2.8 指数与指数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕指数与指数函数专题，涵盖n次方根、分数指数幂、指数函数定义图像性质及九大核心考点，按概念-性质-应用逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建完整知识网络，突破运算化简、单调性应用等难点。 资料采用分层教学策略，设置基础巩固与综合应用练习，结合定义证明单调性、图像分析参数等教学活动，培养学生数学思维与数学语言表达能力。通过真题情境应用（如放射性物质衰变问题）提升实战能力，为教师精准把控复习节奏、学生高效备考提供有力支持。

2.8 指数与指数函数 一、n次方根 1．n次方根的定义 如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 2．a的n次方根的表示 n a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± 3．根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根据n次方根的意义，可得n＝a． (4)n为奇数时，＝a． n为偶数时，＝|a|＝ 【注意】(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制． (2)n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a． 二、分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定：＝＝ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 【注意】分数指数幂它是根式的一种写法，不可理解为个a相乘． 有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如无意义()4在a<0时不成立． 三、无理数指数幂的运算 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 四、指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R． 【注意】指数函数和幂函数的区别： 指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上． 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数是大于0且不等于1的常数． (2)指数函数的自变量必须在指数的位置上． (3)ax的系数必须为1． 五、指数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1　 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1　 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 ①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 考点一　指数化简与运算 考点二　指数函数概念以及求解析式 考点三　指数型函数定点问题 考点四　利用指数型函数图像求参 考点五　指数函数单调性问题 考点六　指数函数比较大小问题 考点七　利用指数函数的单调性解不等式 考点八　指数函数的值域或最值问题 考点九　指数函数的应用 考点一　指数化简与运算 1．（25-26高三上·新疆和田·月考）计算： (1) (2)； 2．（25-26高三上·云南曲靖·开学）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海·开学）已知，则的最小值为__________. 4．（25-26高三上·北京·月考）求值：__________. 5．（25-26高三上·浙江杭州·月考）化简：______． 6．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，求的值______ 考点二　指数函数概念以及求解析式 7．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 8．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学）指数函数的图象经过点___________. 9．（25-26高三上·全国·开学）已知指数函数，则实数的取值范围是________； 10．（24-25高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 考点三　指数型函数定点问题 11．（25-26高三上·上海奉贤·开学）已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为______． 12．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 13．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D． 14．（25-26高三上·四川成都·开学）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 考点四　利用指数型函数图像求参 15．（25-26高三上·江苏连云港·开学）（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 16．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 17．（25-26高三上·江苏南京·开学）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 19．（25-26高三上·陕西汉中·开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（   ） A．B．C． D． 考点五　指数函数单调性问题 20．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·浙江宁波·开学）已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 23．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高三下·江西赣州·开学）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六　指数函数比较大小问题 26．（25-26高三上·贵州毕节·开学）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·辽宁抚顺·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知，则（   ） A． B． C． D． 29．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点七　利用指数函数的单调性解不等式 30．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 31．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 32．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 34．（25-26高三上·广东广州·开学）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 35．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 考点八　指数函数的值域或最值问题 36．（25-26高三上·甘肃兰州·开学）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 37．（25-26高三上·上海·开学）已知函数是奇函数，为实数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 38．（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 39．（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 40．（25-26高三上·北京·开学）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高三上·云南文山·开学）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 42．（2026高三上·四川成都·专题练习）已知函数， (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求的取值范围． 考点九　指数函数的应用 43．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 44．（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 45．（25-26高三上·河南郑州·开学）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高三上·重庆·开学）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·浙江温州·开学）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西赣州·一模）若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东深圳·开学）已知函数的图像恒过定点P，点在指数函数的图像上，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·甘肃兰州·开学）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．  C．   D．   5．（25-26高三上·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖南长沙·开学）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江西九江·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 9．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·江苏南通·开学）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满混合均匀；再倒出，又用水填满混合均匀……，若要使得容器中的纯酒精含量不高于原来的，则至少要重复操作几次？（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 11．（2026·广东肇庆·二模）（多选）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 12．（25-26高二下·湖南长沙·开学）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 13．（25-26高三上·山西·月考）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高三上·黑龙江大庆·开学）（多选）下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图象必过定点 15．（25-26高三上·山东淄博·开学）已知函数的图象恒过定点，则_____. 16．（25-26高二下·天津滨海新区·开学）条件“”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答案即可）． 17．（25-26高三上·浙江·开学）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 18．（25-26高三上·浙江·月考）已知函数，其中且． (1)设． ①若，求的值； ②若，求的最小值． (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 19．（25-26高三上·安徽六安·月考）目前某县有100万人，年后为万人．如果年平均增长率是，请回答下列问题： (1)写出关于的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万（精确到1年）． （参考数据：） 20．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8 指数与指数函数 一、n次方根 1．n次方根的定义 如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 2．a的n次方根的表示 n a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± 3．根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根据n次方根的意义，可得n＝a． (4)n为奇数时，＝a． n为偶数时，＝|a|＝ 【注意】(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制． (2)n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a． 二、分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定：＝＝ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 【注意】分数指数幂它是根式的一种写法，不可理解为个a相乘． 有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如无意义()4在a<0时不成立． 三、无理数指数幂的运算 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 四、指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R． 【注意】指数函数和幂函数的区别： 指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上． 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数是大于0且不等于1的常数． (2)指数函数的自变量必须在指数的位置上． (3)ax的系数必须为1． 五、指数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1　 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1　 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 ①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 考点一　指数化简与运算 考点二　指数函数概念以及求解析式 考点三　指数型函数定点问题 考点四　利用指数型函数图像求参 考点五　指数函数单调性问题 考点六　指数函数比较大小问题 考点七　利用指数函数的单调性解不等式 考点八　指数函数的值域或最值问题 考点九　指数函数的应用 考点一　指数化简与运算 1．（25-26高三上·新疆和田·月考）计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据对数的运算公式计算化简即可； （2）根据指数幂的运算公式计算化简即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）由题意得 ． 2．（25-26高三上·云南曲靖·开学）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 3．（25-26高二下·上海·开学）已知，则的最小值为__________. 【答案】18 【详解】易知，由可得； 当且仅当时，即时，等号成立； 因此的最小值为18. 4．（25-26高三上·北京·月考）求值：__________. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 5．（25-26高三上·浙江杭州·月考）化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 6．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，求的值______ 【答案】 【分析】结合完全平方和公式，利用指数运算性质化简求值即可. 【详解】由，则，即， ，又，则，故， 故. 故答案为： 考点二　指数函数概念以及求解析式 7．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 8．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学）指数函数的图象经过点___________. 【答案】81 【分析】设指数函数，且，代入点可得，即可得结果. 【详解】设指数函数，且， 因为指数函数的图象经过点，则， 即，可得， 则，所以. 故答案为：81. 9．（25-26高三上·全国·开学）已知指数函数，则实数的取值范围是________； 【答案】 【分析】根据指数函数的定义求解； 【详解】由已知且，解得且， 所以的范围是. 故答案为： 10．（24-25高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 考点三　指数型函数定点问题 11．（25-26高三上·上海奉贤·开学）已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为______． 【答案】 【详解】易知函数的图象是由指数函数向下平移两个单位得到的， 又因为函数恒过定点， 所以函数的图象恒过定点. 12．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点可得. 【详解】因为且，， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 13．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】先根据指数函数的性质求出定点的坐标，再将其代入直线方程得到与的关系式，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】过定点，所以， 因为点在函数的图象上，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为4. 14．（25-26高三上·四川成都·开学）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的图象恒过点可求出点A的坐标，代入直线方程可得到的关系式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解. 