精品解析：安徽省六安市轻工中学2025—2026学年度第二学期九年级第二次适应性训练数学学科试卷（试题卷）

安徽省六安市轻工中学2025—2026学年度第二学期九年级第二次适应性训练数学学科试卷（试题卷） 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 安徽省2025年高考报名人数为万，其中万用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：万． 3. 如图是由长方体裁切的一种几何体，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形，根据几何体的特征，确定其外轮廓及内部可见棱的位置即可． 【详解】解： ∵主视图是从物体正面看所得到的图形 ∴该几何体的主视图外轮廓为矩形 又∵几何体前面有一条可见的棱，连接左前上顶点和右前下顶点 ∴主视图中应有一条从左上角到右下角的实线 ∴它的主视图为 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A，，∴A错误． 对于选项B，，∴B错误． 对于选项C，，∴C正确． 对于选项D，，∴D错误． 5. 下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．中，，∴y随x的增大而增大，不符合题意； B．中，，∴y随x的增大而减小，符合题意； C．是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，时y随x的增大而增大，时y随x的增大而减小，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意； D．是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意． 6. 如果一组三个字中任意两个相邻文字的笔画数之差的绝对值不超过4，则称该词组为“完美词”．用“中国梦”这三个字随机组成一个无重复文字的词组，恰好是“完美词”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定“中”“国”“梦”三个字的笔画数，列举出所有无重复排列，再根据“完美词”的定义筛选符合条件的排列，最后代入概率公式计算即可． 【详解】解：首先确定三个字的笔画数：中为4画，国为8画，梦为11画． 用这三个字组成无重复文字的词组，所有等可能的结果为：中国梦，中梦国，国中梦，国梦中，梦中国，梦国中，共6种． 根据定义逐个判断： ∵中国梦：，符合； 中梦国：，不符合； 国中梦：，不符合； 国梦中：，不符合； 梦中国：，不符合； 梦国中：，符合； ∴符合条件的结果共2种， ∴恰好是“完美词”的概率． 7. 2023年安徽省货物进出口总额为亿元，2025年该省货物进出口总额达到亿元．若设2023年至2025年安徽省货物进出口总额的年平均增长率为x，依题意，可列出方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均增长率的增长规律，结合经过两年增长，利用初始总额和最终总额即可列出方程． 【详解】解：∵设年平均增长率为x，2023年进出口总额为亿元， ∴2024年进出口总额为亿元， ∴2025年进出口总额为亿元， 又∵2025年进出口总额为亿元， ∴可列方程为． 8. 已知实数满足，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知等式得到与的关系，代入不等式求出的范围，再变形所求代数式得到其取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， 将代入得 ， 整理得，解得， 因此，故选项A，B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 因此选项C错误，选项D正确． 9. 如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出． 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则， 故选D． 10. 如图，在中，为上一点，且为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值是10 B. 的最小值是5 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】以为边在上方作等边三角形，直线交于，交于，交直线于，延长交于，过作于，由等边三角形证明，得到，则，，即可求出，，得到点和是固定不变的，则点的运动轨迹为直线，据此逐个选项判断最值即可． 【详解】解：以为边在上方作等边三角形，直线交于，交于，交直线于，延长交于，过作于， ∵在中， ∴， ∵和都是等边三角形，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴点和是固定不变的， ∴点的运动轨迹为直线的一部分， A选项：， ∴当在上时，最小， ∴A选项说法正确，不符合题意； B选项：根据垂线段最短可得时取得最小值， 中，，， ∴，的最小值是5， ∴B选项说法正确，不符合题意； C选项：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是， ∴C选项说法正确，不符合题意； D选项：∵为边上的一个动点，点的运动轨迹为直线的一部分， ∴当在处时，最大， 此时， 即的最大值是， ∴D选项说法错误，符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分） 11. 方程的解是=______． 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：去分母得x=2（x-2）解得x=4.检验为原方程的根． 考点：分式方程 点评：本题难度较低，主要考查学生对分式方程知识点的掌握．注意检验增根． 12. 如图，点B在劣弧上，，则的度数为_______________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】在优弧上构造圆周角，利用圆周角定理求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求解． 【详解】解：在优弧上取一点，连接 ， ， 四边形内接于， ， ． 13. 如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交y轴于点D，过B作轴，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案； 【详解】解：延长交y轴于点D，过B作轴， ∵点A是双曲线，轴， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴， ∵点B在上， ∴， 解得：， 故答案为； 【点睛】本题考查反比函数k的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的三角形得到面积． 14. 设二次函数的图象的顶点坐标分别为，若，且开口方向相同，则称是的“和等顶二次函数”． （1）已知二次函数与，那么____________的“和等顶二次函数”（填“是”与“不是”）； （2）已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“和等顶二次函数”，则n的值为____________． 【答案】 ①. 是 ②. 2 【解析】 【分析】（1）先配方得到两个二次函数的顶点坐标，再根据“和等顶二次函数”的定义验证条件，即可得出结论； （2）先分别配方求出两个二次函数的顶点坐标，再根据定义列出关于的一元二次方程，结合求解即可得到结果． 【详解】解：（1）∵ ， ∴函数的图象的顶点坐标为， ∴， ∵ ， ∴函数的图象的顶点坐标为， ∴， ∴， ， ∴， 又和的二次项系数都为正数，开口方向相同， ∴是的“和等顶二次函数”． （2）解：∵ ， ∴函数的图象的顶点坐标为，即， ． ∵ ， ∴函数的图象的顶点坐标为，即， ． 由“和等顶二次函数”定义得，且两个二次项系数均为正，开口方向相同， ∴， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得，． 因为， 所以． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解和分式除法法则化简原式，再代入的值计算即可得到结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 在平面直角坐标系中，的顶点位置如图所示. （1）作出关于x轴对称的图形，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____； （2）将绕原点逆时针旋转得到，画出. 【答案】（1）图见解析，（a，-b） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）画出三角形ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并根据关于x轴对称的点的特征得出点P1的坐标； （2）首先确定点A、B、C关于原点逆时针旋转90°得到的对应点，顺次连接对应点得出图形． 【小问1详解】 解：如图，△A1B1C1为所求，点P的对应点P1的坐标是（a，-b）； 故答案为（a，-b）； 【小问2详解】 A、B、C三点旋转后的对应点分别为：，顺次连接， 如图，△A2B2C2为所求 【点睛】本题考查轴对称图形和图形旋转的画法，解决问题的关键是确定顶点的对应点． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【答案】人数为7人，物价为53钱 【解析】 【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 根据题意得， 解得， 答：人数为7人，物价为53钱． 18. 综合与实践：小星学习了解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）． 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，求B，D之间的距离．（结果精确到） （参考数据：，，） 【答案】B，D之间的距离． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质得到，由题意可得：，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：B，D之间的距离． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入， 则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象得：不等式的解集为或． 20. 如图，AB是O的直径，点C为O上一点，点D为弧的中点，连接AD、CD、BD，过点C作AD的垂线交AB于点E． （1）求证：AE=AC； （2）若 AB=10，BD=6，求AE的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）设AD与CE的交点为F，如图，点D为弧的中点，可得，再根据等腰三角形的性质，即可求解； （2）由题意可得，，，由勾股定理可得，，易得，则，设，求得、，在中，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：设AD与CE的交点为F，如图： ∵点D为弧的中点 ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）可得：， ∵为直径 ∴， ∴ ∴ ∴ 设，由勾股定理可得， 则，解得，， 则， 在中，，即 解得（舍去）或． 即． 【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了圆周角定理，弦、弧、圆心角的关系，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解． 六、（本题满分12分） 21. 某商场为提升服务水平，从6月份的顾客中随机抽取60人对商场服务满意度评分（满分100分），评分结果用x表示，将全部结果按以下五组整理，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 4 16 b 12 8 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求b的值； （2）计算评分不低于75分的人数占抽取人数的比值； （3）这60名顾客对该商场服务满意度评分的中位数落在哪一组； （4）若顾客评分的平均数不低于76，则认定该商场的服务满意度良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该商场6月份的服务满意度是否良好，并说明理由． 【答案】（1）20 （2） （3）C （4）该商场6月份的服务满意度不良好，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据抽查的总人数和其余组的人数计算出C组的人数，即为b的值； （2）用评分不低于75分的人数除以抽取人数，即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）利用加权平均数的公式可以求出这60名顾客对该商场评分的平均数，即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：评分不低于75分的人数占抽取人数的比值为； 【小问3详解】 解：∵一共抽查了60人， ∴把这60人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第30和31个评分结果的平均数是这组数据的中位数， 又， 第30和31个评分结果在C组， ∴这60名顾客对该商场服务满意度评分的中位数落在C组， 【小问4详解】 解：该商场6月份的服务满意度不良好，理由如下： 60名顾客评分的平均数为 ， 所以该商场6月份的服务满意度不良好． 七、（本题满分12分） 22. 按要求完成下列各题： （1）如图1，点E是正方形的边上一点，连接，过点D作于点G，交边于点F， ①求证：； ②如图2，连接EF，以为邻边构造平行四边形，连接．