山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试通关复习卷

**基本信息** 该试卷聚焦高二数学核心知识，通过函数导数、概率统计、排列组合等模块，结合抽奖游戏、乒乓球比赛等真实情境，考查数学思维与实际应用能力，解答题层次分明，兼顾基础巩固与创新探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数导数、条件概率、排列组合|基础概念与运算，如第7题结合投篮概率考查全概率公式| |多选题|3/18|二项式定理、随机变量、函数极值|多选项辨析，如第10题综合判断两点分布、正态分布性质| |填空题|3/15|切线斜率、组合数、条件概率|情境化设计，如第14题以抽奖游戏考查贝叶斯公式| |解答题|5/77|排列应用、二项式定理、概率分布列、统计案例、函数单调性|综合应用与证明，如第17题设计三局两胜制比赛求分布列与期望，第19题讨论函数单调性并证明不等式，体现数学思维与表达|

山东省泰安市2026年高二下学期期末考试通关复习卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知随机事件A，B满足，，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 3．（本题5分）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 4．（本题5分）为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 男 30 总计 40 90 则的值最接近（附：，）（   ） A．18 B．11 C．8 D．6 5．（本题5分）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 6．（本题5分）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 7．（本题5分）已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 8．（本题5分）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列选项正确的是（    ） A．若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则 B．若随机变量X满足，则 C．若随机变量，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标 11．（本题6分）若函数在处取得极大值，则（   ） A． B． C．为的一个增区间 D．的极小值为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为__________． 13．（本题5分）若，则_____. 14．（本题5分）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 16．（本题15分）已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 17．（本题15分）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 18．（本题17分）近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 (1)根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． (2)若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； (3)该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 19．（本题17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，且与有相同的最小值． （i）求a的值； （ii）已知，，且，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2026年高二下学期期末考试通关复习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B D A A B ACD BCD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：A 2．C 【分析】应用条件概率及全概率公式计算求解. 【详解】随机事件A，B满足，， 则 又， 则 . 故选：C. 3．C 【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解. 【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法； 若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法． 故一共有种去法． 故选：C. 4．B 【分析】完善列联表，计算得解. 【详解】由题意可得列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 20 50 男 10 30 40 总计 40 50 90 所以， 所以的值最接近11， 故选：B 5．D 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现， 所以的系数为， 故选：D. 6．A 【分析】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【详解】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A 7．A 【分析】利用全概率公式求得第二次命中的概率后可得． 【详解】第二次命中的概率为, 所以第二次投篮不中的概率为． 8．B 【分析】求导可得，在上单调递增可以转化为在上恒成立，构造函数利用导数求得最大值即可得出结果. 【详解】函数，其定义域为， 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 移项可得，即在上恒成立. 令，， 对求导得. 令，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值. 所以. 故选：B 9．ACD 【分析】利用二项式通项公式判断A，利用赋值法来判断BC，利用求导法，结合赋值来判断D. 【详解】由，所以，故A正确； 令得：， 令得：， 所以，故B错误； 再令得：， 与相加得：，故C正确； 由，两边同乘可得; , 两边求导得：， 再令得：，故D正确； 故选：ACD. 10．BCD 【分析】根据两点分布的特征，直接求方差，判断A错；根据离散型随机变量期望的概念，直接计算，可判断B正确；根据正态分布的对称性，可判断C正确；根据二项分布的概率公式，构造不等式组，由此解得的范围，从而可得概率最大时的取值，判断D正确. 【详解】若随机变量X服从两点分布，且，则，， 则，故A错； 若随机变量X满足， 则，故B正确； 若随机变量，，则，故C正确； 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若， 则， 由得， 即，即，解得， 所以，即最大，此人最有可能7次击中目标，故D正确； 故选：BCD 11．ACD 【分析】根据极值点处导数值为0求解，可判断AB，利用导数研究函数的单调性和极值即可判断CD. 【详解】因为， 所以， 因为函数在处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极小值，不是极大值，不符合题意． 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极大值，符合题意． 综上，，故A正确，B错误； 由上可知，，为的一个增区间， 的极小值为，故CD正确， 故选：ACD. 12．/ 【分析】设直线切曲线于点，切曲线于点，利用导数的几何意义写出直线的两个方程，可得出关于、的方程组，消去，求出的值，即为所求. 【详解】设直线切曲线于点，切曲线于点， 由得，则直线的方程为， 即； 由可得，则直线的方程为， 即， 所以，， 消去可得，即，可得， 因此，直线的斜率为. 故答案为：. 13． 【分析】根据组合数的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，且，解得， ∵，∴或，解得（舍去）或． 14． 【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又. 故答案为：. 15．(1)144 (2)960 (3)4896 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、排列计数问题列式计算. （2）按甲乙是否在第一排分类，结合不相邻问题列式求解. （3）结合（1）及已知，利用排除法列式求解. 【详解】（1）依题意，不同排法种数是. （2）甲乙都站在第一排，有种；甲乙都站在第二排，有种， 所以不同排法种数是. （3）7个人站7个位置的排列有种，其中语文小组成员站在一排的有， 所以不同站法种数是. 16．(1) (2)和 (3)219 【分析】（1）利用二项式展开式的通项计算即可求出； （2）由展开式的通项可知共有10项，则二项式系数最大的项为第5项和第6项计算即可； （3）分析可知展开式中含项的系数，根据组合数性质计算即可. 【详解】（1）的展开式的通项为， 因为第三项的系数是第二项系数的2倍， ，解得，因为，所以； （2）由知展开式共有10项，二项式系数最大的项为第5项和第6项， 由（1）知第5项为，第6项为， 所以二项式系数最大的项为和； （3）由（1）知展开式中的系数为 ， 所以展开式中含项的系数为219. 17．(1)（i）分布列见解析，；（ii） (2) 【分析】（1）可取2,3，按独立事件概率求解，写出分布列，可求数学期望；分乙两局或三局获胜求解； （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可． 【详解】（1）（i）所有可能的取值为2，3 ，， 所以的分布列为： 2 3 . （ii）乙最终获胜的概率. （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则， ， 故． 18．(1) 没有90%的把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关 (2) ， (3) 答案见解析 【详解】（1）由列联表可得(成绩优秀支持人数)，(成绩优秀不支持人数)，(成绩不优秀支持人数)，(成绩不优秀不支持人数)，则， 所以， 由题可知，把握对应的临界值为，因为， 所以没有把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关. （2）随机抽取一名学生，该学生为成绩优秀且支持双休的概率， 由题意得， 所以，. （3）分层抽样的抽样比为，则抽取的7人中支持双休但成绩不优秀的共人，其余共4人， 因此的可能取值为， ；；， 因此的分布列为 . 19．(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论思想，可得答案； （2）（i）利用导数求得函数的最值，整理方程并构造函数，利用导数求得新函数的单调性，根据方程与函数的关系，可得答案；（ii）由题意整理方程并构造函数，利用导数分别求得两个新函数的单调性与最值，再根据不等式性质，可得答案. 【详解】（1）依题意， 当时，，在上单调递增． 当时，令得，，即． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由（1）知，当时，时取得最小值． ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以，当时取得极小值即最小值． 由题意可知，，即， 令，则， 令，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以取得最小值， 所以在上恒成立，所以在上单增， 又，所以； （ii）因为，所以， 即． 令，则， 可知在时取得最大值0，所以，即， 所以，当且仅当时，“＝”成立． 令，则，当时，，单调递减． 所以，当时，，， 由，得． 当时，显然， 综上，，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $