10.3 《 实际问题与二元一次方程组》小节复习题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以古代数学文化与现实生活为情境，分层考查二元一次方程组应用，强化模型意识与文化传承。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|古代问题（雀燕、盈不足术）、生产配套（盒身盒底、车架车轮）|融入《九章算术》《算法统宗》素材，传承数学文化| |填空题|4|图形面积、行程问题、坐标几何、拼图问题|结合图形直观，考查抽象建模能力| |解答题|6|购物方案、营养摄入、运输利润、剪纸制作、礼盒剪裁|联系2026年学生营养日等热点，体现应用意识与综合思维|

10.3 《 实际问题与二元一次方程组》小节复习题 一、单选题 1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕．并雀、燕重一斤，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，问雀、燕一枚各重几何？”．译文：“今有5只雀、6只燕．5只雀、6只燕重量合计为1斤，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将1只雀、1只燕交换位置后，重量相等，问雀、燕1只各重多少？”设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，1个盒身配2个盒底．设x张做盒身，y张做盒底，方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，八人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设有辆车，有个人，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房间、房客人，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？设有人买鸡，鸡的价格为钱，根据题意，列出方程组（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？”设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，则列方程组正确的是（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 8．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．    9．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要______． 10．用5张大小，形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，若点的坐标为，则可列方程组为_____． 11．七年级某数学兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是___________． 三、解答题 12．为传承运河文化，某中学购买运河主题笔记本和帆布袋作为奖品．已知购买1本笔记本和2个帆布袋共需48元；购买3本笔记本和1个帆布袋共需44元． (1)求笔记本和帆布袋的单价各是多少元？ (2)若七年级二班计划用200元购买这两种奖品（两种都买，钱恰好用完），则共有几种购买方案？写出所有方案． 13．每年的5月20日为中国学生营养日，2026年营养日的主题是“校园营养餐，健康助成长”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 14．2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 15．绿洲农业公司从地采购蔬菜，从地采购水果，统一运至地的配送中心进行分装（分装过程中无损耗），然后将分装好的蔬菜全部运往市场，水果全部运往市场．已知、到以及到、的运输路线和成本如下表和图所示．某日，从、运往的总运输成本为元，从运往、的总运输成本为元． 运输路线： 运输成本： 运输阶段 运输类型 运输单价（元/吨·公里） 冷链货车 普通货车 (1)求当日运往市场的蔬菜和运往市场的水果各有多少吨； (2)已知每吨蔬菜的采购价比水果低元．蔬菜在市场的销售单价按采购价加价出售，水果在市场的销售单价按采购价加价出售．若当日蔬菜、水果的总采购成本为 元，求全部售完后的总利润． 16．剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 17.数学实践：用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖盒和横式叠盖纸盒的平面展开图． (1)数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到158张小长方形和张小正方形做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．求n，x，y的值． (2)计划做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要多少张卡纸？ 参考答案 一、单选题 1．A 解：根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，根据将1只雀、1只燕交换位置后，重量相等可得， 可列方程组为：． 2．（B 解：设x张做盒身，y张做盒底， 根据题意，列方程组得：． 3．D 解：共有名生产工人，个工人生产车架，个工人生产车轮， 总人数满足； 个车架需要配个车轮，即生产出的车轮总数量等于车架总数量的倍，个工人每天生产车架总数量为，个工人每天生产车轮总数量为， 可得； 因此方程组为． 4．D 【详解】解：设有辆车，个人． ∵每3人坐一辆车，有2辆空车，实际使用车辆为，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ∴． ∵每2人坐一辆车，有8人步行，总人数减去步行的8人等于坐车的总人数， ∴整理得． 联立得方程组， 故选D． 5．A 解：设该店有客房间，房客人． ∵ 每间客房住7人时，有7人无房住，总人数满足 ． 又∵ 每间客房住9人时，空出一间客房，即只有间房住人，总人数满足 ． ∴ 可得方程组 ． 6．B 解：设有人买鸡，鸡的价格为钱， 由题意得，． 7．A 解：根据大容器5个，小容器1个，总容量为3斛可得 ， 根据大容器1个，小容器5个，总容量为2斛可得 ， 所以可列方程组为． 二、填空题 8． 解：设小长方形的长为、宽为， 由题意得，， 解得：， ∴每个小长方形的面积为． 9．2 解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据甲比乙早出发，乙出发后相遇，甲一共行走，得方程 ①． 当同时出发后两人相距，分两种情况讨论： 情况1：相遇前相距，此时两人的路程和为，得方程 ②． ①、②联立得方程组解得， 速度为负数，不符合实际意义，舍去； 情况2：相遇后相距，此时两人的路程和为，得方程 ③． ①、③联立得方程组解得，符合实际意义． 所以甲由A地到B地需要的时间为． 10． 解：点的坐标为， 长方形的长为，宽为， 可列方程组为． 11．、 解：设小长方形的长、宽分别为，， 由题意得， 解得：， ∴小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 三、解答题 12．（1）解：设笔记本单价为元，帆布袋单价为元， ， 解得， 答：笔记本单价8元，帆布袋单价20元 （2）解：设购买笔记本本，帆布袋个（，为正整数）， ， 化简：， ∵，为正整数， ∴；；；． 则共有4种方案： 方案一：笔记本20本，帆布袋2个； 方案二：笔记本15本，帆布袋4个； 方案三：笔记本10本，帆布袋6个； 方案四：笔记本5本，帆布袋8个． 13．（1）解：设小石喝了盒牛奶，盒豆浆， 根据题意得：， 解得：， 答：小石喝了1盒牛奶，1盒豆浆； （2）解：在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标，理由如下： ∵，， ∴在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标． 14．（1）解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据题意，得 ，解得， 答：小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份． （2）解：小宇的脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）可知小宇食用A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份， ∴从两款食品中摄入的脂肪总量为， ∴小宇这天总脂肪摄入量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，且， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 15．（1）解：由题意可得，到每吨运费为 元，到每吨运费为 元，到每吨运费为元，到每吨运费为元， 设当日运往市场的蔬菜有吨，运往市场的水果有吨， 由题意得，， 解得， 答：当日运往市场的蔬菜有吨，运往市场的水果有吨； （2）解：设每吨蔬菜的采购价为元，每吨水果的采购价为元， 由题意得，， 解得， ∴蔬菜的总利润为元，水果的总利润为元， ∴全部售完后的总利润为元， 答：全部售完后的总利润为元． 16．（1）解：设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵， 根据题意得， 解得， ∴1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵； 设需要甲彩纸张，乙彩纸张， 由题意得， 整理得，需满足是3的倍数，， ∴，；，；，；，； 促销规则：买1张甲彩纸赠送1张乙彩纸，所以实际需要购买的乙彩纸数量为 (若)，否则只需买甲彩纸； 方案1：，， 费用：元； 方案2：，， 费用：元； 方案3：，， 费用：元(因为，赠送的乙彩纸足够) ， 方案4：，， 费用：元； 所以最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； （2）解：设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张． 满足： 1.窗花： (同第一问) ， 2.纸雕：， 3.总费用： 4.余料最少： 即a，b，m，n尽量满足等式，无多余； 由，m，n都是非负整数， ∴或或或或或或， 总费用：， 整理得， 当时，不满足； 当时，满足； 此时，总费用， ∴一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元，无余料． 17.（1）解：由题意得，， 根据题意得：， ∴． ∴n的值为80，x的值为12，y的值为22； （2）解：100个竖式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形， 50个横式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形， 所以，100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒一共需要（个）小长方形，（个）小正方形， 又每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形 所以，1张标准卡纸可以剪裁成12个小正方形， 所以，（张）标准卡纸，还剩下2个小长方形； （张）标准卡纸，还剩下4个小正方形； 4个小正方形可拼成2个小长方形， 所以，，不足1张标准卡纸， 所以，做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要张卡纸． 学科网（北京）股份有限公司 $