【详解】因为函数的图象恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 考点四　利用指数型函数图像求参 15．（25-26高三上·江苏连云港·开学）（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据单调性、当时，判断. 【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 故选：BD 16．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 17．（25-26高三上·江苏南京·开学）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可. 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 18．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据已知得，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 19．（25-26高三上·陕西汉中·开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合二次函数与指数函数的图象性质逐项分析即可． 【详解】A：由图可得二次函数的对称轴为且，结合图可得，即得， 由图知为减函数，则有，符合，故A不合题意； B：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故B符合题意； C：由图可得且，即得，由图知为减函数，则，符合，故C不合题意； D：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故D符合题意； 故选：BD. 考点五　指数函数单调性问题 20．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 21．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 22．（25-26高二下·浙江宁波·开学）已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用作差法证明函数在 上单调递增； （2）由偶函数性质将不等式转化为绝对值不等式，平方后可解得解集. 【详解】（1）任取，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是增函数. （2）因为，所以为偶函数， 则由，可得， 即，即，解得. 23．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，a． 24．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 25．（25-26高三下·江西赣州·开学）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 考点六　指数函数比较大小问题 26．（25-26高三上·贵州毕节·开学）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是减函数，所以，即； 因为函数是减函数，所以，即； ， ，所以. 函数是减函数，所以，即. 所以. 27．（2026·辽宁抚顺·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则. 28．（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助幂函数与对数函数单调性判断即可得. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，即， 又因为对数函数在上单调递减， 所以，即，所以. 29．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 考点七　利用指数函数的单调性解不等式 30．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得对称性，进而根据函数的单调性，可得求解． 【详解】由， 得的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， 所以，整理得， 解得或． 31．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2)当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是 【分析】（1）因式分解后，分及进行讨论并计算即可得； （2）问题可转化为在区间上恒成立，令，构造函数，再分及讨论并计算即可得. 【详解】（1）当时，， 下面解不等式，即， 因为，所以， 当时，解得； 当时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）当时，不等式可变形为， 即，， 所以问题转化为在区间上恒成立， 令，则，则，故， 令，， 当时，函数在上单调递增， ，则； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，故，则； 综上所述，当时，m的取值范围是； 当时，m的取值范围是． 32．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，根据解不等式，当时，即时根据函数的单调性求解, 【详解】当时，即时，， 故满足题意； 当时，即时，令，则+1在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以由可得，解得， 又，故. 综上，实数a的取值范围为. 33．（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】把不等式化为，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 34．（25-26高三上·广东广州·开学）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 35．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数， 是增函数， 因为 ， ，即， 是单调递增函数， ，解得． 所以的取值范围是. 考点八　指数函数的值域或最值问题 36．（25-26高三上·甘肃兰州·开学）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 37．（25-26高三上·上海·开学）已知函数是奇函数，为实数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数是奇函数，有，解得的值并检验即可； （2）利用单调性求函数在区间内的值域． 【详解】（1）函数是奇函数，则，解得， 当时，， 为奇函数，所以的值为2． （2）由（1）知函数， 由是上的增函数，可得为上的减函数， 所以在上是增函数， 可得， 即，故函数的值域为． 38．（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可求解在上的值域为，进而根据在上的值域需要包含，结合指数函数的性质求解. 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 39．（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）结合二次函数性质和指数函数性质，利用配方法可求的最小值； （2）先判断，然后求出的最大值后列不等式即可求解． 【详解】（1）当时，， 则， ∴当即时，． （2）当时，则在上为增函数， 故的值域为，不符合条件； ∴，此时在上为减函数， 故， 由题意得，得，又， 解得，即实数的取值范围为． 40．（25-26高三上·北京·开学）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 41．（25-26高三上·云南文山·开学）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，结合指数函数的单调性和二次函数的最值性质进行求解即可； （2）对不等式进行变形，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1），即， 令，则，， 因为， 所以当时，函数有最小值， 所以当时，函数有最小值； （2）， 因为， 所以， ，当且仅当时取等号， 即当且仅当时，有最小值. 要想存在，使得成立， 只需， 所以的取值范围为. 42．（2026高三上·四川成都·专题练习）已知函数， (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)在R上单调递增，证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用单调性的定义，通过作差判断函数的单调性； （2）通过换元法，将指数函数转化为二次函数，再根据二次函数的性质求解的取值范围； （3）先求出在给定区间上的最大值，再根据条件得到的最大值，进而求解的取值范围. 【详解】（1），函数定义域为在R上单调递增，证明如下， 令，则， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 所以在R上单调递增； （2）令，因为，所以， 依题意可得在上恒成立， 因为，所以在上恒成立， 令，所以， 又函数在[1,7]上单调递增， 所以当时，[(，所以； （3）由（1）知，在上的最大值为，所以对任意恒成立， 即，令， ①，即时，在[1,2]上单调递增，所以， 所以，所以； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以； ③，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以； ④，即时，在[1,2]上单调递减， 所以，所以，所以 综上可得，的取值范围为． 考点九　指数函数的应用 43．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 【答案】B 【分析】设经过天后，剩余质量变为初始质量的，化简可得，利用换底公式得到最终结果. 【详解】由题意，， 设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的， 则有，所以， （天）， 故大约经过27天后，剩余质量变为初始质量的. 44．（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】设他经过个小时后血液中酒精含量为， 则， 当时，，即， 解得， 因为时间必须大于小时才能使酒精含量低于，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选项C正确. 45．（25-26高三上·河南郑州·开学）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，解得．． 46．（25-26高三上·重庆·开学）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令、求出，再令即可求出. 【详解】当时，；当时，，即， 当时，，即后，还剩64%的污染物， 所以前消除的污染物的占比为. 故选：B. 1．（25-26高二下·浙江温州·开学）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自变量的范围，代入相应的解析式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 2．（2026·江西赣州·一模）若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值法得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可. 【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以， 因为，，所以，可得， 又因为且，解得，此时， 因为， 故当时，函数为偶函数，故. 3．（25-26高三上·广东深圳·开学）已知函数的图像恒过定点P，点在指数函数的图像上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点坐标，再代入求解即可. 【详解】令，得，所以函数的图像恒过定点， 设指数函数为，因为点在指数函数的图像上， 所以，解得，所以，所以. 故选：D. 4．（25-26高三上·甘肃兰州·开学）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 5．（25-26高三上·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知函数恒过定点， 将向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到函数， 因此该函数图象一定过定点. 6．（25-26高二下·湖南长沙·开学）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是一个减函数，所以当时，函数最小值为， 因此，即，化简可得，即， 因为，所以解得或， 即不等式的解集为. 7．（2026·江西九江·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，， ，故. 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 9．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 10．（25-26高三上·江苏南通·开学）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满混合均匀；再倒出，又用水填满混合均匀……，若要使得容器中的纯酒精含量不高于原来的，则至少要重复操作几次？（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为升，再列不等式，结合指数，对数函数的性质求解. 【详解】第一次倒出，纯酒精剩余， 第二次倒出，纯酒精剩余， 第次后，纯酒精剩余， 则，两边同取以为底的对数得， 则，所以，则至少操作次. 故选： 11．（2026·广东肇庆·二模）（多选）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【分析】先应用指数函数单调性转化已知条件，再应用导函数得出函数单调性求解参数判定A和B，再根据单调性判断C，D. 【详解】因为函数在上单调递增，所以原命题等价于“存在，使得函数在区间和上单调递减”. 又因为，所以，故A错误､B正确； 此时在上单调递增，在和上单调递减， 所以在上单调递增，在和上单调递减，故C正确､D错误. 12．（25-26高二下·湖南长沙·开学）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 13．（25-26高三上·山西·月考）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与的符号，可得出的取值范围. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 14．（26-27高三上·黑龙江大庆·开学）（多选）下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图象必过定点 【答案】CD 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，根据指数函数的单调性判断即可；C选项，根据复合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，当时，此时在定义域内单调递减，由，根据单调性可得，B错； C选项，函数中， 令，在上递增，在上递减， 又在R上单调递减， 因此函数的单调增区间是，C正确； D选项，函数中，由得， 即函数图象过点，D正确． 故选：CD 15．（25-26高三上·山东淄博·开学）已知函数的图象恒过定点，则_____. 【答案】 【分析】令求出函数定点即可. 【详解】当时，，则函数的图象恒过定点， 则，则. 故答案为： 16．（25-26高二下·天津滨海新区·开学）条件“”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答案即可）． 【答案】（答案不唯一，符合要求即可） 【详解】已知不等式，由于 指数函数是单调递减函数，因此不等式等价于； 又由于对数函数定义域为，且本身是单调递增函数，因此原条件等价于：. 必要不充分条件的定义为：若原条件为，所求条件为，满足，但，则是的必要不充分条件. 这里，取，可满足，但. 因此原条件的一个必要不充分条件是.（答案不唯一，符合要求即可） 17．（25-26高三上·浙江·开学）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 18．（25-26高三上·浙江·月考）已知函数，其中且． (1)设． ①若，求的值； ②若，求的最小值． (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】(1) ①由得，代入表达式即可；②写出的表达式，利配方法求其最小值即可； (2) 当分别讨论分析即可. 【详解】（1）时，， ①由得， ． ② ， 时，，即时，； （2）当时，的值域为，不符合条件， ，且解得， ，即实数的取值范围. 19．（25-26高三上·安徽六安·月考）目前某县有100万人，年后为万人．如果年平均增长率是，请回答下列问题： (1)写出关于的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万（精确到1年）． （参考数据：） 【答案】(1) (2)112.7万 (3)大约16年后该县的人口总数将达到120万 【分析】（1）利用指数函数模型，写出关于的函数解析式； （2）令，代入（1）中的解析式，计算即得； （3）利用（1）中的解析式，结合题意列方程，借助于对数运算求解. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 故关于的函数解析式为； （2）当时，． 故10年后该县约有万人． （3）设年后该县的人口总数为120万， 即，即， 两边取常用对数，得， 则． 故大约16年后该县的人口总数将达到120万． 20．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集； (2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域. 【详解】（1）由为定义在上的奇函数，得，即， 故，. 由，结合，得，故. 在上单调递增，且. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. （2）由，整理得， 解得（舍去），故. ，令， 则，故. 当时，单调递增，得. 函数，开口向上，对称轴为. 当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $