13.2.3 直线与平面的位置关系（第2课时 直线与平面垂直）同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过三级分层设计，以“概念辨析-性质应用-综合探究”为主线，覆盖直线与平面垂直的核心知识，培养空间观念与推理意识，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础达标练|线面垂直概念、线面角范围、基本性质应用|以选择、填空为主，如线面角辨析题（第1题）、简单证明题（第8题），夯实抽象能力| |B级能力提升练|综合几何模型（正三棱柱、四棱锥）、动态与折叠问题|含多选题（第10题）、折叠探究题（第13题），强化空间观念与逻辑推理| |C级拓展探究练|折叠后线面关系证明与开放性探究|如多问证明题（第20题），培养创新意识与数学表达能力|

13.2.3　直线与平面的位置关系 第2课时　直线与平面垂直 A级 基础达标练 1.下列说法正确的是(　　) A.平面的斜线与平面所成的角θ的取值范围是θ<90° B.直线与平面所成的角α的取值范围是0°<α≤90° C.若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行 D.若两条直线互相平行,则这两条直线与同一个平面所成的角相等 2.若直线a与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a垂直的直线(　　) A.只有一条 B.有无数条 C.是平面内的所有直线 D.不存在 3.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC的形状为(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=　　　　. 6.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H,为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是　　　　.  7.(2025淮阴期中)若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,且侧棱与底面垂直,直线AC1与底面ABCD所成角的大小是60°,则A1C1到底面ABCD的距离为　　　　.  8.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面垂直,且底面ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点C到AB1的距离为CE,D为AB的中点.求证: (1)CD⊥AA1; (2)AB1⊥平面CED. B级 能力提升练 9.(2025扬州期中)如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么(　　) A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 第9题图 第10题图 10.(多选题)(2025南京期中)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论正确的是(　　) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 11.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=90°,则PA与底面ABC所成角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 第11题图 第12题图 12.(多选题)(2025南通月考)如图,在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为线段A1C1上的动点,则下列结论正确的是(　　) A.直线A1B与直线AC所成的角为60° B.CD1∥平面A1BM C.BD⊥平面A1BM D.点B1与点D到平面A1BM的距离相等 13.(2025苏州期中)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E为DC边的中点,沿AE将△ADE折起,在折起过程中,下列说法正确的有(　　) ①ED⊥平面ACD;②CD⊥平面BED; ③BD⊥平面ACD;④AD⊥平面BED. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(多选题)如图所示,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上异于AB的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的投影,则(　　) A.AF⊥PB B.EF⊥PB C.AF⊥BC D.AE⊥平面PBC 15.(多选题)(2025南京质检)如图,已知四边形ABCD为正方形,GD⊥平面ABCD,四边形DGEA与四边形DGFC都为正方形,连接EF,FB,BE,H为BF的中点.有下述四个结论,正确的是(　　) A.DE⊥BF B.EF与CH所成角为60° C.EC⊥平面DBF D.BF与平面ACFE所成角为45°. 16.(多选题)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是△BDC1内(不含边界)的一个动点,若A1P⊥BC1,则线段A1P的长可能的取值为(　　) A. B. C.2 D. 17.(2025盐城检测)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,点E是侧棱BB1上的一个动点,则AE+EC1的最小值为　　　　,直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为　　　　.  18.中国古代数学名著《九章算术·商功》中,阐述:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一.”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,则PA与BC所成角的大小为　　　　,PB与平面PDC所成角的正弦值为　　　　.  19.如图,PA垂直矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点. (1)求证:MN∥平面PAD. (2)若PD与平面ABCD所成的角为α,当α为多少度时,MN⊥平面PCD?求出α的度数并证明你的结论. C级 拓展探究练 20.(2025常州调研)如图①,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点.如图②,将△ABE沿AE折起,使BM⊥平面AECD,其中M是AE的中点,连接BC,BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点,连接DM,FM,连接CM,交EF于点N,连接PN. ① ② (1)求证:AE⊥BD. (2)求证:PN⊥平面AECD. (3)判断DE能否垂直于平面ABC,并说明理由. 参考答案 1.D　A中,平面的斜线与平面所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°; B中,直线与平面所成的角α的取值范围为0°≤α≤90°; C中,这两条直线可能平行,也可能相交或异面; D中说法正确.故选D. 2.B　当a∥平面α时,在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线;当a⊂α时,在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直;当直线a与平面α相交但不垂直时,在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直,故选B. 3.B　易证AC⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC. 4.A　取AC的中点D,连接BD,C1D(图略),∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BD⊥平面ACC1A1,∴∠BC1D就是BC1与侧面ACC1A1所成的角,sin∠BC1D=,又∠BC1D为锐角,∴∠BC1D=30°. 5.6　∵DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,∴DE∥AF.又AF=DE,∴四边形ADEF为平行四边形,∴EF=AD=6. 6.EF⊥平面β(答案不唯一)　因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ. 又因为EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,而GH⊂平面EFHG,从而PQ⊥GH. 故答案为EF⊥平面β(答案不唯一). 7.　如图,连接AC, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,则AD=DC=1,所以AC=AD=, 又C1C⊥底面ABCD,则直线AC1与底面ABCD所成角,即∠C1AC=60°, 则C1C=AC·tan 60°=, 则在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1C1到底面ABCD的距离,即C1到底面ABCD的距离C1C=.故答案为. 8.证明 (1)由题意知AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC, 所以CD⊥AA1. (2)因为D是AB的中点,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CD⊥AB. 又CD⊥AA1,AB∩A1A=A,AB⊂平面A1B1BA,A1A⊂平面A1B1BA, 所以CD⊥平面A1B1BA. 因为AB1⊂平面A1B1BA, 所以CD⊥AB1. 又CE⊥AB1,CD∩CE=C,CD⊂平面CED,CE⊂平面CED, 所以AB1⊥平面CED. 9.C　因为PM⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,MC⊂平面ABC,所以PM⊥MC,PM⊥AB. 又因为M为AB的中点,∠ACB=90°,所以MA=MB=MC,所以PA=PB=PC. 10.ABC　如图,对于A,因为SD⊥底面ABCD,AC⊂底面ABCD,所以SD⊥AC. 因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD. 因为SD∩BD=D,SD,BD⊂平面SBD, 所以AC⊥平面SBD. 因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,故A正确. 对于B,因为底面ABCD是正方形,所以AB∥CD. 因为AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD, 由线面平行的判定定理可得AB∥平面SCD,故B正确. 对于C,设AC∩BD=O,连接SO, 因为AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD, 所以∠ASO即为SA与平面SBD所成的角,∠CSO即为SC与平面SBD所成的角,AC⊥SO. 因为AO=CO,SO=SO,且AC⊥SO, 所以tan ∠ASO=tan ∠CSO,可得∠ASO=∠CSO, 所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,故C正确. 对于D,因为AB∥CD,所以∠SCD即为AB与SC所成的角,∠SAB即为DC与SA所成的角. 因为AB⊥AD,AB⊥SD,AD∩SD=D,AD,SD⊂平面SAD,所以AB⊥平面SAD. 因为SA⊂平面SAD,所以AB⊥SA,所以∠SAB=90°. 因为∠SDC=90°,所以∠SCD≠90°,所以∠SCD≠∠SAB, 所以AB与SC所成的角不等于DC与SA所成的角,故D不正确. 故选ABC. 11.C　如图,∵ PA=PB=PC,∴P在底面的射影O是△ABC的外心.又∠BAC=90°,∴O在BC上且为BC的中点,∴AO为PA在底面的射影,∠PAO即为所求的角.在等边三角形PBC中,PO=PB=PA,∴sin∠PAO=.又∠PAO为锐角,∴∠PAO=60°. 12.AB　A选项,直线A1B与直线AC所成的角即为直线A1B与直线A1C1所成的角, 连接BC1,A1C1,如图1,因为A1B,A1C1,BC1为正方体的面对角线, 所以A1B=A1C1=BC1,所以△A1BC1为等边三角形,所以∠BA1C1=60°, 所以直线A1B与直线AC所成的角为60°,故A正确; 图1 图2 B选项,如图2,因为CD1∥A1B,而CD1⊄平面A1BC1,A1B⊂平面A1BC1, 所以CD1∥平面A1BC1,故B正确; C选项,连接DB1,D1B1,如图3, 因为四边形A1B1C1D1为正方形,所以A1C1⊥B1D1. 因为DD1⊥底面A1B1C1D1,A1C1⊂底面A1B1C1D1, 所以DD1⊥A1C1. 因为DD1∩D1B1=D1,所以A1C1⊥平面DD1B1. 因为DB1⊂平面DD1B1,所以DB1⊥A1C1. 同理可证,DB1⊥A1B. 因为A1C1∩A1B=A1,可证得DB1⊥平面A1BC1. 因为BB1∩DB1=B1,所以BD与平面A1BC1不垂直, 所以BD与平面A1BM不垂直,故C错误; 图3 图4 D选项,连接AC,AD1,CD1,如图4,由对称性可知,点D到平面ACD1的距离等于D到平面A1BM的距离,故点B1与点D到平面A1BM的距离不相等,故D错误.故选AB. 13.A　如图,对于①,∵在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E为DC边的中点,∴在折起过程中,D点在平面BCE上的正投影D'在图中线段Q1Q2上.∵D'E与AC所成角不能为直角,∴DE不会垂直于平面ACD,①错误;对于②,只有D点的正投影位于点Q2位置时,即平面AED与平面AEB重合时,才有BE⊥CD,此时CD不垂直于平面AECB,∴CD与平面BED不垂直,②错误;对于③,∵BD'与AC所成角不能成直角,∴BD不能垂直于平面ACD,③错误;对于④,∵AE⊥EB,并且在折起过程中,有AD的投影垂直于BE,∴存在一个位置使AD⊥BE,∴在折起过程中,有AD⊥平面BED,④正确.故选A. 14.ABC　因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,又AF⊂平面PAC,从而BC⊥AF.又AF⊥PC,BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC,又PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AF⊥PB,AF⊥BC,故A,C正确;由AF⊥PB,而AE⊥PB,AF∩AE=A,从而PB⊥平面AEF,又EF⊂平面AEF,故EF⊥PB,故B正确;由上述过程可知,AE与平面PBC不垂直,故D不正确. 15.ABC　将原空间图形补形为正方体ABCD-EKFG,如图. 连接DE,CK,由正方体的几何特征可知,DE∥CK,CK⊥BF,所以DE⊥BF,故A正确. 连接DF,因为DE∥CH,所以CH与EF所成角为∠FED,在正三角形DEF中,∠FED=60°,因此EF与CH所成的角为60°,故B正确. 连接AC,BD,设AC∩BD=O,因为AE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以AE⊥BD. 因为AC⊥BD,AE∩AC=A,AE,AC⊂平面ACFE,所以BD⊥平面ACFE. 连接EC,因为EC⊂平面ACFE,所以EC⊥BD.同理EC⊥BF,又BD∩BF=B,所以EC⊥平面DBF,故C正确. 连接OF,因为BD⊥平面ACFE,OF⊂平面ACFE,则BD⊥OF,所以∠BFO即为BF与平面ACFE所成的角. 在直角三角形BOF中,显然OB<OF,所以BF与平面ACFE所成的角不是45°,故D错误.故选ABC. 16.AB　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,所以A1B1⊥BC1.连接B1C,A1C(图略),则BC1⊥B1C,所以BC1⊥平面A1B1C,又A1C⊂平面A1B1C1,所以BC1⊥A1C,同理可证A1C⊥DC1,A1C⊥DB,又DB∩DC1=D,所以A1C⊥平面DBC1.设垂足为O,则A1O=A1C=.记BC1∩B1C=E,连接DE,A1D,因为P是△BDC1内(不含边界)的一个动点,A1P⊥BC1,所以P在平面A1B1CD与平面DBC1的交线DE上(不含端点),所以A1O≤A1P<A1D==2,所以A1P的长的取值范围是,2. 17.2　将矩形BB1C1C沿BB1翻折到与矩形ABB1A1在同一个平面,如图, 则AE+EC1≥AC1==2. 由AB⊥平面BB1C1C,知∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成角. ∵sin∠AC1B=, ∴直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 18.45°　　PA与BC所成的角等于PA与AD所成的角,即∠PAD=45°; 因为BC⊥平面PDC,则PB与平面PDC所成角为∠BPC,所以sin∠BPC=. 19.(1)证明 取PD的中点E,连接NE,AE,如图. ∵N是PC的中点, ∴NE∥DC且NE=DC. 又DC∥AB且DC=AB,AM=AB, ∴AM∥CD且AM=CD, ∴NE∥AM,且NE=AM, ∴四边形AMNE是平行四边形,∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD, ∴MN∥平面PAD. (2)解 当α=45°时,MN⊥平面PCD,证明如下: ∵PA⊥平面ABCD, ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角. ∵∠PDA=45°, ∴AP=AD, ∴AE⊥PD. 又MN∥AE, ∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. 又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE, ∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD, ∴MN⊥平面PCD. 20.(1)证明 因为在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点,所以△ABE与△ADE都是等边三角形,则BM⊥AE,DM⊥AE. 因为BM∩DM=M,BM,DM⊂平面BDM,所以AE⊥平面BDM. 又因为BD⊂平面BDM,所以AE⊥BD. (2)证明 因为ME∥FC且ME=FC,所以四边形MECF是平行四边形, 所以N是线段CM的中点. 因为P是线段BC的中点,所以PN∥BM. 因为BM⊥平面AECD,所以PN⊥平面AECD. (3)解 DE与平面ABC不垂直. 理由如下: 假设DE⊥平面ABC,则DE⊥AB, 因为BM⊥平面AECD,所以BM⊥DE. 又因为AB∩BM=B,AB,BM⊂平面ABE, 所以DE⊥平面ABE,所以DE⊥AE, 这与∠AED=60°矛盾,所以DE与平面ABC不垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $