江苏无锡七年级数学2025-2026学年第二学期期末综合复习试卷（苏科版七下）

**基本信息** 本卷为七年级下册数学期末模拟卷，通过原创代数最值题、几何探究题及奶茶购买应用题，融合《九章算术》文化与生活情境，考查运算能力、推理意识及模型意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平移、幂运算、不等式解集|结合车标图案考平移（几何直观）| |填空题|8/24|科学记数法、多边形外角和、反证法|15题反证法假设（推理意识）| |解答题|8/66|“跟随方程”定义、三角板旋转、化简求值|25题几何探究（空间观念），24题奶茶应用（模型意识）|

2025-2026学年七年级（下）数学期末综合复习试卷答案及解析 一、选择题：（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ A ） A． B． C． D． 答案： A 解析：平移只改变位置，不改变形状、大小、方向，只有 A 符合. 2．下列计算正确的是（ C ） 　 A．a2•a3=a6 　 B．a6÷a3=a2　　 C．（a2）3=a6 　　D．（2a）3=6a3 答案：C 解析：A.；B.；C.；D.. 3．用不等式表示图中的解集，下列正确的是（　 B ） A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1 答案：B 解析：观察数轴，实心心圈在，向右，故x≥﹣1. 4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　C　） A．a+1＞b+1 B．a﹣b＞0 C．﹣3a＞﹣3b D．ab＞0 答案：C 解析：不等式两边乘负数，不等号方向改变 5．下列各式能用平方差公式计算的是（ D ） A． (2a+b)(2b－a) B．(a+b)( a－2b) C．(2 x－1)(－2 x+1) D． (－x+1)(－x－1) 答案：D 解析：平方差公式：，一同一反平方差 6．若要说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，则可以举反例为（　B　） A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝2，b＝2 D．a＝2，b＝﹣1 答案：B 解析：，但1≠-1，可说明命题为假 7．如图，把一块含30°角的直角三角板OAB沿边OB翻折得到△OCB，然后再沿边OC翻折得到△OCD，则△OCD可以由△OAB绕点O旋转n°得到，那么n的值为（　D　） A．30 B．60 C．90 D．120 答案：D 解析：求∠AOC或∠BOD，可求得为 8．在《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：“五头牛和两只羊，价值十两金；两头牛和五只羊，价值八两金．一头牛、一只羊分别价值几两金？”若设一头牛价值x两金，一只羊价值y两金，则根据题意可列方程组为（　A　） A． B． C． D． 答案：A 解析：5 牛 + 2 羊 = 10 金，2 牛 + 5 羊 = 8 金，列方程组 9．如图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（ B ） A．108° B．114° C．116° D．120° 答案：B 解析：折叠性质 + 平行线性质，计算得 10．（原创）若a、b满足a2+b2＝ab+4，则代数式6﹣ab的最小值为（　C 　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 （图1） （图2） （图3） 答案：C 解析：由得ab≤4，故6-ab≥2，最小值为2 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11．遗传物质脱氧核糖核酸(DNA)的分子直径为0.000 0002cm，用科学记数法表示为 cm． 12．已知am＝6，an＝3，则am－n＝ 2 13．用不等式表示“x的3倍与2的差为正数”：　 3x-2 > 0 　 ． 14．十边形的外角和是 360 °． 15．用反证法证明命题：“在△ABC中，若BC＞AC，则∠A＞∠B”，应先假设　∠A≤∠B 　 ． 16．如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为10cm，则CD的长为　 10 　 cm． 解析：对称得，， 17．在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，则∠1＋∠2＝ 230 °． 解析：四边形内角和， 18．（原创）若关于x的不等式组的整数解共有2026个，则m的取值范围是 2026<m≤2027 ． A 2 C B 1 解析：解不等式组得1≤x＜m，整数解共 2026 个，故2026＜m≤2027 三、解答题：（本大题共8小题，共66分，要有必要的解题步骤） 19．（改编）（每小题4分，共8分）计算或化简： （1）(－)－2 ＋ 20260 － |－5|； （2）(－3a2)2－a2·2a2＋(a3)2÷a2． =4+1－5 =9a4－2a4＋a4 =0 = 8a4 20．（改编）（每小题4分，共8分）解二元一次方程组： （1）； （2）． （1） （2） 21．（每小题4分，共8分）解不等式（组）： （1）； （2）． 解第一个不等式，得 解第二个不等式，得 所以这个不等式组无解. 22．（原创）（6分）先化简，再求值：x(2x－y)－(x+y) (x－y) + (x－y) 2，其中x2+y2=5，xy=－2 ． 当 时， 23．（改编）（8分）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． （1）判断在方程①x+2＝0，②，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，是不等式组的“跟随方程”有　 　 （填序号），并说明理由； （2）若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中a的值. 解：（1）先解不等式组： 解第一个不等式： 解第二个不等式： 所以不等式组的解集为：2≤ 再解三个方程：① ，解得 ，不在解集内； ② ，解得 ，在解集内； ③ ，解得 ，在解集内。 所以 “跟随方程” 是：②③ （2）先解不等式组： 解第一个不等式： 解第二个不等式： 不等式组的解集为： 其中整数解为 或 . 再解方程 当 时： 当 时： 所以 a 的值为 或 24．（10分）随着夏日的到来，“茶千道”奶茶店推出了“醒橄榄”、“香芒果”两款新饮品．已知购买3杯“醒橄榄”和5杯“香芒果”需花费130元，购买5杯“醒橄榄”和7杯“香芒果”需花费194元． (1)求“醒橄榄”和“香芒果”的单价各是多少元． (2)“六一”儿童节，李老师打算购买两种奶茶共60杯来奖励表现优秀的学生．通过外卖平台对比，发现该店在美团和京东上分别对两款产品在进行促销活动．美团上购买“醒橄榄”买两杯第二杯半价（不单杯销售），同时每杯需支付1元打包费；京东外卖购买“香芒果”每杯立减4元，没有打包费．为了享受最大的优惠，李老师打算只在美团上购买“醒橄榄”，只在京东上购买“香芒果”．在实际购买时，为了扩大奖励范围，李老师在原来基础上，又新增加购买了一些“醒橄榄”和“香芒果”，新增加购买“香芒果”数量是新增加购买“醒橄榄”的3倍．在最后结算时，李老师发现购买“醒橄榄”的总数是“香芒果”的总数的2倍，两个外卖平台总计支付不超过1180元，请问李老师在京东外卖新增购买“香芒果”最多能订多少杯？ 解：（1）设“醒橄榄” 单价 x 元 / 杯，“香芒果” 单价 y 元 / 杯 ，解得： 答：醒橄榄 15 元 / 杯，香芒果 17 元 / 杯. （2）设新增醒橄榄a杯，则新增香芒果3a杯 原来共60杯，设原来醒橄榄m，香芒果 最终：醒橄榄总数：；香芒果总数： 由题意：，解得 m 为整数，故a必为 3 的倍数，设（k为正整数），则： 醒橄榄总数：；香芒果总数： 费用计算 1）美团（醒橄榄）：单价15元，第二杯半价，每杯打包费1元。 共 杯。 第二杯半价：每2 杯费用= 元。 打包费：每杯1元，共元。 对打包费用 ： 2）京东（香芒果）：原价 17，每杯减 4，无打包费。 单价： 元。 数量： 杯。 总费用不等式，解得 k 为正整数，最大可取。 新增醒橄榄： 杯，新增香芒果： 杯 答：京东外卖新增购买香芒果最多 18 杯。 25．（原创）（8分）初一（3）班数学学习小组“孙康映雪”在学习了平面图形的认识后对几何学习产生了浓厚的兴趣．请你认真研读下列三个片断，并完成相关问题． 如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B． （图2） （备用图） （图1） 【片断一】 （1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值． 填空：∠OBC+∠ODC= 180° ． 【片断二】 （2） 小康说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你证明这个命题． 【片断三】 （3）小雪说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你在备用中补全图形（尺规作图：保留作图痕迹，不写做法），并探究DE与BF具有特殊的位置关系． （2）证明：∵BD 平分 ，∴； 在 中，，∴； ∵ ，∴； ∴ ∴BD平分. （3）由（1）知：，而 ，∴。 ∵DE平分，BF平分，∴，， ∴； 延长DE 交BF 于点G，在和中：，， ∴，即 . 26．（10分）直线MN∥GH，现有2个三角板△ABC和△DCE，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠BAC＝45°，∠E＝30°，边EC交直线GH于点Q． （1）将这两块三角板摆成如图1的形式，点D与B重合，求∠ACE的度数； （2）如图2所示，将图1中的△ABC固定，把△DCE从图1中的位置绕着点C顺时针方向旋转α°，其中0＜α＜90． ①运动中，当△AQC为轴对称图形时，求α的度数； ②在旋转的过程中，设∠ACQ＝n°，∠EQA＝（5m﹣n+25）°，则m的取值范围为　 　 ． 