第11讲 指数与指数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖根式、分数指数幂运算、指数函数图像性质及应用，按“基础回顾-题型突破-课时精练”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生构建完整知识网络，突破运算化简、定义域值域、单调性等难点。 资料以题型分类为特色，每个题型配备典型例题与高考真题，如比较大小时采用中间值法培养数学思维，图像应用中通过平移伸缩变换发展数学眼光，课时精练分层次设计强化数学语言表达。精准对接高考命题规律，助力教师高效把控复习节奏，提升学生解题能力与应考素养。

第11讲 指数与指数函数 题型一 指数运算与化简求值 2 题型二 指数函数的定义域与值域 3 题型三 指数函数比较大小 5 题型四 指数函数的单调性及求参 6 题型五 指数函数的图像及应用 7 课时精练 10 【基础回顾】 知识点1．根式 （1）一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. （2）式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数。 (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 知识点3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 知识点4．指数函数及其性质 （1）概念：一般地，函数y＝ax（a>0，且a≠1）叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. （2）指数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点（0,1），即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 常用结论 1.指数函数图像的关键点（0,1），（1，a），（-1，）。 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图像越高，底数越大。 题型一 指数运算与化简求值 （1）指数幂的运算首先将根式、负分数的分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加。 ②运算的先后顺序。 （2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东滨州·期末）若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·重庆·期中）若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 题型二 指数函数的定义域与值域 定义域： 直接法：形如的函数，定义域即的定义域（需注意本身的限制，如分母不为零、根号下非负等）。 值域： 复合函数法： 1.先求内层函数的值域D； 2.再根据指数函数的单调性，求y在时的取值范围。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南·三模）已知函数 且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三下·重庆·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）若函数有两个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图像关于直线对称 （多选）9．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． （多选）10．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，设且，下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 题型三 指数函数比较大小 1.同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）。 2.同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）。 3.中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）。 注意：若底数和指数均不同，可通过取对数转化为乘法运算比较（如比较与，两边取自然对数得与）。 【例题精讲】 1．（2026·山西太原·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 6．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知，其中为自然对数的底数，为圆周率，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（2026·贵州黔西南·二模）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高三下·江西抚州·月考）若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（   ） A． B． C． D． 题型四 指数函数的单调性及求参 【例题精讲】 1．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·山东菏泽·月考）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北·模拟预测）已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数是减函数，则当取得最小值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． （多选）8．（广东江门市2025-2026学年普通高中高一上学期调研测试（一）数学试题）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B． C．当时， D．存在实数，使得为奇函数 （多选）9（25-26高一上·河南·期末）设函数，为实数，则下列正确的有（    ） A．当时， B．当时，若，则 C．当时，存在开区间使得在上单调递减 D．函数无零点 （多选）10．（2026·河北沧州·一模）已知函数的定义域为，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（    ） A．函数是“可倒函数” B．若函数在定义域上为“可倒函数”，则的取值范围为 C．若在上是“可倒函数”，则 D．若存在正数，使得函数在定义域上是“可倒函数”，则的取值范围为 题型五 指数函数的图像及应用 对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到。特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论。 【例题精讲】 1．（2026·陕西咸阳·三模）函数 在区间上的图像大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京密云·一模）为了得到的图像，只需把函数的图像上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 3．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的图像恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 6．（25-26高一上·河北邯郸·月考）已知函数，且的图像如图所示.则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图像大致为（    ） A．B．C．D． （多选）8．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．与图像有两个公共点 B．的解集为 C．的解集为 D．有最大值和最小值 （多选）10．（25-26高一上·山东济南·月考）已知，其中且，则（ ） A．为偶函数 B．的图像经过原点 C．函数有一个零点 D．当时，若且，则 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏淮安·月考）若，则的值是（   ） A．45 B．75 C．2 D．4 3．（25-26高一上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 4．（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图像，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 7．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、多选题 （多选）9．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 （多选）10．（2026·江西南昌·一模）已知，，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． （多选）11．（2026·广东肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 三、填空题 12．（北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二）高三数学）不等式的解集是___________. 13．（25-26高二下·上海·期中）已知，则的最小值为__________. 14．（2026·江西宜春·一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______. 四、解答题 15．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)． 16．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 17．（25-26高一下·湖北鄂州·期中）已知指数函数的图像､对数函数的图像分别经过点. (1)求的解析式； (2)若函数，求不等式的解集. 18．（25-26高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，为实数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 19．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 指数与指数函数 题型一 指数运算与化简求值 2 题型二 指数函数的定义域与值域 5 题型三 指数函数比较大小 9 题型四 指数函数的单调性及求参 13 题型五 指数函数的图像及应用 19 课时精练 26 【基础回顾】 知识点1．根式 （1）一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. （2）式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数。 (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 知识点3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 知识点4．指数函数及其性质 （1）概念：一般地，函数y＝ax（a>0，且a≠1）叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. （2）指数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点（0,1），即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 常用结论 1.指数函数图像的关键点（0,1），（1，a），（-1，）。 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图像越高，底数越大。 题型一 指数运算与化简求值 （1）指数幂的运算首先将根式、负分数的分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加。 ②运算的先后顺序。 （2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【分析】利用指数运算法则直接计算即可. 【详解】由可得. 故选：A. 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 5．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 6．（25-26高一上·山东滨州·期末）若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算求解即可. 【详解】由，得. 故选：C 7．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. （多选）8．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD （多选）9．（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数幂的运算性质逐项计算后可判断各项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. （多选）10．（25-26高一上·重庆·期中）若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据根式有意义的条件和实数指数幂的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知无意义，故A错误， 对于B，底数，指数，符合实数指数幂中底数大于零的情况，故B正确， 对于C，由，可知若，则无意义，故C错误， 对于D，因为根指数是3，任意实数都有唯一的立方根，所以有意义，故D正确. 故选：BD. 题型二 指数函数的定义域与值域 定义域： 直接法：形如的函数，定义域即的定义域（需注意本身的限制，如分母不为零、根号下非负等）。 值域： 复合函数法： 1.先求内层函数的值域D； 2.再根据指数函数的单调性，求y在时的取值范围。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域及指数函数定义域计算求解. 【详解】由题意得，即得，解得． 故选：A. 2．（2026·湖南·三模）已知函数 且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 3．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域. 【详解】当时，单调递增，， 当时，． 综上所述，的值域是． 4．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 5．（2026高三下·重庆·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数型复合函数的定义域及指数函数的值域求出集合，，再求交集即可. 【详解】由已知可得：，，所以. 6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）若函数有两个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的零点即方程的解，化简得， 解得或， 由于函数在R上单调递增，值域为， 函数有两个零点，则方程和各有一个不同的解， 所以，解得，即实数b的取值范围为. 7．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得. （多选）8．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图像关于直线对称 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义域可判断A；由指数型复合函数的单调性可判断BC；验证可得D. 【详解】A，由指数函数的性质知，的定义域为，A正确. B、C，函数在上单调递减，在上单调递增，是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，，B错误，C正确. D，，的图像关于直线对称，D正确. 故选：ACD. （多选）9．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定函数，利用指数函数的性质，结合基本不等式逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，A正确； 对于B，函数的值域是，B错误； 对于C，函数是R上的增函数，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD （多选）10．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，设且，下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由指数函数的值域是，可得，故A正确； 对于B，由函数，可得，故B正确； 对于C，由，两者不一定相等，故C错误； 对于D，因为，所以在上单调递减，所以，故D正确． 题型三 指数函数比较大小 1.同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）。 2.同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）。 3.中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）。 注意：若底数和指数均不同，可通过取对数转化为乘法运算比较（如比较与，两边取自然对数得与）。 【例题精讲】 1．（2026·山西太原·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，利用不等式放缩进行分析求解即可. 【详解】在上为增函数，，，即. ，. 令，， ，， 当时，，所以在上单调递增. 又因为，所以当时，， 当时，. ， ，即. 2．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，找出中间值，借助对数运算可得，合理放缩计算可得，则可得，即有，综上即可得解. 【详解】由，，则，， 由，则，即， 由，则，即， 故； 由，则， 即，即； 综上可得：. 3．（25-26高二下·广东·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性可得答案. 【详解】令，则，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 得，故， 所以，即. 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 5．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 6．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】适当构造函数，根据函数单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，求导得， 当时，单调递增，因此，即. 令，得，即. ，对同时取次方得 ， . 因为幂函数在单调递增，，，故. 综上. 7．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知，其中为自然对数的底数，为圆周率，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数，利用导数分析其单调性，再结合与的关系，即可得出结论. 【详解】构造函数，研究其单调性： 令，则， 因为， 易知：当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 注意到，所以， 因为，所以，即. 【点睛】本题的关键是构造函数并转化为指数形式，通过导数分析单调性，从而完成大小比较. （多选）8．（2026·贵州黔西南·二模）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据条件判断，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小. 【详解】由条件可知，，则，故A正确； ，故B正确； ，，所以，故C错误； 设，为增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. （多选）9．（25-26高三下·江西抚州·月考）若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】是任意正实数，， 对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，因为，所以， 当时，在上单调递减， 又因为，所以， 当，则， 当时，在上单调递增， 又因为，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减， 又因为，所以，故D正确. （多选）10．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数函数图像分析判断. 【详解】设，分别作出的函数图像，如图所示： 当，则，A成立； 当，则，B成立，C不成立； 当时，则，D成立. 故选：ABD.    题型四 指数函数的单调性及求参 【例题精讲】 1．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 2．（25-26高三下·山东菏泽·月考）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 由指数函数性质知：在上单调递减． 根据复合函数“同增异减”，在上单调递增， 则在上单调递减． 二次函数的对称轴为， 单调递减区间为， 故，即． 3．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，． 4．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 5．（2026·河北·模拟预测）已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出命题中的的取值范围，再根据集合间的关系结合充分必要条件定义即可得到答案； 【详解】对命题：， 对命题q：， 因为真包含于， 所以是的必要不充分条件. 6．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数是减函数，则当取得最小值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性和分段函数的单调性进行求解即可. 【详解】由条件知，可得，当且仅当时等号成立， 于是． 7．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为正数可得，根据为正数及为上的增函数可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为为正数，故. 由题设有， 而，故，故， 故，且， 故 设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故， 故A正确，BCD错误. （多选）8．（广东江门市2025-2026学年普通高中高一上学期调研测试（一）数学试题）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B． C．当时， D．存在实数，使得为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据具体函数解析式的定义域、函数的单调性以及奇函数的性质逐项求解判断即可. 【详解】因为函数，， 所以该函数的定义域为，A正确； 因为，B正确； 因为是单调递增函数，所以为单调递减函数， 所以当时，有，化简得， 解得，C错误； 令，若它为奇函数，则满足， 所以，所以. 由B知，所以，所以. 所以存在实数，使得为奇函数，D正确. 故选：ABD. （多选）9（25-26高一上·河南·期末）设函数，为实数，则下列正确的有（    ） A．当时， B．当时，若，则 C．当时，存在开区间使得在上单调递减 D．函数无零点 【答案】ABD 【分析】利用对数的运算判断A，利用指数函数的单调性判断B，利用函数的单调性按和分类讨论判断C，按的不同取值分类讨论结合之前结论判断D. 【详解】对于A，当时，，，故A正确； 对于B，当时，，单调递增， 易知若，则，B正确； 对于C，当时，由解得，所以， 当时，单调递增，不符合题意； 当时，， 令，因为在上单调递增， 故在上单调递增，于是可得是增函数，C错误； 对于D选项，当时，无零点； 当时，当时，无零点， 当时，在区间上无零点，D正确； 故选：ABD （多选）10．（2026·河北沧州·一模）已知函数的定义域为，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（    ） A．函数是“可倒函数” B．若函数在定义域上为“可倒函数”，则的取值范围为 C．若在上是“可倒函数”，则 D．若存在正数，使得函数在定义域上是“可倒函数”，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】设函数的值域分别为，由题意可知，若是区间上的“可倒函数”，即，所以对于A选项，取，求解即可；对于B选项，由以及函数的单调性求解，再利用基本不等式求解即可；对于C选项，利用单调递减以及求解即可；对于D选项，结合新概念确定函数的单调性，再推出矛盾即可. 【详解】设函数的值域分别为，由题意可知，若是区间上的“可倒函数”，即. 对于A，的定义域为， 令，则，由，即， 得，即，即， 判别式，方程无解， 所以不是“可倒函数”，A错误； 对于B，函数在定义域上为“可倒函数”，由严格递增， 所以对于任意的，的取值范围为，因为“可倒函数”，所以，所以， 所以的取值范围为，所以， 故，即，故，解得， 通过基本不等式，解得，即， 当且仅当时，等号成立，又因为，所以，且， 所以的取值范围为，故B正确； 对于C，当时，单调递减，此时其值域为， 由“可倒函数”定义可知，其值域不包含0，则， 从而在时的值域为， 由题意，所以要满足题意，还需满足，解得，C正确； 对于D，由题意，函数在定义域上连续， 若该函数不单调，则存在，使得， 对于,存在不等实数，使得,不满足可倒函数的定义； 所以单调，又，若单调递减，则当时，， 则对于任意的,不合题意； 同理若单调递增，则当时，， 则对于任意的,不合题意； 所以满足题意的k不存在，D错误． 故选：BC． 题型五 指数函数的图像及应用 对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到。特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论。 【例题精讲】 1．（2026·陕西咸阳·三模）函数 在区间上的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负逐一分析判断选项. 【详解】已知， ， 因此是奇函数，图像关于原点对称，排除关于轴对称的选项A、B； 当时：，故； 同时，因此负数正数， 即时，图像在轴下方，选项C符合该特征，选项D不符合. 2．（2026·北京密云·一模）为了得到的图像，只需把函数的图像上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图像上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 3．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图所示： 由时，则与矛盾，故A错误； 选项B，如图所示： 由时，则与矛盾，故B错误； 对于C，如图所示： 由时，，但是此时，故C错误； 对于D，由函数的图像可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，有，则，无法确定， 如图所示： 由，则，即， 由，所以，故D正确. 4．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得与的图像有三个不同的交点，作出与的图像，根据二次函数的对称性，可得，根据图像可得k的范围，进而可得的范围，即可得答案. 【详解】因为函数有三个不同的零点， 所以，即有三个不同的根， 则与的图像有三个不同的交点， 作出与的图像，如下图所示 当时，为开口向下，对称轴为的抛物线， 则关于对称，所以，即， 由图像可得， 令，解得，令，解得， 所以， 则， 即的取值范围为. 5．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的图像恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的图像恒过点可求出点A的坐标，代入直线方程可得到的关系式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解. 【详解】因为函数的图像恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 6．（25-26高一上·河北邯郸·月考）已知函数，且的图像如图所示.则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图像可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 7．（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图像大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. （多选）8．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】因为为一次函数，所以函数的图像为一条直线，根据选项由一次函数图像性质及指数型函数图像性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图像为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图像结合一次函数图像性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图像结合一次函数图像性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图像结合一次函数图像性质可知，， 当时，单调递减其图像与的图像关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图像结合一次函数图像性质可知，， 而恒成立，所以图像在轴上方，故D不符合题意. 故选：ABC （多选）9．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．与图像有两个公共点 B．的解集为 C．的解集为 D．有最大值和最小值 【答案】AC 【分析】在同一坐标系中作出函数，的草图，数形结合，判断各选项的正确性. 【详解】在同一坐标系中作出函数，的草图如下：    对A：由图可知，函数与的图像仅有，两个公共点，故A正确； 对B：由图可知，不等式的解集为，故B错误； 对C：由图可知，不等式的解集为，故C正确； 对D：由图可知，当和时， ，无最大值，故D错误. 故选：AC （多选）10．（25-26高一上·山东济南·月考）已知，其中且，则（ ） A．为偶函数 B．的图像经过原点 C．函数有一个零点 D．当时，若且，则 【答案】BCD 【分析】A利用偶函数的定义即可判断；B由可判断；C令，解方程即可判断；D画出的图像，令解方程求出，结合对数运算及对数函数的性质即可判断. 【详解】A，函数的定义域为，与不恒相等，故不是偶函数，故A错误； B，，所以的图像经过原点，故B正确； C，令，即，即，所以或， 当时，，因为，故无解， 当时，解得， 所以函数只有一个零点，故C正确； D，，且，画出的图像如下：    设，则， 不妨设，令，解得，， 所以， 因为，所以，又因为，所以， 即，故D正确. 故选：BCD. 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质可化简得出所求代数式的值. 【详解】由题意得. 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏淮安·月考）若，则的值是（   ） A．45 B．75 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 3．（25-26高一上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 4．（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图像，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合图像即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数且，所以， 同理，函数是增函数且，所以. 综上，可得. 故选：B 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 【答案】D 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解． 【详解】当时，单调递增， 此时，所以，解得； 当时，单调递减，此时， 所以，解得． 所以实数的值为或． 故选：D. 7．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 8．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】左右两边同时乘以得， 左右两边同时加得， 设，则单调递增， 又，， 所以， 所以，所以. 二、多选题 （多选）9．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；利用基本不等式求解D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， （多选）10．（2026·江西南昌·一模）已知，，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对数函数的性质判断A的真假；利用指数函数的性质判断B的真假；利用基本不等式判断CD的真假. 【详解】对A：因为，，所以，所以，故A错误； 对B：因为，所以，故B正确； 对C：因为 ，当且仅当即，时取等号.故C正确； 对D：因为，故D正确. （多选）11．（2026·广东肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【分析】先应用指数函数单调性转化已知条件，再应用导函数得出函数单调性求解参数判定A和B，再根据单调性判断C，D. 【详解】因为函数在上单调递增，所以原命题等价于“存在，使得函数在区间和上单调递减”. 又因为，所以，故A错误､B正确； 此时在上单调递增，在 和上单调递减， 所以在上单调递增，在和上单调递减，故C正确､D错误. 三、填空题 12．（北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二）高三数学）不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】把不等式化为，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 13．（25-26高二下·上海·期中）已知，则的最小值为__________. 【答案】18 【详解】易知，由可得； 当且仅当时，即时，等号成立； 因此的最小值为18. 14．（2026·江西宜春·一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】换元令，可得，根据题意结合指数函数单调性分析可知，整理可得，结合导数的几何意义分析求解即可. 【详解】因为，则， 令，可得， 原题意等价于关于t的方程有两个不相等的实数解， 若，则在定义域内单调递增， 可知方程不可能有两个不相等的实数解，不合题意，所以， 可得，原题意等价于与有2个不同的交点， 因为，可知与必有一个交点， 且，令，解得， 当，由图像可知与有2个不同的交点， 所以正实数m的取值范围是. 四、解答题 15．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）结合指数运算性质即可计算； （2）结合对数运算性质即可计算． 【详解】（1）． （2）． 16．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 17．（25-26高一下·湖北鄂州·期中）已知指数函数的图像､对数函数的图像分别经过点. (1)求的解析式； (2)若函数，求不等式的解集. 【答案】(1). (2). 【分析】(1)根据指数和对数函数的解析式，分别代入点计算可得结果； (2)根据指数和对数函数单调性可得在定义域上单调递增，不等式等价于，结合单调性即可求解. 【详解】（1）设，且，且.由，得. 由，得， 所以. （2）由（1）得， 可得在定义域上单调递增. 因为， 所以由，得，得. 故不等式的解集为. 18．（25-26高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，为实数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数是奇函数，有，解得的值并检验即可； （2）利用单调性求函数在区间内的值域． 【详解】（1）函数是奇函数，则，解得， 当时，， 为奇函数，所以的值为2． （2）由（1）知函数， 由是上的增函数，可得为上的减函数， 所以在上是增函数， 可得， 即，故函数的值域为． 19．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 指数与指数函数 题型一 指数运算与化简求值 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】ABD 9．【答案】ABD 10．【答案】BD 题型二 指数函数的定义域与值域 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】ACD 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 题型三 指数函数比较大小 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】ABD 9．【答案】ABD 10．【答案】ABD 题型四 指数函数的单调性及求参 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】ABD 9【答案】ABD 10．【答案】BC 题型五 指数函数的图像及应用 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】ABC 9．【答案】AC 10．【答案】BCD 课时精练 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】ABD 10．【答案】BCD 11．【答案】BC 12．【答案】 【分析】把不等式化为，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 13．【答案】18 【详解】易知，由可得； 当且仅当时，即时，等号成立； 因此的最小值为18. 14．【答案】 【分析】换元令，可得，根据题意结合指数函数单调性分析可知，整理可得，结合导数的几何意义分析求解即可. 【详解】因为，则， 令，可得， 原题意等价于关于t的方程有两个不相等的实数解， 若，则在定义域内单调递增， 可知方程不可能有两个不相等的实数解，不合题意，所以， 可得，原题意等价于与有2个不同的交点， 因为，可知与必有一个交点， 且，令，解得， 当，由图像可知与有2个不同的交点， 所以正实数m的取值范围是. 15．【答案】(1) (2)3 【分析】（1）结合指数运算性质即可计算； （2）结合对数运算性质即可计算． 【详解】（1）． （2）． 16．【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 17．【答案】(1). (2). 【分析】(1)根据指数和对数函数的解析式，分别代入点计算可得结果； (2)根据指数和对数函数单调性可得在定义域上单调递增，不等式等价于，结合单调性即可求解. 【详解】（1）设，且，且.由，得. 由，得， 所以. （2）由（1）得， 可得在定义域上单调递增. 因为， 所以由，得，得. 故不等式的解集为. 18．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数是奇函数，有，解得的值并检验即可； （2）利用单调性求函数在区间内的值域． 【详解】（1）函数是奇函数，则，解得， 当时，， 为奇函数，所以的值为2． （2）由（1）知函数， 由是上的增函数，可得为上的减函数， 所以在上是增函数， 可得， 即，故函数的值域为． 19． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $