安徽省六安市裕安区青山路中学2024-2025学年九年级下学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年安徽省六安市裕安区青山路中学九年级（下）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，最大的数是(    ) A. B. C. D. 2.如图几何体是由个大小相同的小正方体组成下列与该几何体的主视图和左视图分别相同的几何体是(    ) A. B. C. D. 3.若，则“”中的式子是(    ) A. B. C. D. 4.若反比例函数的图象经过点，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.若，是一元二次方程的两个根，则的值是(    ) A. B. C. D. 6.某同学在登陆账号时，需要验证，验证的第一步是：请在下列幅图中选择一幅含有“中国风的龙”的图片由于打开的网页模糊不清，他随机选择了幅图，恰好通过的概率为(    ) A. B. C. D. 7.如图，一次函数是常数且与一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.如图，▱的对角线交于点，添加下列条件不能判断四边形是菱形的是(    ) A. B. C. ≌ D. ≌ 9.抛物线是常数且经过点和点当时，下列结论可能成立的是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10.如图，在矩形中，，，点是右侧一点且，点是上一点，点是的中点，若，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.计算：______． 12.年，安徽光伏制造业实现营业收入超亿元，首次跃居全国第位其中数据亿用科学记数法表示为______ 13.数书九章中的“遥度圆城”问题如下：在一座圆形城堡中，有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程到达点后相切圆形城堡于点，刚好看到北门的正北方向的一棵大树，即相切圆形城堡于点若，，已知经过圆形城堡的圆心，则圆形城堡的直径为______． 14.已知，是等边三角形，点，分别是，上的点，将沿着折叠得到，点落在边上图图 如图，当时，______； 如图，当：：，时，的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 解不等式：． 16.本小题分 某文具店购进色与色两种型号的马克笔共盒，这两种马克笔的进价与售价如下表： 型号 进价元盒 售价元盒 色 色 如果进货款为元，那么色和色的马克笔分别进货多少盒？ 销售完这批马克笔共获利多少元？ 17.本小题分 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． 画出将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的； 利用网格点，用无刻度的直尺画出的角平分线不要求写出作法，保留作图痕迹 18.本小题分 【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： 上述是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“”或“”． 第个图案中“”有个；“”有个； 第个图案中“”有个；“”有个； 第个图案中“”有个；“”有个； 第个图案中“”有个；“”有个； 第个图案中“”有______个，“”有______个； 【规律应用】 在第个图案中，求“”的数量比“”的数量多多少个？ 19.本小题分 已知四边形是的内接四边形，是的直径，连接，． 如图，，求的半径； 如图，过点作于点，延长交于点，连接，已知，求证：四边形是平行四边形． 20.本小题分 “会当凌绝顶，一览众山小”每到清明时节，太湖山国家森林公园都会迎来更多的游客，登望江亭，赏月亮湖某数学兴趣小组要测量望江亭的高度，如图，已知太湖山高度为，太湖山到右侧小山坡的距离为，小山坡的坡长为，坡度：，从点测得望江亭顶点的仰角为，求望江亭的高度注：垂直于水平线，点，，共线，图中所有点都位于同一平面参考数据：，， 21.本小题分 近年来，校园安全意识越来越受重视某学校对全校师生进行校园安全知识教育，并对全校学生进行校园安全知识问卷测试，得分采用百分制现从小学部和初中部各随机抽取名学生的成绩进行整理与分析得分用表示，单位：分，且得分为整数，共分为组，组：，组：，组：，组：，组：，下面给出了部分信息： 小学部被抽取的学生测试得分的所有数据为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 初中部被抽取的学生测试得分绘制成了扇形统计图如图所示，其中组包含的所有数据为： ，，，，． 小学部和初中部被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 小学部 初中部 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中： ______， ______； 根据以上数据，你认为该校小学部和初中部学生对校园安全知识哪个掌握得更好？ 若该校小学部有学生人，初中部有学生人，估计该校小学部和初中部学生测试得分在组的人数一共有多少人？ 22.本小题分 如图，在中，，，点是的中点，是内的一条射线，点，都是上的点，已知且，连接，． 求证：； 设与交于点，求证：； 如图，当射线在外部时，其他条件不变，探索，和之间的数量关系，并加以证明． 23.本小题分 如图，抛物线是常数且与轴交于点和点点在点的右侧，点是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交轴于点． 求，的值； 点是抛物线上一点且位于点和点之间． 如图，连接，，，求四边形面积的最大值； 如图，连接并延长交延长线于点，连接交于点，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 最大的数是：． 故选：． 利用有理数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 2.【答案】  【解析】解：选项的主视图和左视图分别与题干视图相同，故选项正确，符合题意； B.选项的主视图与题干视图相同，但左视图不同，故选项错误，不符合题意； C.选项的主视图与题干视图相同，但左视图不同，故选项错误，不符合题意； D.选项的左视图与题干视图相同，但主视图不同，故选项错误，不符合题意； 故选：． 准确判断所给几何体的三视图，逐个选项进行判断即可． 此题考查了三视图，准确判断所给几何体的三视图是关键． 3.【答案】  【解析】解： “”中的式子是， 故选：． 运用单项式除以单项式运算法则进行计算即可． 本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握单项式除以单项式的法则． 4.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象经过点， 解得． 故选：． 直接把点代入反比例函数，求出的值即可． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5.【答案】  【解析】解：，是一元二次方程的两个根， ， ． 故选：． 根据根与系数的关系，可得出，，再代入即可． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键要明确将根与系数的关系与代数式变形相结合，是一种经常使用的解题方法． 6.【答案】  【解析】解：由题意可知，幅图中共有幅图中含有“中国风的龙”，故恰好通过的概率为， 故选：． 根据题意得到幅图中共有幅图中含有“中国风的龙”，利用概率公式进行解答即可． 此题考查了概率公式，解答本题的关键是熟练掌概率的求法：随机事件的概率． 7.【答案】  【解析】解：令，即， ， 两条直线的交点的横坐标为，故选项C、不合题意； 若，则经过一、二、三象限，经过一、二、三象限； 若，则经过一、三、四象限，经过一、二，四象限； 故选项A符合题意，选项B不合题意． 故选：． 先求得两直线的交点的横坐标，然后根据的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，据此判断即可． 本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图象有四种情况： 当，，函数的图象经过第一、二、三象限； 当，，函数的图象经过第一、三、四象限； 当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； 当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 8.【答案】  【解析】解：、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，故A不符合题意； B、当添加时，同理可证明四边形是菱形，故B不符合题意； C、≌， ， 四边形是菱形，故C不符合题意； D、添加≌不能证明四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：． 对于、可以通过平行四边形的性质结合等边对等角证明一组邻边相等；对于可根据全等三角形的性质证明一组邻边相等；对于，无法证明四边形是菱形． 本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质，等角对等边，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形等相关的判定定理． 9.【答案】  【解析】解：抛物线经过点和点， ，． ， ， 整理，得：，故B和D错误； ， 当时，，即，故A错误； 当时，可能成立，即可能成立，故C正确． 故选：． 将点和点代入，再根据，即得出，进而即可解答． 本题考查抛物线上点的坐标特点，掌握抛物线上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 10.【答案】  【解析】解：，点是的中点， ， ， ， 点在以为直径的上，如图， 当、、在同一直线上时，有最大值，即的最大值为， 在矩形中，，， ，， ，， 的最大值为， 故选：． 先判断点在以为直径的上，得到当、、在同一直线上时，有最大值，即的最大值为，据此求解即可． 本题考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 求出绝对值和立方根，再进行加减法计算． 此题考查了立方根和绝对值的计算，掌握立方根是关键． 12.【答案】  【解析】解：亿． 故答案为：． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值． 13.【答案】  【解析】解：相切圆形城堡于点，相切圆形城堡于点． ，， ， ， 连接，则， ， ， ∽， ， ， 圆形城堡的直径为． 故答案为：． 求出，，连接，则，证明∽，则，即可求出答案． 此题考查了切线长定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线长定理是关键． 14.【答案】；  ．  【解析】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 折叠， ； 故答案为：； 是等边三角形， ，， ：：， ，， 折叠， ，，， ， ， ， ∽， ， 设，得到，， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 根据等边三角形的性质，三角形的内角和以及折痕为角平分线，进行求解即可； 设，得到，证明∽，求出，，根据，列出方程进行求解即可． 本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15.【答案】．  【解析】解：， ， ， ． 先去分母，再移项，未知数系数化为，即可求解． 本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是关键． 16.【答案】色的马克笔进了盒，色的马克笔进了盒；   元．  【解析】设色的马克笔进了盒，色的马克笔进了盒，根据题意得， ， 解得，， 答：色的马克笔进了盒，色的马克笔进了盒； 销售完这批马克笔共获利： 元． 答：销售完这批马克笔共获利元． 设色的马克笔进了盒，色的马克笔进了盒，根据购进色与色两种型号的马克笔共盒，进货款为元，列出方程组求解即可； 根据每盒的利润乘销售量可得结论 本题主要考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 17.【答案】见解析；   见解析．  【解析】如图所示，即为所求； 如图所示，即为所求； 由网格可得，四边形是矩形， 点是的中点， ， 是等腰三角形， ， 是的角平分线． 利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标； 如图所示，连接，交于点，连接并延长即为所求．；根据题意得到点是的中点，证明出是等腰三角形，然后利用三线合一即可证明． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一性质，作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 18.【答案】，；个．  【解析】第个图案中“”有个；“”有个； 第个图案中“”有个；“”有个； 第个图案中“”有个；“”有个； 第个图案中“”有个；“”有个； ， 第个图案中“”有个，“”有个； 故答案为：，． 第个图案中，“”的数量为：个， “”的数量为：个， 个， 答：在第个图案中，“”的数量比“”的数量多个． 根据题中的规律进行解答即可； 利用中的规律分别求出“”的数量和“”的数量，作差即可得到答案． 此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键． 19.【答案】；   见解析．  【解析】解：是的直径， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即的半径为； 证明：过点作于点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，即可得到的半径； 证明是的中位线，则，由得到，又由，即可得到结论． 此题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握三角形中位线定理和垂径定理是解题的关键． 20.【答案】．  【解析】解：如图，过点作，于点，，则，， 根据题意得：，，，， 在中，：：， 可设，， ，， ， 解得：， ，， ， 在中，， ， ， 即望江亭的高度为． 过点作，于点，，则，，在中，可得到，，，在中，可求出的长，即可． 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是作出辅助线，构建直角三角形． 21.【答案】，；   该校小学部学生对校园安全知识掌握得更好；   人．  【解析】解：根据小学部被抽取的学生测试得分的所有数据可知，出现次数最多的数据是，即众数为，即； ， 即， 故答案为：， 该校小学部学生对校园安全知识掌握得更好，理由如下： 该校小学部和初中部学生的成绩平均数相等，小学部被抽取学生成绩的中位数高于初中部被抽查学生的成绩的中位数． 人， 答：估计该校小学部和初中部学生测试得分在组的人数一共有人． 根据众数的定义即可得到的值，用减去其它组的百分比，即可得到所求答案； 从平均数和中位数角度分析即可得到结论； 用各部的总人数分别乘以组的占比，再求和即可得到答案． 此题考查了扇形统计图和统计表，从题目中正确提取信息是解题的关键． 22.【答案】见解析；   见解析；  ，理由见解析．  【解析】证明：在中，，， 是等腰直角三角形， ， 点是的中点， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ≌， ； 证明：如图所示，过点作交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 解：同可证明出≌， ，， ， ， ，， ≌， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 首先得到是等腰直角三角形，然后证明出，然后由点是的中点得到和是等腰直角三角形，然后证明出≌，即可得到； 过点作交于点，首先得到是等腰直角三角形，得到，然后由得到，然后得到； 首先同理得到≌，得出，，然后证明出≌，得到，然后由是等腰直角三角形得到，进而等量代换求解即可． 此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点． 23.【答案】；   ； ．  【解析】抛物线是常数且与轴交于点和点点在点的右侧，点是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交轴于点． 把点代入得到， ， 联立得，， 解得； 连接，，，由可得，， 当时，， 当时，，解得，， 点的坐标是， ， 过点作轴，交线段于点，如图， ， 点的    的坐标是， ， ， 设直线的解析式为，把、坐标代入得： 则， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 四边形面积， 点是抛物线上一点且位于点和点之间． ， 当时，有最大值，最大值为； 连接并延长交延长线于点，连接交于点，设点的坐标为， 设设直线的解析式为，把、坐标代入得： 则， 解得， 直线的解析式为， ， ， 设的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标是， ， ． 根据题意得到，解方程组即可得到答案； 求出点的坐标是，则，过点作轴，交线段于点，求出点的    的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案； 设点的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点的坐标是，求出，即可求出定值． 此题考查了二次函数综合题，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$