小题满分8分）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，弦与交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 21．（本小题满分9分）学校从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图，其中“”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，87，88，88，88，89 请根据图中信息解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，“”这组的圆心角为 ； (3)抽取的样本中学生成绩的中位数为 分； (4)成绩在“”的为优秀等次，估计全校1000名学生中，为优秀等次的约有多少人？ 22．（本小题满分10分）为加快数字化城市建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个，随着居民对智能充电桩需求量的增加，到第三个月新建充电桩432个． (1)求这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率； (2)若市场上有A，B两种充电桩，A种充电桩的价格是每个0.5万元，B种充电桩的价格是每个0.6万元．该市决定再追加购买A，B两种充电桩共100个，且A种充电桩的个数不超过B种充电桩的个数，求本次追加购买最少花费多少钱？ 23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 24．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 25．（本小题满分12分）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C B C B B B C 11． 12． 13． 14． 15． 16．【详解】解：原式 ． 17．【详解】解： 解不等式①，得：x＞﹣1， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为＜， 则不等式组的正整数解为1，2． 18．【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．【详解】解：C，D之间的直线距离 连接，交于E， 由题意得，，， ∴四边形，四边形，四边形为矩形． ∴， 在 中，，，， ， 在 中，，，， ， ， ，即： 解得：． ， 答：巨型花果篮的高度约为． 20．【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是直径，， 为的中点， ，， ，， ， ． 21．【详解】（1）解：（人）， （人）， 补全频数分布直方图如图所示： （2）解：“”这组的圆心角为： ． 故答案为：； （3）解：将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为： （分）， 因此中位数是分． 故答案为：； （4）解： （人）， 答：估计全校1000名学生中，为优秀等次的约有600人． 22．【详解】（1）解：设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x． 由题意，得方程：． 化简，得， 解得（舍去）． 答：这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为20%． （2）解：设购买A种充电桩a个，则购买B种充电桩个． 根据题意，得，解得． 设本次追加购买共花费w元，则； ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w有最小值，此时． 答：本次追加购买最少花费55万元． 23．【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 24．【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3）∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 25．【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $