1.2等腰三角形小节复习题2025-2026学年八年级数学下册试题北师大版

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与判定，通过8类题型系统训练，融合方程思想、分类讨论等方法，构建从基础计算到综合证明的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求角度|4题|等边对等角+方程思想|性质应用→内角和定理→外角性质递进| |求边长/周长|4题|分类讨论+三边关系验证|定义理解→腰底分类→多解分析深化| |证等腰|4题|等角对等边+角平分线/平行线模型|判定定理→辅助线构造→全等转化应用| |三线合一|4题|中线/高/角平分线性质综合|性质拓展→图形对称→计算与证明结合| |多解题|4题|动态分类+折叠/动点情境|静态性质→动态变化→分类讨论思想培养| |综合应用|4题|性质判定综合+辅助线添加|单一知识点→多知识点融合→复杂问题解决|

1.2《等腰三角形》小节复习题 【题型1根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 1.如图，CP=0C=0A,若LA0B=72°，则∠P的度数是 A D 一B 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在△ABC外，连接BD交AC于点E,∠D=2LCBD,若 ∠BAC=32°，∠CAD=40°，则∠AEB的度数为 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E在BC的延长线上，点G是AC上一点，且CG=CD, 点F是GD上一点，且DF=DE.若LA=100°，则∠E= 4.如图，已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在边AC上，且AE=AD,则 LEDC的大小为度. B 【题型2根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】 5.在等腰三角形ABC的周长为9，AB=4,则BC的长为 6.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则此三角形的周长为 cm. 7.若a-6+(b-5)=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为 8.等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成15,18两部分，则等腰三角形的腰长 为 【题型3根据等角对等边求边的长度】 9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交 AC于N,若BM=4,CN=3,则线段MN的长为 10.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F,过F 作DF∥BC,交AB于D,交AC于E,若BD=9cm,DE=4cm,求CE的长为 cm. D G 11.如图，在RIAABC中，LA=90°，LB=30°，CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作 MN∥BC交AC于点N,若CN=2,则BC的长为 12.如图，在Rt△ABC中，AB=5,BC=13,∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行 线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为· 【题型4根据等腰三角形三线合一进行求解与证明】 13.已知在△ABC中，AD是BC边上的高，垂足为点D,点E在射线BC上，连接AE,若 AB=AE=CE,AB=10,BD=8,则CD=一： 14.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,0B=0C=4. E B 0 (1)求△ABC的面积； (2)点E,D分别为AB,AC上的点，且满足OE⊥OD.判断OE和OD的大小关系，并证明你的 结论， 15.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D为斜边BC的中点，E,F分别为AB,AC边上 的点，且DE⊥DF.若BE=5,CF=I2.求EF的长 B D 16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点，点E在BA的延长线上，点F在 AC的延长线上，EDDF. E B D (1)求证：AE=CF; (2)连接EF,若AB=4,CF=2,求EF2的值. 【题型5与等腰三角形的定义有关的多解题】 17.如图，△ABC中，AB=AC,LA=30°，D是射线AB上的动点，连接CD,令 LACD=a(0°<a<75),将△ACD沿CD所在射线CP翻折至△A'CD处，射线CA与射线AB相交于 点E.若△A'DE是等腰三角形，则La的度数为 E B 18.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,点D在线段BC上运动（点D和B、C均不重 合)，DE交AC于点E,∠ADE=45°，当△ADE是等腰三角形时，AE的长度为· B 19.如图，在Rt△ABC中，LA=30°，∠C=90°.若D为射线AB上的动点，连接CD,将△ACD沿 CD翻折后得到△ECD,连接AE.若△ADE为等边三角形或等腰直角三角形，则∠ACD的度数 为 20.如图，在△ABC中，∠ACB=120,AC=BC,已知∠MPN的J顶点P是线段AB上一点，PM经 过顶点C,PN与AC交于点D,LMP=30°，设PM与BC的夹角为∠1（∠1≠0°）. M D A P B (1)若AP=AC,则∠BPC的度数为 (2)当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为 【题型6根据等角对等边证明等腰三角形】 21.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD,交AC于点F,交BA的 延长线于点G G B D E C (1)求证：aAFG是等腰三角形. (2)若CE=EF,∠BAC=80°，求∠B的度数. 22.如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB和 AC于点E和F. B 图1 (1)求证：△BEO是等腰三角形， (2)若AB=5,AC=4,求△AEF的周长. 23.如图，在△ABC中，点D为AB上一点，点E为AC的中点，连接DE并延长到点F使得 EF=DE,连接CF. A (I)求证：AD=CF; (2)若CE平分∠BCF,求证：△ABC为等腰三角形. 24.如图，长方形纸片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折 痕为EF, D' ED B (1)试判断△AEF的形状，并说明理由； (2)求线段AE的长； (3)求折痕EF的长. 【题型7与等腰三角形性质和判定的多结论题】 25.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD,满足AD=AC,点E为BC上一点， 连接E,∠BME=}∠CAD,连接DE.下列结论中正确的是（) D ①AC⊥DE;②LADE=∠ACB;③若CD∥AB,则AE⊥AD;④DE=CE+2BE. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 26.已知，如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA,过 E作EF⊥AB,F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC;②LBCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC ;④AE=EC,其中正确的是() D ⊙ A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 27.如图，在△ABC中，AC=BC,LACB=90°，M是AB边上的中点，点D,E分别是AC,BC 边上的动点，DE与CM相交于点F,且LDME=90°.以下4个结论：①图中共有3对全等三角 形；②LCDM=LCFE;③AD+BE=AC;④S△MBc=2S形cDwE·其中不正确的结论有(）个 B A.3 B.2 C.1 D.0 28.如图，等腰Rt△ABC中，LBAC=90°，D、E分别在线段AB、AC上，AD=AE,BE和CD交 于点N,AF⊥BE交BC于点F,FG⊥CD交AC于点M,交BE的延长线于点G.下列说法：① LABE=LFAC;②GE=ME;③BG=AF+FG;④C△AFw=BE+CM;⑤SABN:SAAFC=CE:AC.其中 正确的是 【题型8等腰三角形的性质和判定综合应用】 29.如图，在△ABC中，BA=BC,点D在边CB上，且DB=DA=AC. 图1 图2 (1)如图1，∠B= °，LC=. (2)如图2，若M为线段BC上的点，过点M作直线MH⊥AD于点H,分别交直线AB、AC于点 N、E. ①求证：△ANE是等腰三角形. ②试猜想线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明， 30.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,D为△ABC外一点，且AD=AC,LCAD=a. D D B 图1 图2 (1)如图1，当a=70°，求∠DBC; (2)如图2，作AE⊥BC于E交BD于F,当a=60°，EF=1,AF=4,求BD; (3)若LBAC=40°，且△BCD是等腰三角形，求a的值. 31.在△ABC中，AC=BC,0°<LACB<I20°，CD是AB边的中线，E是BC边上一点， ∠EAB=)∠BCD,AE交CD于点F. D 图① 图② (1)如图①，判断△CFE的形状并证明； (2)如图②，LACB=90°， ①补全图形； ②用等式表示CA,CD,CF之间的数量关系并证明. 32.在△ABC中，LBAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D. H D B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△BCD为等腰三角形； (2)如图2，若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,在AC上截取AH=AB,连接EH,求证： EH=HC (3)如图3，若△ABC外角的平分线AE交CB延长线于点E,求证：BD+AD=BE-AB. 参考答案 【题型1根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 1.24° 解：设∠P=x, .CP=0C, ∴.Lp=LP0C=x, ∴.∠AC0=∠P+∠P0C=2x, .0C=0A, .∠AC0=L0AC=2x, ,∠A0B=∠P+∠0AP=x+2x=3x, ∴3x=72°， ∴.x=24°，即∠P=24°， 故答案为：24°. 2.108° 解：根据题意，设∠CBD=a,则∠D=2a. :∠BAC=32,AB=AC, 2C=1s0-329=74, :∠AED=∠CEB, ·180°-LAED=180°-∠CEB, ·∠CAD+∠D=LEBC+LC, :40°+2a=a+74°， :a=34°， ZAEB=ZC+ZCBE ·∠AEB=74°+34°=108°. 故答案为：108°. 3.10° 解：DF=DE,CG=CD, ..ZE ZDFE,ZCDG=ZCGD ,∠GDC=LE+∠DFE,LACB=LCDG+LCGD, .'ZGDC =2ZE,ZACB =2ZCDG ∴.∠ACB=4LE, .·△ABC中，AB=AC,∠A=100°， ∠ACB=180°-∠4=40°， 2 .∠E=∠4CB=10. 4 故答案为：10°. 4.15 解：：△ABC是等边三角形， ∠BAC=∠C=60°， AD⊥BC, ∠DAE=∠BAC=30, 2 AE=AD :∠AED=∠ADE=(180°-∠DAE)=75°， .AED=∠EDC+∠C, ∠EDC+60°=75°， .∠EDC=15°. 故答案为：15. 【题型2根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】 5.1或2.5 解：，三角形ABC中，AB=4,周长为9， .'AC+BC=5, 情况一：当AB为腰时，则AC=AB=4, ∴.BC=5-4=1. 此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）. 情沉二：当AB为底边时，则AC=BC, 设AC=BC=x, 则2x+4=9, 解得x=2.5, 故BC=2.5. 此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理. 故BC的长为1或2.5. 故答案为：1或2.5. 6.20 解：当腰长为4cm时， 三边为4cm、4cm、8cm,4+4=8,不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为8cm时， 三边为8cm、8cm、4cm,8+8>4,8+4>8,满足三角形三边关系，周长为8+8+4=20(cm); 故答案为：20. 7.16或17 解：1a-6+(b-5)2=0, a-6=0,b-5=0, .a=6,b=5. 情况1：腰长为6，底边长为5， ,6+6>5,符合三边关系， .周长为6+6+5=17. 情况2：腰长为5，底边长为6， 5+5>6,符合三边关系， ∴.周长为5+5+6=16. 故答案为：16或17. 