精品解析：甘肃兰州十九中教育集团木塔巷校区2025-2026学年第二学期期中试卷七年级 数学

兰州十九中教育集团木塔巷校区2025-2026学年第二学期期中试卷 七年级 数学 满分：120分 时间：120分 一、单选题：（每小题3分，共33分） 1. 随着人们对环境的重视，新能源材料在环境治理方面的潜能仍需开发．石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，厚度约为．数据0.0000000084用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：科学记数法的标准形式为（，为整数）， 对于，将小数点向右移动位得到， 因此． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式分别计算各选项，即可得出正确结果． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 3. 如图，下列各对角中，属于同位角的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三线八角，根据同位角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、与是对顶角，不符合题意； B、与是同旁内角，不符合题意； C、与是同位角，符合题意； D、与是内错角，不符合题意． 故选C． 4. 下列事件中，是必然事件的是（　　）． A. 13人中至少有两人的生日在同一个月 B. 早上，太阳从西方升起 C. 汽车随机到达一个路口，遇到红灯 D. 投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义判断：必然事件指一定发生的事件；不可能事件指一定不发生的事件；随机事件指可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：选项A，一年共有12个月，13人中即使前12人的生日分别在不同月份，第13人的生日一定与其中一人在同一个月，因此事件一定发生，是必然事件，符合题意； 选项B，早上太阳从西方升起，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合题意； 选项C，汽车随机到达一个路口遇到红灯，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，不符合题意； 选项D，投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，不符合题意． 5. 一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方形的宽=面积长，利用多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求出宽． 【详解】解：由长方形面积公式可知，宽=面积长，即： ． 6. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【详解】A、∵，∴，故该选项符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A. 9 B. 9或 C. D. 9或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的形式列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵多项式是完全平方式，完全平方公式为 ∴对应公式可得，，，中间项满足 整理得 分两种情况计算： 当时，，解得 当时，，解得 ∴的值为或． 8. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可． 【详解】A.，不符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 9. 如图，AB∥CD，若EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF，则与∠BEM互余的角有( )． A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【详解】∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠EFC=180°，∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF， ∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF， ∴∠AEN=∠FEN，∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM， ∴∠BEM+∠MFD=90°， ∵∠AEF+∠BEF=180°， ∴∠AEN+∠BEM=90°， 则与∠BEM互余的角有∠AEN，∠NEF，∠ENF，∠EFM，∠MFD共5个， 故选B. 10. 如图的四个转盘中，，转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指针落在阴影区域内的概率是：阴影面积比总面积，分别求出概率比较即可 【详解】A、指针落在阴影区域内的概率是 B、指针落在阴影区域内的概率是 C、指针落在阴影区域内的概率是 D、指针落在阴影区域内的概率是 ∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D 故选：D 【点睛】本题考查了几何概率，计算阴影区域面积占总面积的比例是解题关键． 11. 如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，， 可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 已知，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则：，将已知条件代入直接计算求解． 【详解】解：根据积的乘方运算法则： ， ， 代入得：． 13. 如图，直线，，垂足为点，与交于点，若，则____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行公理的推论、平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 作交于点，由平行公理的推论可得，再根据平行线的性质求出和的度数即可求解． 【详解】解：如图，作交于点， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 先找出4的整数倍的个数，再根据概率公式可得答案． 【详解】一共有8张卡片，其中是4的整数倍的有2张， ∴从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是． 故答案为：． 15. 在四边形中，，在线段上任取一点E（不和点A、D重合），连接，过点B作交的延长线于点F，的角平分线和的角平分线交于点G，交于H，若，则______________度． 【答案】55 【解析】 【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义，求出的度数，作，则，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 作，则， ∴，， ∴． 三、解答题∶（本题11小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算（其中（3）、（4）运用乘法公式简便计算） （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）9 （3） （4） 【解析】 【分析】（1），代入原式化简即可； （2），，，，代入原式化简求值即可； （3），利用平方差公式，完全平方公式化简即可； （4），利用完全平方公式化简求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】按整式的混合运算法则进行化简，再将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 18. 如图， （1）利用尺规，过点B作，过点D作，相交于点C． （2）试说明:． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−角、平行线的性质，熟练掌握相等角的作法是解题的关键． （1）根据一个角等于已知角的作法，作出以点B为顶点，射线为角的其中一边，且与相等的角，作出以点D为顶点，射线为角的其中一边，且与相等的角即可； （2）根据作图得，，得，得，另根据作图得，点C在射线上，即得． 【小问1详解】 解：以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点E、F， 分别以点B、D为圆心，以同样长为半径画弧，分别交延长线、延长线于点G、H， 分别以点G、H为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点I、J， 作射线，射线与射线交于点C， 线段即为所求作． 【小问2详解】 解：由作图知，， ∴， ∴， ∵，点C在射线上， ∴． 19. 甲、乙两人共同计算一道整式：．由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值，将，的值代入，即可求解． 【详解】解：甲抄错了的符号的计算结果为：， ∴ 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：（． ∴， ∴ ∴， 解得， ∴ 当时，原式 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组，解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算． 20. 如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴ 又∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角定义） ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 21. 如图，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由 （2）若，求的度数 【答案】（1），理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据对顶角相等得出，由得出，再由同位角相等，两直线平行可得出，由平行线的性质可得，由可得，根据内错角相等，两直线平行可得； （2）根据得出，由得出，据此即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，先根据题意得出是解答此题的关键． 22. （1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是元/，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积） 【答案】（1）至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元；（2）至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 【解析】 【分析】此题考查了整式运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 则把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元； （2）根据题意得：， 则在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 23. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小颗做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 207 334 537 2010 摸到白球的频率 （1）填空：______，______；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） （2）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是______． A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B.掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5． C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． （3）若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1），摸到白球的概率估计值为 （2）B （3）需要往盒子里再放入65个白球 【解析】 【分析】 （1）先根据频数和频率的关系求出a、b的值，再通过大量重复实验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此即可求解； （2）先求出每种情况下的概率即可比较可能性大小； （3）先求出原来盒子中的白球有个，设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为，根据题意列方程求出即可． 【小问1详解】 解：， 若从盒子里随机摸出一只球，摸到白球的概率估计值为； 【小问2详解】 解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5的概率是． C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是； 故最有可能的是B； 【小问3详解】 解：若盒子中一共有100个球，摸到白球的概率的估计值， 则盒子中的白球有个， 设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入65个白球． 24. 数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题． （1）图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图①：__________________________； 图②：__________________________； 图③：__________________________． 综合运用： （2）用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：__________________________． 类比迁移： （3）若，求的值． 【答案】（1），；，；， （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）根据图①中的阴影部分可以看作是一个边长为的正方形，得面积为，再根据图①中的阴影部分也可以看作是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成，得面积为，由此可得出答案；根据图②中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图②中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图③中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）根据图④中的阴影部分可以看作是一个边长为的正方形，得面积为，也可以看作是由边长为的正方形减去4个两个长为，宽为的长方形构成，即可得出答案； （3）设，，则，，再根据图①等式计算即可． 【小问1详解】 解：图中①阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：； 图中②阴影部分的面积：方法一：， 方法二：； 图中③阴影部分的面积：方法一：， 方法二：； 【小问2详解】 解：图中④阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：； ∴可验证的等式是：； 【小问3详解】 解：设，，则，， 由（1）①知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查乘法公式的几何背景，通过数与形的对应关系相互转化解决问题，是数学中的核心思想方法．数形结合思想将抽象的数学语言与直观的图形结合，实现复杂问题简单化、抽象问题具体化． 25. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，． 我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． （1）根据上述规定，填空： ①_____________ ②_____________； （2）计算：_____________； （3）记，，．求证：． 【答案】（1）① ② （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据“雅对”的定义计算即可； （2）设，，根据“雅对”的定义可得：，逆用同底数幂的乘法法则可得：，所以； （3）根据“雅对”的定义可得：，所以有． 【小问1详解】 ①解：， ； ， ； 【小问2详解】 解：设，， ， 即，， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 26. 实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． （1）操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； （2）操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； （3）操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】（1）105 （2） （3）20或50或80 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； 【小问2详解】 解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州十九中教育集团木塔巷校区2025-2026学年第二学期期中试卷 七年级 数学 满分：120分 时间：120分 一、单选题：（每小题3分，共33分） 1. 随着人们对环境的重视，新能源材料在环境治理方面的潜能仍需开发．石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，厚度约为．数据0.0000000084用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，下列各对角中，属于同位角的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 下列事件中，是必然事件的是（　　）． A. 13人中至少有两人的生日在同一个月 B. 早上，太阳从西方升起 C. 汽车随机到达一个路口，遇到红灯 D. 投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 5. 一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（　　）． A. B. C. D. 6. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A. 9 B. 9或 C. D. 9或 8. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB∥CD，若EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF，则与∠BEM互余的角有( )． A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 10. 如图的四个转盘中，，转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 已知，，则 ______． 13. 如图，直线，，垂足为点，与交于点，若，则____度． 14. 有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________ 15. 在四边形中，，在线段上任取一点E（不和点A、D重合），连接，过点B作交的延长线于点F，的角平分线和的角平分线交于点G，交于H，若，则______________度． 三、解答题∶（本题11小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算（其中（3）、（4）运用乘法公式简便计算） （1） （2） （3） （4） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图， （1）利用尺规，过点B作，过点D作，相交于点C． （2）试说明:． 19. 甲、乙两人共同计算一道整式：．由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．求的值． 20. 如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 21. 如图，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由 （2）若，求的度数 22. （1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是元/，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积） 23. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小颗做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 207 334 537 2010 摸到白球的频率 （1）填空：______，______；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） （2）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是______． A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B.掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5． C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． （3）若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 24. 数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题． （1）图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图①：__________________________； 图②：__________________________； 图③：__________________________． 综合运用： （2）用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：__________________________． 类比迁移： （3）若，求的值． 25. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，． 我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． （1）根据上述规定，填空： ①_____________ ②_____________； （2）计算：_____________； （3）记，，．求证：． 26. 实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． （1）操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； （2）操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； （3）操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $