培优专训(2) 角平分线与线段的垂直平分线的应用&培优专训(3) 一元一次不等式(组)的解法-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

跨单元整合 培优专训（二） 角平分线与线段的垂直平分线的应用 类型一线段垂直平分线的性质的应用 ∠CAB=120°，AB,AC的垂直平分线分别 1.(1)如图，在△ABC中，分别以点B和点C 交BC于点E,F,则∠EAF等于 () 为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相 A.40° B.50° C.60° D.80 类型二 角平分线与线段垂直平分线的性 交于点M,N。作直线MN,交AC于点D, 质的综合应用 交BC于点E,连接BD。若AB=7,AC 3.如图，在△ABC中，∠C 10,BC=6,则△ABD的周长为 () 90°，DE为AB的垂直平 A.23 B.22 C.17 D.16 分线，D为垂足，交BC于 点E,且CE=DE,则∠B的度数为 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC 的平分线与BC的垂直平分线DG交于点 D,垂足为G,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 第1(1)题图 第1(2)题图 别为E,F。 (2)【T1(1)变式】如图，在△ABC中， (1)求证：BE=CF; △AEF的周长是12，AB,AC的垂直平分 (2)若AF=6,BC=7,求△ABC的周长。 线分别交BC于点E,F,则BC的长 是 (3)【T1(1)拓展】如图，直 m 线l,m相交于点O。P 为这两直线外一点，且 ●P OP=2.7。若点P关于直线l,m的对称 点分别是P,P2,则点P,P2之间的距离可 能是 () A.0 B.5 C.5.4D.6 2.(1)如图，AB垂直平分CD,AC=4,BD= 6,则四边形ADBC的周长是 第2(1)题图 第2(2)题图 (2)【T2(1)变式】如图，在△ABC中， B3- 跨单元整合 培优专训（三） 一元一次不等式（组）的解法 类型一解一元一次不等式 类型二解一元一次不等式组 1.【新课标·过程纠错】下面是小颖同学解 3.解下列不等式组，并在数轴上表示它的 不等式的过程，请认真阅读并完成相应 解集： 任务。 3(x-1)>2x-4,① (1) x+2_7-3x≥-4。 2x≤x+2;② 3 2 解：①去分母，得2(x+2)一3(7-3x)≥ 24。 ②去括号，得2x+4-21一9x≥-24。 ③移项，得2x-9x≥-24-4+21。 ④合并同类项，得一7x≥一7。 ⑤两边都除以一7，得x≤1。 任务： 2x-5>1-2x,① 3 (2) 任务一：填空： 2x-1<0。② ①上述解题过程中，第一步是依据 进行变形的；②第 步开始出现错 误，这一步错误的原因是 任务二：请求出该不等式的正确解集。 2x-5<3(x-1),① 4.解不等式组 将解集 3x+1≤3- 3x,② 表示在数轴上并求它的整数解的和。 2解不等式士。2>2 3 B4-2.证明：过点E作EG∥AC交BC于点G,则∠ACB= ∠BGE,∠F=∠DEG。,AB=AC,∴.∠B=∠ACB .∠B=∠BGE。.BE=GE。又，BE=CF,.GE=CF f∠F=∠DEG, 在△CDF和△GDE中，{∠CDF=∠GDE, CF=GE, ∴.△CDF≌△GDE(AAS)。∴.DE=DF 3.证明：作DF∥AB交CE于点F。:△ABC是等边 三角形，∴.AC=BC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°。∴ ∠DFC=∠ABC=60°，∠CDF=∠A=60°。∴.△CDF 是等边三角形。∴.CD=DF=CF,∠DCF=∠DFC= 60°。∴.∠BCD=∠EFD。CE=AD,CD=CF,∴.CE-CF=AD-CD BC=EF. 即EF=AC。∴.EF=BC。在△BCD和△EFD中，∠BCD=∠EFD, CD=FD. ∴.△BCD≌△EFD(SAS)。∴.DB=DE。 4.解：在DC上截取DH,使得DH=DB,连接 AH。AD⊥BH,∴.AB=AH。AB+BD= DC,DC=DH+HC,∴AB=CH=AH。.∠B D =∠AHD,∠C=∠HAC。设∠C=x,则∠AHB=∠B=2x。,∠B+∠C +∠BAC=180°，.3x+120°=180°。.x=20°。即∠C=20°。 5.解：延长AD到点E,使DE=AD,连接CE。,BD=CD, ∠ADB=∠EDC,.∴.△ABD≌△ECD。∴.AB=EC,∠BAD= ∠E。.'AD是△ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠CAD。 ∴.∠CAD=∠E。.CE=CA。.AB=AC。 6.证明：延长AE到点F,使EF=AE,连接DF AE是△ABD的中线，AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD,BE=ED。在△ABE与△FDE中， BE=DE, {∠AEB=∠FED,∴.△ABE≌△FDE(SAS)。 AE-FE, ∴.AB=FD,∠B=∠BDF。,∠ADC是△ADB的外角， .∠ADC=∠B+∠BAD。:∠ADB=∠BAD, ∴·∠ADC=∠BDA+∠BDF=∠ADF,AB=BD。又AB=DF,BD= (AD-AD, CD,∴.DF=CD。在△ADF与△ADC中，∠ADF=∠ADC,∴.△ADF≌ FD=CD, △ADC(SAS)。.AF=AC。:AF=AE+EF,AE=EF,∴.AC=2AE。 7.68.解：作BD⊥AC交CA的延长线于点D。 :AB=AC,∠ABC=15°，∴.∠C=∠ABC 15°。∴∠DAB=∠C+∠ABC=30°。.BD= AB-1. 9.解：延长AD,BC交于点E。,∠A=30°，∠B=90°， ∠E=60°。.∠ADC=120°。.∠EDC=60°。.∠E= ∠EDC=∠ECD=60°。∴.△EDC是等边三角形。设CD =CE=DE=x,则AE=4十x,BE=x十1。在Rt△ABE 中，∠A=30°，AE=2BE。.2(1十x)=x十4。解得x=2。.CD=2。 培优专训（二）角平分线与线段的垂直平分线的应用 1.(1)C(2)12(3)B2.(1)20(2)C3.30 4.(I)证明：连接CD。,点D在BC的垂直平分线上，.BD =CD。:DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC,∴.DE=DF。 ∠BED=∠CFD=90°。在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD.R△BDE≌Rt△CDF(HL),·BE=CF DE=DF, 2解：在RI△ADE和R△ADF中，B形二A.R△MDE≌R△ADF (HL)。∴.AE=AF=6。,∴.△ABC的周长=AB十BC+AC=(AE+BE)十BC +(AF-CF)=AE+BC+AF=6+7+6=19。 培优专训（三）一元一次不等式（组）的解法 1.任务一：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 ②去括号时，括号前面是“一”，去掉括号后括号内的第二项没有变号任 务二：解：去分母，得2(x十2)-3(7-3x)≥一24。去括号，得2x十4-21十 9.x≥一24。移项，得2x十9.x≥-24-4十21。合并同类项，得11x≥-7。两 7 边都除以11，得x≥一7.2.解：去分母，得3(x+4)-（x一2)>2(2x十 1)。去括号，得3x十12-x+2>4x十2。移项、合并同类项，得-2x>-12。 两边都除以一2，是x<6.3.(1)解：解不等式①，得x>一1。解不等式 ②，得x2。∴.不等式组的解集为一1<x2。将解集在数轴上表示图略。 (2)解：解不等式①，得x>1。解不等式②，得x>一2。∴.不等式组的解 集为x>1。将解集在数轴上表示出来图略。4.解：解不等式①，得x> 2。解不等式②，得x≤1。∴原不等式组的解集为一2<x≤1。解集表示在 数轴上图略。∴.不等式组的所有整数解为一1,0,1，它们的和为一1十0十1 =0。 培优专训（四）一元一次不等式（组）的应用 1.m<32.A3.a≥24.a<65.a≤-16.07.C8.210<a<250 9.解：(1)240200(2)设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水 处理设备(20-a)台。根据题意，得12a+10(20-a)≤230， 240a+200(20-a)≥4500.解不等式 。∴当a=13时，A买13台，B买7台：当 14台，B买6台；当a=15时，A买15台，B买5台。每台A型污水处理 设备12万元，每台B型污水处理设备10万元，∴A买得越少，资金越少。 A买13台，B买7台需要的资金最少，最小值为13×12十7×10=226（万元）。 培优专训（五）与旋转有关的计算和证明 1.解：(1)由旋转，得CA=CD,∠DEC=∠ABC=90°，∠ECD=∠BCA= 30°，∴.∠DEA=90°，∠CAD=∠CDA=75°。∴.∠ADE=90°-∠CAD= 90°-75°=15°。(2)BF=DE,BF∥DE,理由如下：，∠FBC=∠ACB= 30°，∴.∠AFB=∠FBC+∠ACB=60°。.∠ABF=∠AFB=60°。 △ABF是等边三角形。∴.BF=AB。由旋转得，∠DEC=∠ABC=90°，DE =AB,CE=CB,∠BCE=60°。.BF=DE,△BCE是等边三角形。 ∠CBE=∠BEC=60°。∴.∠EBF=∠EBC-∠FBC=30°。∴.∠DEB+ ∠EBF=∠DEC+∠BEC+∠EBF=180°。.DE∥BF。2.(1)150°(2) 证明：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE,由旋转的性质， 得AE=AE,CE'=BE,∠CAE=∠BAE,∠ACE=∠B,∠EAE=90°。 .∠EAF=45°，.∠EAF=∠EAE'-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF。 (AE-AE', 在△EAF和△EAF中，{∠EAF=∠EAF,∴.△EAF≌△EAF.∴.EF= AF-AF. EF。.∠CAB=90°，AB=AC,∴.∠B=∠ACB=45°。∴.∠ECF=45°+45°= 90°。由勾股定理，得EF2=EC+FC,即EF2=BE+FC。(3)√7 培优专训（六）因式分解的应用 1.(1)解：原式=1012+101×98+49=1012+2×101×49+492=(101+ 49)2=1502=22500(2)4(3)12002.A3.D4.B5.D6.D 7.解：△ABC是等边三角形。理由如下：.a2+c2-2b(a-b十c)=0,∴.a2+ c2-2ab+2b-2bc=0。∴.(b+c2-2bc)+(a2+b2-2ab)=0。.(b-c)2+ (a-b)2=0。.(b-c)2≥0，(a-b)2≥0，∴.(b-c)2=(a-b)2=0。.b-c= a一b=0。∴.b=c=a。.∴.△ABC是等边三角形。8.解：(1)m2十2mn十