1 1.4 第1课时 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

4线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理 知识储备 (2)【T4(1)变式】如图，在△ABC中，AB= AC=3cm,AB的垂直平分线交AB于点M, 1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离 交AC于点N,△BCN的周长是5cm,则BC 2.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 的长等于 cm。 段的 上 知识点二线段垂直平分线的性质定理的逆 定理 01基础练 心份必备知识梳理·一 5.【教材P33例1变式】如图，CB=CA,DB 知识点一线段垂直平分线的性质 DA,则下列结论中正确的是 1.(2025·酒泉月考)如图，在△ABD中，AC⊥ A.AB垂直平分CD BD,BC=CD,若AB=4,则AD的长是() B.CD垂直平分AB A.2 B.4 C.42 D.8 C.AB与CD互相垂直平分 D.AB平分∠CBD 6.如图，小明做了一个风筝，其中 EH=FH,ED=FD,小明说不用 E 第1题图 第2题图 测量就知道DH是EF的垂直平 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB, 分线。其中蕴含的道理是 BC于点D,E,连接AE,若AE=4,EC=2, 则BC的长是 ( A.2 B.4 C.6 D.8 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD 3.(2025·信阳一模)如图，在 △ABC中，AC的垂直平分 平分∠ABC交AC于点D。求证：点D在 线DE交AC,AB于点D, AB的垂直平分线上。 E,∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE等于 A.40° B.70° C.60° D.50° 4.(1)如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分 线，分别交边AB,BC于点D,E,且AB=9, AC=6,则△ACD的周长是 () A.10.5B.12 C.15 D.18 B 第4(1)题图 第4(2)题图 15八年级数学下册·BS 易错点○对线段垂直平分线的判定理解不透 致错 8.如图，直线1与线段AB交于 点O,点P在直线1上，且 PA=PB,则下列结论中一定 正确的有 ①AO=BO;②PO⊥AB;③∠APO= ∠BPO;④点P在线段AB的垂直平分线上。 03素养练 手争科去养塔有一 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为 02综合练 关健能力提升一 CD的中点，连接AE,BE,延长AE交BC 的延长线于点F,若BE⊥AE, 9.如图，在△ABC中，∠ABC=52°，P为 求证：(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD △ABC内一点，过点P的直线MN分别交 AB,BC于点M,N,若点M在PA的垂直平 分线上，点N在PC的垂直平分线上，则 ∠APC的度数为 () A.115°B.116 C.117° D.1189 M N C 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°， AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于 点D,BD=8,则AC= 11.如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=3,AB=5,AB的垂 直平分线DE交AB于点D,E 交BC于点E,则CE的长等于 12.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 解题妙招 120°，AB的垂直平分线DE交BC于点D, 利用线段垂直平分线的判定证明一条直线是 交AB于点E,求证：BD-DC。 线段的垂直平分线时，必须证明这条直线上有两 个点在线段的垂直平分线上，切忌由一个点到线 段两端点距离相等就下结论过此点的直线就是线 段的垂直平分线。如T8。 助学助教优质高数164线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理 知识储备 1.相等2.垂直平分线 基础练 1.B2.C3.D4.(1)C(2)25.B6.到一条线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上7.证明：，∠C=90°，∠A=30°， ÷∠ABC=90-30=60。:BD平分∠ABC,:∠ABD=2∠ABC=- X60°=30°。.∠A=∠ABD。∴.DA=DB。∴.点D在AB的垂直平分线 上。8A9B10.411.名2.证明：在△ABC中，AB=AC. ∠BAC=120°，∠B=∠C=30°。DE垂直平分AB,.DB=DA。 ∠BAD=∠B=30。·∠DAC=90,DA=2DC,BD=2DC 13.证明：(1)AD∥BC,.∠D=∠DCF。又，E为CD的中点，DE= (∠D=∠ECF, CE。在△ADE和△FCE中，DE=CE, .∴.△ADE≌△FCE ∠DEA=∠CEF, (ASA)。AD=FC。(2):'△ADE≌△FCE,∴.AE=FE。BE⊥AF, ∴.BE是AF的垂直平分线。∴.AB=BF=BC+FC=BC+AD 第2课时尺规作等腰三角形与三角形三边的垂直平分线 知识储备 1.相交于三个顶点2.内部斜边中点外部 基础练 1.(1)5(2)15cm2.C3.C4.C5.A6.解：(1)如图， 直线EF即为所求。(2)设EF与BC相交于点D。在△ABC中， AB=AC点A在EF上。ADLBC,BD=CD=号BC=4。B叫 在Rt△ABD中，AB=10,由勾股定理，得AD2+BD2=AB2, AD=√AB-BD=√10-4=2√2I。即点A到BC的距离为2√21 7.D8.529.8°10.85°11.解：如图，△ABC即为所求。 12.证明：，DE⊥AB,∠ACB=90°，∴.∠AED=∠ACB=90°。 又·AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC。,AD=AD ∴.△AED≌△ACD(AAS)。∴.AE=AC,DE=DC。.点A,D B 都在线段EC的垂直平分线上。.直线AD是线段CE的垂直平 分线。13.证明：连接PA。PQ垂直平分AB,∴.PA=PB。 ∠B=∠PAB=22.5°。∴.∠APD=45°。，AD⊥ BC,∴.PD=AD,∠DPF+∠PFD=90°。：PE⊥ AC,∴.∠AFE+∠DAC=90°。又∠AFE= ∠PFD,.∠DPF=∠DAC。在△PDF和△ADC ∠PDF=∠ADC, 中，PD=AD, .△PDF≌△ADC(ASA)。.DF=DC ∠DPF=∠DAC, 5角平分线 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 知识储备 1.两边的距离2.两边距离相等 基础练 1.D2.C3.14.A5.D6.B7.证明：过M作ME⊥ AD于点E。,'AM平分∠DAB,ME⊥AD,MB⊥AB,.BM =EM。又M为BC的中点，∴.BM=CM,∴.CM=EM。 ,EM⊥AD,CM⊥CD,∴.M点在∠ADC的平分线上，即DM 平分∠ADC。8.D9.3 18