求的值； （2）如图3，矩形中，，点F是边的中点，连接，过点A作于点G，交边于点E，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①结合正方形的性质证明，即可解答；②作交的延长线于M，结合平行四边形的性质可得，由（1）得，再证明，可得到是等腰直角三角形，即可解答； （2）证明，可得，，作交的延长线于N，再证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ， ∴， ， ∴， ； ②如图2，作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 由（1）得， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图3，作交的延长线于N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，其中点，且该抛物线对称轴为． （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点是抛物线上的两点，且点M在点N的左边． ①若线段与线段交于点，且，求的值； ②若，试求：的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①先求出直线的解析式，再根据M，N两点纵坐标相同，结合抛物线对称轴求出M，N两点的横坐标关系，最后根据求出n的值．②先根据M，N两点纵坐标相同，结合抛物线解析式得到，，再代入化简即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象与x轴交于点，且该抛物线对称轴为， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点，线段与线段交于点， ∴点P的纵坐标为n， ∴点，且， ∵， ∴，即， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）； ②∵点是拋物线上的两点，该抛物线对称轴为， ∴，， ∴，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省六安市轻工中学2025—2026学年度第二学期九年级第二次适应性训练数学学科试卷（试题卷） 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 安徽省2025年高考报名人数为万，其中万用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图是由长方体裁切的一种几何体，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果一组三个字中任意两个相邻文字的笔画数之差的绝对值不超过4，则称该词组为“完美词”．用“中国梦”这三个字随机组成一个无重复文字的词组，恰好是“完美词”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 2023年安徽省货物进出口总额为亿元，2025年该省货物进出口总额达到亿元．若设2023年至2025年安徽省货物进出口总额的年平均增长率为x，依题意，可列出方程为（） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（ ）． A. 1 B. C. D. 10. 如图，在中， 为上一点，且为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值是10 B. 的最小值是5 C. 的最小值是 D. 的最大值是 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分） 11. 方程的解是=______． 12. 如图，点B在劣弧上，，则的度数为_______________． 13. 如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是______． 14. 设二次函数的图象的顶点坐标分别为，若，且开口方向相同，则称是的“和等顶二次函数”． （1）已知二次函数与，那么____________的“和等顶二次函数”（填“是”与“不是”）； （2）已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“和等顶二次函数”，则n的值为____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中 16. 在平面直角坐标系中，的顶点位置如图所示. （1）作出关于x轴对称的图形，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____； （2）将绕原点逆时针旋转得到，画出. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 18. 综合与实践：小星学习了解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）． 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，求B，D之间的距离．（结果精确到） （参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 20. 如图，AB是O的直径，点C为O上一点，点D为弧的中点，连接AD、CD、BD，过点C作AD的垂线交AB于点E． （1）求证：AE=AC； （2）若 AB=10，BD=6，求AE的长． 六、（本题满分12分） 21. 某商场为提升服务水平，从6月份的顾客中随机抽取60人对商场服务满意度评分（满分100分），评分结果用x表示，将全部结果按以下五组整理，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 4 16 b 12 8 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求b的值； （2）计算评分不低于75分的人数占抽取人数的比值； （3）这60名顾客对该商场服务满意度评分的中位数落在哪一组； （4）若顾客评分的平均数不低于76，则认定该商场的服务满意度良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该商场6月份的服务满意度是否良好，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 按要求完成下列各题： （1）如图1，点E是正方形的边上一点，连接，过点D作于点G，交边于点F， ①求证：； ②如图2，连接EF，以为邻边构造平行四边形，连接．求的值； （2）如图3，矩形中，，点F是边的中点，连接，过点A作于点G，交边于点E，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，其中点，且该抛物线对称轴为． （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点是抛物线上的两点，且点M在点N的左边． ①若线段与线段交于点，且，求的值； ②若，试求：的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $