线段的垂直平分线与角平分线2025-2026学年北师大版八年级数学下册试题

**基本信息** 本练习以线段垂直平分线与角平分线为核心，通过基础巩固、综合应用到拓展探究的三层设计，实现从单一概念到跨情境综合的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂直平分线/角平分线性质（单一知识点）|直接应用概念，如选择1-4题求角度、面积，填空6-8题周长计算| |提升层|性质与判定综合（两个知识点结合）|多结论判断（选择5题）、两步推理证明（解答11-15题）| |综合层|跨知识点与实际应用（含对称、全等）|探究性问题（解答19-20题）、实际情境（选择4题口袋公园）|

《线段的垂直平分线与角平分线》 一、单选题 L.如图，在△ABC中，已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°，则∠DCB=() B A.10° B.15° C.20° D.30° 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若CD=3,AB=8,则△ABD的面 积是() B D A.12 B.14 C.16 D.10 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，∠ACB的平分线交AB于点D,则下列结论不正 确的是() D A.∠CDB=72° B.AC=2AD C.点D一定在AC的垂直平分线上D.△CDB是轴对称图形 4.上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园 里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭H是△ABC的 H A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 5.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,且AD,BE交 于点O,延长AC至点P,使CP=CD,连接BP,OP;延长AD交BP于点F,则下列结论：① BP=AD,@BF=CP:③8P=2Pr:@P01BE:⑤1C+CD=B.其中正确的是() D A.①③⑤ B.①③④⑤ C.①②③④ D.①②③④⑤ 二、填空题 6.如图，在△ABC中，DM,EN分别是边AB,AC的垂直平分线，BC=8,则△ADE的周长_ D 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，点E在边AC上，连接DE,且 DE=DB.若△ADE面积为4,4E=2BC,则△MC面积— 8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90,AC=8,AD是△ABC的角平分线，E,F分别在AC,AB边上. AF=4.AE= ,连钻DF,DE.若DE=DF,则△ABC的面积是 D 9.如图，在△ABC的边BC上取点E,使AE=BE.过点C作CD⊥AE于点D,若CD平分∠BCA, AD=1 AC=3 BC= ,则 10.如图所示，点P在∠AOB的内部，点M,N分别是点P关于直线OA,OB的对称点，线段 MW交O1,OB于E,F.若△PEF的周长是5cm,则线段W的长是 MN E B 三、解答题 11.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线1交BC于点D,AC边的垂直平分线2交BC于点E. (1)若△ADE的周长为15cm,求BC的长； (2)若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数. 12.从常见的风筝中可以抽象出一个几何图形.已知△BCD是等边三角形，AB=AD,过点A 作AE∥DC,交BC于点E,交BD于点F,连接AC, E (I)求证：AC垂直平分线段BD; (2)若AE=8,BE=3,求BD的长. I3.如图，AD为△ABC的角平分线，DE LAB于点E,DF L AC于点F,连接EF交AD于点O E D (I)求证：AD垂直平分EF; (2)若∠BAC=60°，写出D0与AD之间的数量关系，并证明. 14.如图，在△ABC中，直线1垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E,连接BD. (1)若BD⊥AC,求∠DBC的度数； (2)若△ABD的周长是19，AC=10,求AB的长； (3)在线段DE上有一点P,其恰好也在边AC的垂直平分线上，求证：点P在边AB的垂直平 分线上. 15,如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE1AB,DF LAC,垂足分别为 G (1)求证：BE=CF; (2)若AF=6,BC=10,求△ABC的周长. 16.如图，P是∠AOB平分线上的一点.过点P作PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接 CD (1)求证：OP是CD的垂直平分线： (2)若∠AOB=60°，OP=6,求△COP的周长. 17.已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D,DF L AC于点F, B交4B的廷长线于点F. DE⊥AB、AB F G B (1)求证：BE=CF; (2)若AC=16,BE=4,求AB的长. 18.已知：如图△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC的角平分线上一点，且DB=DC,过D作 DE LAB于E点， DF⊥AC 于F点 (1)连接OD,求证：OD所在直线是BC的垂直平分线； (2)求证：∠BDC=∠EDF; (3)判断AB,AC,CF之间的数量关系，并说明理由. 19.已知OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，D,E分别是OA,OB上的动点. A A D D P E -B O B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠PEB+∠PDO=180°，求证：PD=PE; (2)如图2，若∠PEB+∠PDA=180°，求证：PD=PE; (3)如图3，D、P、E在同一直线上，QE平分∠PEB,交OC于点Q,作QF1OB于点F.若 BF-,DP=2,PE=3,请直接写出 OE-OD 的值一、 20.小聪同学在学习了《角平分线的性质》后，对教材中呈现的知识进行了拓展探究. A M D (图1) (图2) (图3) (图4) (1)如图1，若点P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA,PC=3,则点P到OB的距离为 (2)已知AM∥BN,AE平分∠BAM,BE平分∠ABN. ①如图2，若点E到AM与BN的距离之和为4，则点E到AB的距离为 ②如图3，过点E作直线交射线AM于点C,交射线BN于点D,试探究线段AC,BD,AB的数量 关系，并说明理由. ③如图4，过点E的直线交直线AM于点C,交射线AM于点D,若S△MBE=m,S△4c=n,则 S.BDE= .(用含m、n的式子表示) 参考答案 一、单选题 1.B 解：AB=AC,∠A=50°， ∠ABC=∠ACB=5080-∠A)=65°， .DE垂直平分AC, ∴.∠DCA=∠A=50°， ∴.∠DCB=∠ACB-∠DCA=65°-50°=15° 故选：B 2.A 解：作DE⊥AB,如图所示： E B D C ,AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB, ∴DE=CD=3, 六△ABD的面积=2XAB×DE=12. 故选：A. 3.B 解：AB=AC,∠BAC=36°， ABC-LCB--ZBAC)- .∠ACB的平分线交AB于点D, :∠ACD=∠BCD=)∠ACB=36° 2 .∠CDB=∠BAC+∠ACD=72°，故A正确； ∠ACD=∠BAC=36° .AD=CD, ∴.点D一定在AC的垂直平分线上，故C正确； ,∠CDB=∠ABC=72°， ∴△CDB是等腰三角形， .△CDB是轴对称图形，故D正确； 无法证明AC=2AD,故B错误， 故选：B. 4.C 解：，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座谅亭H,使该凉亭到公路AB、 AC BC 的距离都相等， 应建在三条角平分线的交点. 故选：C 5.B 解：∠ACB=90°， ∴.∠BCP=∠ACD=90°， 又AC=BC,CP=CD, △PBC≌△DAC(SAS) .BP=AD,故①正确； ,△PBC=△DAC, .∠PBC=∠DAC, ,∠DAC+∠ADC=90°，∠ADC=∠BDF, ∴.∠PBC+∠BDF=90°， .∴.∠BFD=90° ∴.∠AFB=∠AFP=90°， .AD平分∠BAC, ∴.∠BAF=∠PAF, 又AF=AF, △ABF≌△APF(ASA) ∴.BF=PF, 假设BF=CP,则PF=CP,连接PD,如图， ④ 在RtAPDF和RtAPDC中， PF=PC PD=PD ,Rt△PDF≌RtAPDC(HL) 。。 ∴FD=CD, CP=CD, ∴.PF=PC=CP=CD, 四边形CDFP是正方形， ∴.∠BDF=90°，与∠BFD=90°矛盾， BF≠CP，故②错误； .△ABF≌△APF, ∴BF=PF, ∴.BP=BF+PF=2PF,故③正确； .△PBC≡△DAC, ∴.AB=AP=AC+CP=AC+CD 即AC+CD=AB,故⑤正确； BF=PF∠AFB=90° ∴.AFBP 为的垂直平分线， ..OB=OP ∴.∠BPO=∠PBO, :AC=BC,∠ACB=90° .∠BAC=∠ABC=45° 又'AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴.∠OBC=∠OAC=22.5 .∠PBC=∠OAC=22.5° ∴.∠PBO=∠PBC+∠CBO=45°， ∴.∠BPO=∠PB0=45°， ∴.∠P0B=90°， 即PO⊥BE,故④正确： 综上，①③④⑤正确， 故选：B 二、填空题 6.8 解：，DM,EN分别是边AB,AC的垂直平分线， .'AD=BD,AE=CE ∴，△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC, .BC=8, ∴.△ADE的周长为8. 故答案为：8 7.14 解：如图；过点D作DF⊥AB交于点F B .∠C=90°，AD是∠CAB的平分线 ∴CD=DF DE=DB, .∴RtACDE≌RtFDB(HL) .∠B=∠DEC,CE=BF AD=AD,CD=DF .RtACDRtAFD(HL) :△ADE面积为4，AE=2EC, ∴.aCDE面积为2， .S4cD=6, ,RtACDES≌RtFDB(HL),Rt△ACD≌RteAFD(HL) .S.CDE=S.FDB=2,S.ACD=S.AFD=6, .S.40C=S.ACD+S.AFD+S.FD8=6+6+2=14 故答案为：14. 5V39 8.2 解：如图，过D作DH⊥AC于H, B D F E H .·∠B=90° .DB⊥AB :AD是△ABC的角平分线， ∴，DH=DB .DE =DF ∴.RtADEH≌RtADFB(HL) ..EH=BF DH DB,DA=DA .Rt△DHA≌Rt△DBA(HL) ∴.AH=AB AF=4,AE=6 .BF+4=6-EH=6-BF .BF=1 ∴.AB=AF+BF=5 :.BC=VAC2-AB2=V82-52=V39 a1BC的面积2B-BC=5y 1 2 5v39 故答案为：2· 9.5 解：CD平分∠BCA,CD⊥AE, ∴.∠BCD=∠ACD∠EDC=∠ADC ∠EDC=∠ADC 在△ACD和△ECD中， DC=DC ∠BCD=∠ACD ∴，△ACD≌△ECD(ASA) ∴.DA=DECA=CE .AD=1 AC=3 AE=BE ..BC=CE+BE=CA+AE=CA+DE+DA=3+1+1=5, 故答案为：5. 10.15cm 解：，M、P关于OA对称，N、P关于OB对称， ∴.OA和OB分别是线段MP和线段NP的垂直平分线， .NF=FP,ME=PE, 又.'△PEF的周长是15cm,即PE+EF+FP=15cm, .'MIN=NF +EF+EM=PE+EF+FP=15 cm. 故答案为：l5cm. 三、解答题 11.(1)解：是AB边的垂直平分线， ∴DA=DB :是4C边的垂直平分线， ∴.EA=EC .BC=BD+DE +EC=DA+DE +EA .∵△ADE 的周长 为I5cm,即DM+DE+EA=15cm, ∴.BC=15cm (2)解：由题意得，∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∠B+∠C=-30°+50°=80°， .·DA=DB,EA=EC ∴.∠BAD=∠B,∠EAC=∠C ∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC) =∠BAC-(∠B+∠C) =20° 12.(1)证明：，△BCD是等边三角形， .'BC=CD, .点C在BD的垂直平分线上， 又AB=AD, 点A在BD的垂直平分线上， ∴.AC垂直平分线段BD. (2)解：，△BCD是等边三角形， ∴.∠BCD=∠CBD=60°， 又AE∥DC, .∴.∠BEF=∠BCD=60°， ∴.△BEF是等边三角形， ∴.BE=BF=EF=3, AE=8, ∴.AF=AE-EF=5, AC垂直平分线段BD, ∴.∠A0F=90°， 在Rt△AOF中，∠AFO=∠BFE=60°， ∴.∠FA0=30°， ,B0=BF+OF=3+3= 511 22, ∴.BD=2OB=11. 13.(1)证明：AD为△ABC的角平分线，DE L AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF∠AED=∠AFD=90° 在Rt△AED和Rt△AFD中， 「AD=AD DE=DF, ∴.RtAAED≌RtAAFD(HL) .AE=AF 点A、D都在EF的垂直平分线上， ..AD EF 垂直平分； (2)D0=14D 4, 证明：AD为△ABC的角平分线，∠BAC=60°， ∴.∠EAD=30° :.DE=1AD 2 AD EF 垂直平分 .∠EOD=90° :∠EAD=30°∠AED=90° ∴.∠EAD+∠EDA=180°-∠AED=90°，∠EDA+∠OED=180°-∠EOD=90° ∴.∠DE0=30° :.OD=IDE 2 0=40 14.(1)解：.BD1AC, ∴.∠BDC=90°， ,直线1垂直平分边BC, ∴BD=CD, ∴.∠ACB=∠DBC=45°， (2)解：直线1垂直平分边BC, ∴.BD=CD, .△ABD的周长为19， .'AB+BD+AD=19,AB+AD+DC=AB+AC=19. AC=10, .AB=9 (3)证明：如图：连接PA,PB,PC, D B- ,直线1垂直平分边BC,点P在直线1上， .'PB=PC, .点P在边AC的垂直平分线上， .'PA=PC, ∴PA=PB, 点P在边AB的垂直平分线上. 15.(1)证明：连接CD,BD,如图所示： F G B ,AD是∠BAC的平分线，DE LAB,DF⊥AC, .∴.∠DEA=∠F=∠DEB=90°， ∴DE=DF, ∴△ADE,△ADF,△BDE,△CDF都是直角三角形， .DG是BC边的垂直平分线， ∴.BD=CD, 在Rt△BDE和RtACDF中， DE=DF BD=CD, :.RBDE≌RtCDF(HiL) ∴.BE=CF (2)解：设BE=CF=a, AF=6,BC=10. .AC=AF-CF=6-a, 在Rt△ADE和RtAADF中， DE=DF AD=AD, Rt△ADE≌RIAADF(HL) ∴.AE=AF=6, ∴.AB=AE+BE=6+a, .△ABC的周长为：AC+AB+BC=6-a+6+a+10=22. 16.(1)证明：~P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D, ∴.PC=PD∠PCO=∠PDO=90° 六点P在C0的垂直平分线上， 在Rt△POC和RtAPOD中， PC=PD OP=OP, ∴.RtAPOC≌RtAPOD(HL) ∴OC=OD O CD 小点O在CD的垂直平分线上. :0P是CD的垂直平分线： (2)解：Rt△OCP≌Rt△ODP,∠AOB=60°， 六∠POC=∠P0D=∠A0B=x60°=30 1 2 2 .∠OCP=90°OP=6 :.CP 1 20P-2x6=3, .:0C=V0P2-CP2=V62-32=3V5 .0C+0P+CP=3V3+6+3=9+3W3 ,△C0P的周长是9+3V3」 17.(1)证明：连接CD,如图所示： G B AD 平分<B1C,DF1ACDE1AB .DE DF .DG BC 垂直平分， .BD=CD ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF ∴.BE=CF (2)解：由（1)可知CF=BE=4, ∴.AF=AC-CF=AC-BE=I2 :AD平分 ∠BAC .∠CAD=∠EAD DF⊥ACDE⊥AB .∠AED=∠AFD=90° 又AD=AD, .△AED≌AAFD ∴.AE=AF=12 .AB=AE-BE=8 18.(1)证明：0是BC的中点， ∴.OB=OC DB=DC,OD=OD ∴.AOBD≌aOCD(SSS) ∴.∠BOD=∠COD .∠BOD+∠COD=180° ∴.∠BOD=∠COD=90° ..OD BC 所在直线是的垂直平分线； (2)证明：D是∠BAC的角平分线上一点，DE LAB,DF L AC, .DE DF '.DB=DC, ∴.Rt△BED≌RtACFD(HL) ∴，∠BDE=∠FDC ∴.∠BDE+∠EDC=∠FDC+∠EDC ∴.∠BDC=∠FDE ； (3)证明：AB=AC+2CF,理由如下： ·.·Rt△BED≌Rt△CFD ∴.BE=CF AD=AD,DE=DF ∴.RtAED≌Rte AFD(HL) .AE =AF .AB=AE+BE=AE+CF=AF+CF=AC+CF+CF=AC+2CF 19.(1)证明：过点P作PG⊥OA于G,PH1OB于H,如图 G D P -B E H .…OC ∠AOB PG⊥OA,PH⊥OB 是 的角平分线， ..PG=PH ∠PEB+∠PDO=180°，∠PDA+∠PD0=180° ∴.∠PDA=∠PEB 在△PGD和△PHE中： ∠PGD=∠PHE=90° ∠PDA=∠PEB PG=PH △PGD≌APHE(AAS) .PD=PE (2)证明：过点P作PG⊥OA于G,PH LOB于H,如图 D HE -B .…OC 是<A0B PG⊥OA,PH⊥OB 的角平分线， ∴.PG=PH ·∠PEB+∠PDA=180°，∠PDA+∠PDG=180° ∴.∠PDG=∠PEB 在△PGD和△PHE中， I∠PGD=∠PHE=90° ∠PDG=∠PEB PG=PH ∴.△PGD≌△PHE(AAS) .PD=PE (3)解：如图，过点作QG⊥OA于G,过点作QH1DE于H, G D H —B EF .…OC <AOB QF⊥OB,QG⊥OA 的角平分线， ..QG=OF 又~QE平分∠PEB,QF⊥OB,QH⊥DE, ..OH=OF .OG=OH 平分<ADE ..Do 在△QHE和△QFE中， ∠QHE=∠QFE=90° ∠HEQ=∠FEQ OE=OE ·.△QIHE≌△QFE(AAS) 同理可证△QGD≌△QHD(AAS),△OG0≌aQF0(AAS), .DG=DH EH=EF=1 OG=OF DP=2,PE=3 ∴.DE=DP+PE=5 DE=DH+EH=DG+1 ∴DG=4 .OG=OF ..OD+DG=OE+EFOD+4=OE+1 即 ..OE-OD=3 20.(1)解：过点P作PH⊥OB,如图所示： H B 点P是∠AOB平分线上一点，PC1OA,PC=3, ∴.PH=PC=3, 即点P到OB的距离为3： 故答案为：3. (2)解：①过点E作CP⊥BN,分别交BN,AM于点P,C,过点E作EH⊥AB交BA于点H,如 图所示： B AM∥BN,CP⊥BN, ∴.CP⊥AM, 即线段CP的长度就是点E到AM与BN的距离之和， ,点E到AM与BN的距离之和为4， ∴.CP=4, .AE平分∠BAM,EH⊥AB,CP⊥AM .'HE=CE, BE平分∠ABN,EH⊥AB,CP⊥BN, ∴.HE=EP, ∴.HE=CE=EP, .CP=CE+EP=HE+EP=2HE, 即4=2HE, 解得HE=2; 故答案为：2. ②AC+BD=AB，,理由如下： 过点E作TP⊥BN,分别交BN,AM于点P,T,过点E作EH⊥AB交BA于点H,如图所示： ACT M B PD .AM∥BN,TP⊥BN, .TP⊥AM, 即线段TP的长度就是点E到AM与BN的距离之和， .'AE平分∠BAM,EH⊥AB,TP⊥AM, ∴.HE=TE,∠TAE=∠HAE, '.AE=AE, ·△7HE2HAE(HL) ∴.AT=AH ,BE平分∠ABN,EH⊥AB,TP⊥BN, ∴.HE=EP,∠HBE=∠DBE, ∴.HE=TE=EP, .BE=BE, △HBE≌ADBE(HL) .BH=BD, ∴.AT+BD=AH+BH=AB, .∠ATE=∠DPE=9O°，ET=PE,∠CET=∠DEP, △CET≌△DEP(ASA) ∴.CT=PD 则AC=AT-CT,BD=BP+PD .'AC+BD=AT-CT+BP+PD=AT+BP=AH+BH=AB 即AC+BD=AB, ACT M B PD ③依题意，当点C在直线AM的点A的右边时，如图所示： AC M E D 与②同理，过点E作TP⊥BN,分别交BN,AM于点P,T,过点E作EH⊥AB交BA于点H,如图 所示： ACT M H E B PD TAE≌△HAE(HL)△HBE≌ADBE(HL)△CET≌△DEP(ASA) 此时 S.HAE =S.TAEI S.HBE =S.DBEI SCET =S.DEP ∴.SAABE=S△MHE+S△BiE=m,S△ACE=SAAE-SAcE=n, 则SAAE+S△BPE=m,SAATE-SADEP=n， S.E+.w-S.an-S.om)=m-m ∴.SAME+S△BPE-SAAE+SADEP=m-n 即S△BPE+SADEP=m-n 故S.BDE=S△BPE+S&DEP=m-n; 当点C在直线AM的点A的左边时，延长AE交BD于点F,如图所示： A M F DN AM∥BN ∴.∠MAB+∠ABN=180° :'AE平分∠BAM,BE平分∠ABN. .2∠EAB=∠MAB,2∠ABE=∠ABN ∴.2∠EAB+2∠ABE=180° 即∠EAB+∠ABE=90° .∠AEB=90°， 即BE⊥AF, .BE平分∠ABN. ∴.∠ABE=∠FBE △ABE≌AFBE(ASA) S.ABE=S.FBE,AE=EF, :AM∥BN, ∴.∠ACE=∠FDE, ,∠AEC=∠FED,AE=EF, 、△AEC≌△FED(AAS) S.AEC=S.FED, S△MBE=m,S△4cE=n, 'S.BDE=S.FED+S.FOE=S.ABE+S.AEC =m+n 综上：当点C在直线AM的点A的右边时，SDe=m-n;当点C在直线AM的点A的左边时， S.BDE =m+n