8.10或12 解：设等腰三角形的腰长为X,底边长为y, 一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长， 即x+=3x, 22 另一部分为底边长加半腰长， 即+克 由题意，这两部分分别为15和18，因此分两种情况： 情况一：2 =15且y+=18, 2 解得：x=10,y=13, :-18且y+15, 情况二：2 解得：x=12,y=9, 经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）. 故答案为：10或12. 【题型3根据等角对等边求边的长度】 9.7 解：，MN∥BC, ∴.∠MEB=∠EBC,∠NEC=∠ECB. ,EB平分∠ABC,EC平分∠ACB, .∴.∠MBE=∠EBC,LECN=LECB, ∴.∠MBE=∠MEB,∠ECN=∠NEC, ∴.△MBE和aNEC为等腰三角形， .∴.MB=ME,EN=NC. .BM=4,CN=3, .MN ME+EN BM +CN =3+4=7. 故答案为：7. 10.5 解：，BF平分∠ABC, .LDBF=∠CBF, .CF平分LACG, ∴.LECF=LGCF, ,DF∥BC, ∴.∠DFB=∠CBF,∠EFC=LGCF, ∴.∠DFB=∠DBF,LEFC=LECF, ∴.FD=BD=9cm,CE=EF, ..DE =4cm ..CE =EF DF-DE=9-4=5(cm. 故答案为：5. 11.6 解：，∠A=90°，∠B=30°， .∴.∠ACB=60°， ,CM平分∠ACB, :.∠ACM=∠BCM=∠ACB=30°， .MN∥BC, ∴.∠AMN=∠B=30°，∠CMN=∠BCM=30°， .∴.MN=2AN,∠CMN=∠ACM=30°， ∴.CN=MN, CN=2, ∴.CN=MN=2, AN=ZMN=1, ∴.AC=AN+CN=1+2=3. 在Rt△ABC中， ,∠A=90°，∠B=30°， ∴.BC=2AC=2x3=6. 故答案为：6 12.17 解：Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5,BC=13, :AC=VBC2-AB2=V132-52=12, .BO平分∠ABC,C0平分∠ACB, ∴.∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB, :MN∥BC, .∠MOB=∠0BC,LN0C=∠OCB, :.∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NC0, .MB=MO,NO=NC :AB=5,AC=12, :△AMN的周长=AM+MN+AN =AM+MO+ON+AN AM +MB+CN AN =AB+AC =17. 故答案为：17. 【题型4根据等腰三角形三线合一进行求解与证明】 13.18或2 【知识点】三线合一 解：如图所示，当点E在BC的延长线上时， :AB=AE,AD⊥BE, ∴.BD=DE=8, .'BC=BE-CE=BE-AE =16-10=6, ∴CD=BD-BC=8-6=2, 如图所示，当点E在线段BC上时， B D E BD=DE=8,EC=EA=AB=10. ∴.CD=CE+DE=10+8=18. 故答案为：2或18. 14.(1)∠BAC=90°，AB=AC, .AB2+AC2=BC2,2AB2 BC2 0B=0C=4 .BC=8 .2AB2=64,即AB2=32 ∴SaBc=)AB.AC=AB2=16 2 2 (2)结论：0E=0D, 连接A0, D E B 0 AB=AC,OB=OC,∠BAC=90 .A0⊥BC,∠BA0=∠CA0=45°，A0=OB=OC,∠B=∠C=45 .∠AOB=∠AOC=90 ..∠AOE+∠BOE=90 .OE⊥OD ∴.∠EOD=90 :.∠AOD+∠AOE=90 .∠AOD=∠BOE 在△AOD和△BOE中 ∠OAD=∠B :{A0=B0 ∠AOD=∠BOE .△AOD≌△BOE(ASA :.OE =OD 15.解：如图，连接AD ⊙ E D 6 A C ,AB=AC,∠BAC=90°，BD=DC, ∴.AD⊥BC,AD=BD=DC,∠BAD=∠C=45°， DE⊥DF, ∴.∠EDF=∠ADC=90°， .LADE=∠FDC, ∴.△EDA≌△FDC(ASA), .∴.AE=CF=12, AB AC, ∴.BE=AF=5, .EF=√AE2-AF2=V122+52=13. 16.(1)证明：如图，连接AD, .∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠ACB=45°， ∴.∠DCF=135°， ,点D是BC的中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADC=90°， .∠CAD=∠ACD=45°， .AD=CD,∠DAE=135°， ∴.LDAE=∠DCF, ED⊥DF, ∴.∠EDF=∠ADC=90°， ∴.LEDA=LFDC, 在△ADE和△CDF中， .ZEDA=ZFDC AD=CD,ZDAE ZDCF, .△ADE≌△CDF(SAS), .'AE=CF (2)解：由(1)得：AB=AC=4,AE=CF=2, ∴.AF=AC+CF=6, .LBAC=90°， ∴.∠EAF=90°， 在Rt△EAF中，EF2=AE2+AF2=22+62=40. 【题型5与等腰三角形的定义有关的多解题】 17.22.5°或45°或67.5° 解：由折叠的性质知∠A=∠A=30°，∠ACD=∠A'CD=a, 当A'D=DE时，如图，∠DEA'=∠A'=30°， B D 由三角形的外角性质得，∠DEA'=∠A+∠ACE, 即30°=30°+2a,此情况不存在； 当AD=AE且点A在射线AB下方时，如图， B P .∠A=30°， ∠DEA=∠EDA=180°-30)=75°， 由三角形的外角性质得，∠DEA'=∠A+∠ACE, 即75°=30°+2a, 解得a=22.5°； 当EA'=DE时，如图，∠EDA'=∠A'=30°， B E ∠DE'=180°-30°-30°=120°， 由三角形的外角性质得，∠DEA'=∠A+∠ACE, 即120°=30°+2a, 解得a=45°； 当AD=AE且点A在射线AB上方时，如图，LA'DE=LA'ED=I5°， A B p ∠4Dc=∠ADC-180-159=825, a=∠ACD=180°-30°-82.5°=67.5°； 综上，La的度数为22.5°或45°或67.5°， 故答案为：22.5°或45°或67.5°. 18.1或4-2V2 分以下三种情况讨论： ①当EA=ED时，LDAE=∠ADE=45°，如图 图1 可知LAED=90°，即DE⊥AC. :LBAC=90°，AB=AC,LB=LC=45°， :∠C=∠DAE, AD-CD,ECE-4C-1; ②当DA=DE时，如图 图2 ∠ADE=45°， :∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°. :∠BAC=90°，AB=AC, LB=LC=45°， :∠EDC+LDEC=I35°， ∠ADB=∠DEC. 又：LB=∠C,AD=DE, .△ABD≌△DCE(AAS), :AB=DC=2,BD=CE. BC=AB2+AC2=22, .EC=BD=BC-DC=22-2, .AE=AC-EC=2-(2V2-2)=4-2V2; ③当DA=AE时，点B与点D重合，不符合题意，舍去 综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为1或4-2√2. 故答案为1或4-22. 19.15°或105°或120° 当△ADE为等腰直角三角形时， ①当点D在线段AB上时：如图，则LDAE=LDEA=45°， E ∴.∠CAE=LCAB+LDAE=75°， 翻折， ∴.∠ACD=∠ECD,CA=CE, ∴.LCAE=∠CEA=75°， ∴.∠ACE=180°-75°-75°=30°， ∴∠4cD-∠4CE=1s: ②当点D在线段AB的延长线上时，如图， BD 则：LADE=90°， 翻折， 六∠ADC=∠EDC=方ADE=45, ∴.∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=105°： 当△ADE为等边三角形时，此时点D在线段AB的延长线上，如图， B D 则∠ADC=∠EDC= 2<ADE=30, ∴.∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=120°； 综上：∠ACD=15°或105°或120°； 故答案为：15°或105°或120°. 20. 1059 45°或90° 解：(1)：∠ACB=120,AC=BC, ∠A=∠B=30°， AP=AC .∠ACP=LAPC -o0-309=75, .∠BPC=180°-∠APC =180°-750 =105°， 故答案为：105°. (2)分类讨论： 当DP=CP时，如下图： C D P :∠CPD=30°，DP=CP, .∠PDC=LPCD -80-3091=75, :∠ACB=120°， .∠1=LACB-∠PCD =120°-75° =45°； 当DP=DC时，如下图： B '∠CPD=30°，DP=DC, ∠CPD=∠PCD=30°， :∠ACB=120°， :∠1=∠ACB-∠PCD =120°-30° =90°； 当DC=CP时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ∠1=0°，题干要求∠1≠0☐，故该情况不存在； 故答案为：45°或90°. 【题型6根据等角对等边证明等腰三角形】 21.(1)证明：AD平分∠BAC, LBAD=∠CAD, ,EG∥AD, ∴.∠BAD=∠G,∠CAD=LAFG, .ZG=ZAFG .AF=AG, ∴.△AFG是等腰三角形； (2)解：，CE=EF, .LCFE=ZC, ,∠AFG=∠CFE, ∴.∠C=LAFG, LAFG ZCAD, ∴.∠C=LCAD, ,LBAC=80°，AD平分∠BAC, ∠CAD=∠B4AC=40°， 2 .LC=∠CAD=40°， .∴.∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-40°=60°. 22.(1)证明：，OB是∠ABC的平分线， ∴.∠EB0=LOBC, ,EF∥BC, ∴.LE0B=L0BC, .∴.∠E0B=∠EB0, ∴.0E=BE, △BEO是等腰三角形. (2)解：由(1)得：OE=BE,同理可得OF=FC, ∴.△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EO+OF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC, AB=5,AC=4, .△AEF的周长5+4=9. 23.(1)证明：，E为AC中点， :AE=EC, 在△ADE和△CFE中， AE=EC ∠AED=∠CEF, DE=EF △ADE≌aCFE(SAS), ∴.AD=CF; (2)证明：，△ADE≌aCFE, ∠A=LACF, ,CE平分LBCF, ∠ACB=LACF, .∠ACB=∠A, :AB=CB, △ABC为等腰三角形 24.(1)解：△AEF为等腰三角形，理由如下： 由折叠的性质可知LAFE=∠CFE,AF=CF, 在长方形ABCD中，AD∥BC, ∴.∠EFC=∠AEF=∠AFE, ∴.AF=AE,即△AEF为等腰三角形； (2)解：在长方形ABCD中，∠B=90°， 由(1)可设AE=AF=CF=xcm,则有BF=(8-x)cm, 在RtAABF中，由勾股定理得：62+(8-x)=x2, 25 解得：x=4, ∴.AE=AF=CF= 2 4cm: (3)解：过点E作EH⊥AF于点H,如图所示： ED A B F 在长方形ABCD中，LBAD=∠B=90°=∠AHE,AD∥BC, ∴.∠EAH=∠AFB, .AE=FA, .△AEH≌△FAB(AAS), 六MH=FB=BC-CF=子cmAB=EH=6em 9 .∴.FH=AF-AH=三cm, .EF=EH+FH=1 -cm. 2 【题型7与等腰三角形性质和判定的多结论题】 25.B 解：如图所示，延长EB至点G,使得BE=BG,设AC,DE交于点M, D y M G B ∠ABC=90°， ∴.AB⊥GE,且BE=BG, AB垂直平分EG, .AG=AE,LGAB=∠EAB, :∠BE=5CD, ∴.LGAE=LCAD, ∴.∠GAE+∠EAC=∠EAC+LCAD,即∠GAC=∠EAD, .AG=AE,AC=AD, ∴.△GAC≌△EAD SAS）, ∴.LG=LAED,LADE=LACB,故②正确： .'AG=AE, .∴.LG=LAEG=LAED, EA平分∠BED, 当∠BAE=∠EAC时，LAME=LABE=90°，则有AC⊥DE, 当LBAE≠LEAC时，LAME≠LABE,则无法说明有AC L DE,故①错误； 设∠BAE=x,则∠CAD=2x, ∠ACD=∠ADC=1180°-∠CAD)=，x180°-2x)=90°-x, 2 若CDI‖AB, ∴.∠BAC=∠ACD=90°-x, .∴.LCAE=∠BAC-∠EAB=90°-x-x=90°-2x, ∴.LDAE=LCAE+LDAC=90°-2x+2x=90°， ∴.AE⊥AD,故③正确； ,△GAC≌△EAD, ∴CG=DE, .CG=CE+GE=CE+2BE ∴.DE=CE+2BG,故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B· 26.B 解：①，BD为△ABC的角平分线， ∴.∠ABD=LCBD, 在△ABD和△EBC中， BD=BC ∠ABD=∠EBC, BA=BE ∴.△ABD≌△EBC(SAS, 故结论①正确： ②·BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,BE=BA, ∴.∠BCD=∠BDC,∠BAE=∠BEA, ,△ABD≌△EBC, ∴.LBCE=LBDA, .∴.LBCE+∠BCD=LBDA+∠BDC=180°， 故结论②正确； ③，∠BCE=∠BDA，,LBCE=LBCD+LDCE,∠BDA=∠DAE+LBEA,LBCD=LBEA, ∴.LDCE=∠DAE, △ACE为等腰三角形， ∴.AE=EC, .△ABD≌△EBC, ∴.AD=EC, ∴.AD=AE=EC, ,BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB,而EC不垂直于BC, ∴.EF≠EC, 故结论③错误； ④由③知AD=AE=EC, 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④. 故选：B 27.D 解：：在△ABC中，AC=BC,LACB=90°，M是AB边上的中点， ∴.△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，CM⊥AB,CM平分∠ACB, ∴.∠ACM=∠BCM=。∠ACB=45°=∠A=∠B,LAMC=∠BMC=90°， 2 ∴.△ACM,△BCM是等腰直角三角形， .∴.AM=CM=BM, .∴.△AMC≌△BMC(SAS), .∠DME=90°， .∴.∠AMD+∠DMC=∠DMC+LCME=90°， ∴.LAMD=∠CME, .∠A=∠BCM=45°，AM=CM, .∴.△AMD≌ACME(ASA, ,∠CMD+∠CME=∠CME+LBME=90°， ∴.∠CMD=LBME, .∠MCD=∠B=45°，CM=BM, ∴.△CMD≌△BME(ASA), 共3对全等三角形，①正确； .aAMD≌aCME, ∴.DM=EM, .∠DME=90°， ∴.△DME是等腰直角三角形， LMDE=∠MED=45°， ,'LCDM=LA+∠AMD=45°+∠AMD,∠CFE=LCME+∠MED=45°+LCME, ∴.∠CDM=LCFE, ∴.②正确； ,aCMD≌△BME, ..CD BE, AC=AD+DC, ∴.AC=AD+BE, ∴.③正确； △AMD≌△CME,△CMD≌△BME, S.AMD=S.CME,S.CMD =S.BME ∴.S医边形CMDE=SCwD+S,CME=S,AWD+S,BME,S。ABC=S西边形cwDE+S4WD+S,BME, .S.Ac=2S图边形CMDE, ④正确； ∴.不正确的结论为0个； 故选：D. 28.①③⑤ 解：设AF⊥BE于Q,FG⊥CD于K,如图1所示， 图1 .∠AQB=∠BAC=90°， ∴.∠ABE+∠BAQ=∠FAC+∠BAQ=90°， ∴.LABE=LFAC, 故①正确； 在△ABE与△ACD中， (AD=AE ∠DAC=∠EAB, AC=AB ∴.△ABE≌aACD(SAS), ∴.LABE=LACD, ZGEM ZAEB=90-ZABE, ∠GME=∠CMF=90°-LACD, ∴.∠GEM=∠GME, ∴.GE=GM, 若GM=EM,则△GEM为等边三角形， ∴.∠AEB=LGEM=60°， 但题目中没有条件得到∠AEB=60°， 故②不一定成立； 如图2所示，连接AN, 由△ABE≌△ACD可得∠AEB=∠ADC, .∠BDN=∠CEN, AD =AE,AB=AC, ∴.BD=CE, 在△BDN与△CEN中 I∠BND=∠CNE ∠BDN=∠CEN, BD=CE ∴.△BDN≌aCEN(AAS), ∴.BN=CN, 又AB=AC, ∴AN垂直平分BC, .'AB=AC, .∴.∠BAN=∠EAN=45° .∠BAN=LACF=45°， 在△ABN与△CAF中 ∠BAN=∠ACF AB=CA ∠ABN=∠CAF .△ABN≌aCAF(ASA), ∴.AN=CF,BN=AF, 在△EAN与△MCF中 ∠AEN=∠CMF ∠EAN=∠MCF, AN=CF .∴.△EAW≌△CF(AAS), ∴.NE=FM, 又.GE=GM, .BG=BN NE+GE=AF FM +GM=AF FG 故③正确； EG M 图2 '.BN AF NE FM ∴.△AFM的周长为：AF+FM+AM=BN+NE+AM=BE+AM, ,△EAN≌△MCF, .'AE=CM, .'AM AE+EM CM EM CM, ∴.△AFM的周长=BE+AM>BE+CM, 故④错误； 如图3所示，过点N作NI⊥AB于I,过点F作FP⊥AC于P, D B 图3 △ABN≌△CAF, ∴.SA ABN=SACAF, .4B-NI-C-FP. .'NI=FP, ÷8D-M-CE-P即S=3 SACEF SAAFC=CE:AC, SABDN SAAFC CE:AC; 故⑤正确： 故答案为：①③⑤. 【题型8等腰三角形的性质和判定综合应用】 29.(1)解：DB=DA=AC, .∠B=∠BAD,LADC=∠C, :∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B, ∠C=2LB, :BA=BC, .∠BAC=∠C=2∠B, :∠BAC+∠B+∠C=180°， 2∠B+∠B+2LB=5∠B=180°， .∠B=36°， .∠C=72°， 故答案为：36；72； (2)解：①由(1)可知，∠ADC=∠C=72°，∠BAD=∠B=36°， :∠CAD=180°-∠ADC-LC=36°， :ZBAD ZCAD 在△AHN和△AHE中， ∠HAN=∠HAE AH=AH ∠AHN=∠AHE=90° aAHN≌△AHE ASA), :AN AE △ANE是等腰三角形 ②CD=BN+CE,证明如下： 由①可知，AW=AE, BA=BC DB=AC, :BN=AB-AN BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD, :BN +CE=BC-AE+AE-BD=BC-BD =CD 即CD=BN+CE. 30.(1)解：：AB=AC, ∠ABC=∠ACB, :AD=AC, :ZACD ZADC,AB=AD, ∠ABD=∠ADB, 设∠BAC=B, :∠CAD=a, ∠48n=∠408-00-B-a=0w-B-a, ∠4Bc=∠4CB=l80-B1=90-B, ∠4c0=40c-0r-a-=90-a, :4=70°， ∠D8C-CD-×70=35; (2)解：作AG⊥BD于G,如图2所示： G B E 图2 ∠AGF=90°， 由(1)得：∠DBC=∠CAD=30°， 2 :AE⊥BC,∠BFE=60°， BF=2EF=2,∠AFG=∠BFE=60°， ∠FAG=30°， FG= 21F=2, .AG=AF2-FG2=23, AB=AC,AE⊥BC, CE=BE=V22-12=5, AE AF EF =5, :AD=AC=AE+CE:=52+3)=2, AG⊥BD, DG=VAD2-AG=V27列-(25=4， BD=BF+FG+DG=2+2+4=8; (3)解：分情况讨论：①CB=CD时，如图3所示： A D B C 图3 AB=AC,AC=AD, :AB AD, 在△ACD和△ACB中， (AD=AB DC=BC, AC=AC △ACD≌△ACB(SSS), ∠CAD=∠BAC=40°， 即=40°； ②BC=BD时，如4图所示： D B C 图4 同①得，△BAD≌aBAC(SSS), ∠BAD=∠BAC=40°， ∠CAD=2LBAC=80°，即a=80°； ③DB=DC时，如5图所示： 0 D 图5 点D在BC的垂直平分线上， ∠C1D=B4c=20°或∠C4D'=180-20=160°， 即a=20°或160°； 综上所述，若LBAC=40°，且△BCD是等腰三角形，则a为40°或20°或160°或80°， 31.(1)解：△CFE的形状等腰三角形.证明如下： AC=BC,CD是AB边的中线， CD⊥AB. ∴.∠ADC=∠CDB=90°. .∴.∠CFE=LAFD=90°-∠EAB. :∠EAB=∠BCD, 2 ∴.∠B=90°-∠BCD=90°-2∠EAB. ∴.LCEF=LB+LEAB=90°-LEAB. ∴.∠CEF=∠CFE. ∴CE=CF. ∴.△CFE是等腰三角形. (2)①补全图形，如图 E D ②CA,CD,CF之间的数量关系是2CD=CA+CF. 证明：过点E作EH⊥AB于点H. C B ,AC=BC,CD是AB边的中线，∠ACB=90°， ∴.∠CAB=∠B=45°，∠ACD=∠BCD=45°. CD=AD=BD=AB FA8RCD .∠EAB=∠CAB. 2 ∴.∠CAE=LBAE, 又.∠ACB=∠AHE=90°，AE=AE, ∴.△CAE≌△HAE. ∴.CA=HA,CE=HE. 在Rt△EHB中，LB=45°， ∴.HE=HB. .'CE=HB, ∴.AB=HA+HB=CA+CE. ,AB=2CD,由(1)知：CE=CF, ∴.2CD=CA+CF. 32.(1)证明：，∠BAC=75°，∠ACB=35°， ∴.LABC=180°-LBAC-∠ACB=70°. ,BD平分∠ABC, .∠DBC=号∠ABC=359 ∴.∠DBC=LACB=35°， 即BD=CD, ∴△BCD为等腰三角形； (2)证明：，AE平分∠BAC, ∴.∠EAB=∠EAH, 在△ABE和△AHE中， AB=AH ∠BAE=∠HAE, AE=AE ∴.△ABE≌△AHE(SAS), ∴.BE=EH,∠AHE=∠ABE=70°， .ZHEC ZAHE-ZACB=35=ZC, ∴.EH=HC; (3)证明：由(1)得：△BCD为等腰三角形， .'BD=CD, .∴.BD+AD=CD+AD=AC. 如图，在BE上截取BF=AB,连接AF. H B BF=AB, .∠AFB=∠BAF, ∠ABC=70°， ∴.LAFB=LBAF=35 .∠BAC=75°， 又.∠HAB=105°. ,·AE平分∠HAB, ·ZEAB-ZHAR=52.5°、 ∴.LEAF=52.5°-35°=17.5°，∠AEF=∠AFB-∠EAF=17.5°，则∠EAF=∠AEF, ∴.AF=EF. ,LAFC=LC=35°， ∴.AF=AC=EF, .BE-AB=BE-BF EF AC AD CD AD BD .BD AD BE -AB.