解：（1）在△ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，所以∠ACB=45°； 在△DCE 中，∠EDC=90°，∠E=30°，所以∠ECD=60°； 由图 1，点 D 与 B 重合，∠ACE = ∠ECD - ∠ACB = 60°－45°= 15° （2）① 当△AQC 为轴对称图形时，求 α 的度数 △AQC 为轴对称图形，即△AQC 为等腰三角形，分三种情况： 情况 1：AQ=AC此时∠AQC=∠ACQ， ∵ MN∥GH，∴ ∠QAC=∠ACB=45°，∴ ∠ 旋转角 α = ∠ACQ - ∠ 情况 2：AQ=QC此时∠QAC=∠QCA=45°， ∴ ∠ACQ=45°，旋转角 情况 3：AC=QC此时∠AQC=∠QAC=45°， ∴ ∠ACQ=90°，旋转角 综上，α 的度数为 30°、52.5°、75°. ② 求 m 的取值范围 设∠，则∠； 整理得： ∵，∠，∴ 15 < n < 105； 代入：10 < m <46 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级（下）数学期末综合复习试卷 一、选择题：（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ▲ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ▲ ） 　 A．a2•a3=a6 　 B．a6÷a3=a2　　 C．（a2）3=a6 　　D．（2a）3=6a3 3．用不等式表示图中的解集，下列正确的是（　 ▲ ） A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1 4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　▲　） A．a+1＞b+1 B．a﹣b＞0 C．﹣3a＞﹣3b D．ab＞0 5．下列各式能用平方差公式计算的是（ ▲ ） A． (2a+b)(2b－a) B．(a+b)( a－2b) C．(2 x－1)(－2 x+1) D． (－x+1)(－x－1) 6．若要说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，则可以举反例为（　▲　） A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝2，b＝2 D．a＝2，b＝﹣1 7．如图，把一块含30°角的直角三角板OAB沿边OB翻折得到△OCB，然后再沿边OC翻折得到△OCD，则△OCD可以由△OAB绕点O旋转n°得到，那么n的值为（　▲　） A．30 B．60 C．90 D．120 8．在《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：“五头牛和两只羊，价值十两金；两头牛和五只羊，价值八两金．一头牛、一只羊分别价值几两金？”若设一头牛价值x两金，一只羊价值y两金，则根据题意可列方程组为（　▲　） A． B． C． D． 9．如图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（ ▲ ） A．108° B．114° C．116° D．120° 10．（原创）若a、b满足a2+b2＝ab+4，则代数式6﹣ab的最小值为（　▲ 　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 （图1） （图2） （图3） 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11．遗传物质脱氧核糖核酸(DNA)的分子直径为0.000 0002cm，用科学记数法表示为 ▲ cm． 12．已知am＝6，an＝3，则am－n＝ ▲ ． 13．用不等式表示“x的3倍与2的差为正数”： ▲ ． 14．十边形的外角和是 ▲ °． 15．用反证法证明命题：“在△ABC中，若BC＞AC，则∠A＞∠B”，应先假设　 ▲ ． 16．如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为10cm，则CD的长为 ▲ cm． 17．在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，则∠1＋∠2＝ ▲ °． 18．（原创）若关于x的不等式组的整数解共有2026个，则m的取值范围是 ▲ ． A 2 C B 1 三、解答题：（本大题共8小题，共66分，要有必要的解题步骤） 19．（改编）（每小题4分，共8分）计算或化简： （1）(－)－2 ＋ 20260 － |－5|； （2）(－3a2)2－a2·2a2＋(a3)2÷a2． 20．（改编）（每小题4分，共8分）解二元一次方程组： （1）； （2）． 21．（每小题4分，共8分）解不等式（组）： （1）； （2）． 22．（原创）（6分）先化简，再求值：x(2x－y)－(x+y) (x－y) + (x－y) 2，其中x2+y2=5，xy=－2 ． 23．（改编）（8分）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． （1）判断在方程①x+2＝0，②，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，是不等式组的“跟随方程”有　 　 （填序号），并说明理由； （2）若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中a的值. 24．（10分）随着夏日的到来，“茶千道”奶茶店推出了“醒橄榄”、“香芒果”两款新饮品．已知购买3杯“醒橄榄”和5杯“香芒果”需花费130元，购买5杯“醒橄榄”和7杯“香芒果”需花费194元． (1)求“醒橄榄”和“香芒果”的单价各是多少元． (2)“六一”儿童节，李老师打算购买两种奶茶共60杯来奖励表现优秀的学生．通过外卖平台对比，发现该店在美团和京东上分别对两款产品在进行促销活动．美团上购买“醒橄榄”买两杯第二杯半价（不单杯销售），同时每杯需支付1元打包费；京东外卖购买“香芒果”每杯立减4元，没有打包费．为了享受最大的优惠，李老师打算只在美团上购买“醒橄榄”，只在京东上购买“香芒果”．在实际购买时，为了扩大奖励范围，李老师在原来基础上，又新增加购买了一些“醒橄榄”和“香芒果”，新增加购买“香芒果”数量是新增加购买“醒橄榄”的3倍．在最后结算时，李老师发现购买“醒橄榄”的总数是“香芒果”的总数的2倍，两个外卖平台总计支付不超过1180元，请问李老师在京东外卖新增购买“香芒果”最多能订多少杯？ 25．（原创）（8分）初一（3）班数学学习小组“孙康映雪”在学习了平面图形的认识后对几何学习产生了浓厚的兴趣．请你认真研读下列三个片断，并完成相关问题． 如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B． （图2） （备用图） （图1） 【片断一】 （1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值． 填空：∠OBC+∠ODC= ． 【片断二】 （2） 小康说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你证明这个命题． 【片断三】 （3）小雪说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你在备用中补全图形（尺规作图：保留作图痕迹，不写做法），并探究DE与BF具有特殊的位置关系． 26．（10分）直线MN∥GH，现有2个三角板△ABC和△DCE，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠BAC＝45°，∠E＝30°，边EC交直线GH于点Q． （1）将这两块三角板摆成如图1的形式，点D与B重合，求∠ACE的度数； （2）如图2所示，将图1中的△ABC固定，把△DCE从图1中的位置绕着点C顺时针方向旋转α°，其中0＜α＜90． ①运动中，当△AQC为轴对称图形时，求α的度数； ②在旋转的过程中，设∠ACQ＝n°，∠EQA＝（5m﹣n+25）°，则m的取值范围为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $表格_20260531 2025-2026学年七年级（下）数学期末综合复习试卷双向细目表 题型 题号 分值 知识点 难度系数 能力层级 难度 选择题 1 3 平移的性质 0.9 理解 易 2 3 幂的运算 0.9 掌握 易 3 3 不等式的解集 0.9 理解 易 4 3 不等式的性质 0.8 掌握 易 5 3 平方差公式 0.7 应用 中 6 3 命题与反例 0.8 理解 易 7 3 图形的翻折与旋转 0.7 应用 中 8 3 二元一次方程组建模 0.7 应用 中 9 3 折叠与平行线 0.6 综合 难 10 3 完全平方公式与最值 0.5 综合 难 填空题 11 3 科学记数法 0.9 掌握 易 12 3 同底数幂除法 0.9 掌握 易 13 3 列不等式 0.9 理解 易 14 3 多边形外角和 0.9 理解 易 15 3 反证法 0.8 理解 中 16 3 轴对称性质 0.7 应用 中 17 3 四边形内角和 0.7 应用 中 18 3 不等式组整数解 0.6 综合 难 解答题 19 8 实数运算、整式运算 0.8 掌握 易 20 8 二元一次方程组解法 0.8 掌握 易 21 8 不等式（组）解法 0.8 掌握 中 22 6 整式化简求值 0.7 应用 中 23 8 新定义、方程与不等式 0.7 综合 中 24 10 方程组、不等式应用题 0.5 综合 难 25 8 四边形、角平分线、几何证明 0.7 综合 中 26 10 平行线、三角板旋转、轴对称 0.5 综合 难 合计 — 120 — — — $