河南省南阳市镇平县2025-2026学年第二学期二模考试数学试卷

2026年春期九年级模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入20元记作元，那么-100元表示（ ） A．支出100元 B．收入100元 C．支出20元 D．收入20元 2．据河南省文化和旅游厅2月24日消息，2026年春节假期，河南省接待国内游客6281万人次，旅游收入376.3亿元，与2025年同期相比，接待人次增长9.1%，旅游收入增长9.6%．其中数据“6281万”用科学记数法可表示为（ ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 4．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．计算（ ） A． B． C． D． 6．菱形和矩形一定都具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相平分且相等 7．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 8．苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因（A、a）控制，体内由成对基因、控制的个体是正常的，而体内由成对基因控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是（ ） A． B． C． D． 9．为了改善路况，专家研究出来一种新型材料制作井盖，大大提高了井盖的抗压能力．某同学为了测试该材料的抗压能力，取下来一小块样品进行抗压力测试，如图（甲）所示，该材料样品（不计质量）平放在压力传感器上，闭合开关S，经过多次压力实验，压力传感器的电阻随压力变化的过程如图（乙）．则下列说法正确的是（ ） A．压力传感器的电阻与压力为反比例关系 B．当压力传感器上没有样品时，压力传感器的电阻 C．压力传感器的电阻随压力的增大而增大 D．当压力为时，压力传感器的电阻 10．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点，点在轴上，点在轴上，点为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点作，垂足为点，连接，当为等腰三角形时，点的坐标为（ ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．标价为元的商品，若打7折出售，则售价为________元． 12．不等式组的解集是________． 13．课后延时服务已经落地，为了进一步对课后延时服务进行规范，某校计划在延时服务时间内开展各种社团活动．小明对全校学生进行抽样调查，收集整理拟参加社团活动类型（A．读书交流，B．体育锻炼，C．戏剧说唱，D．手工陶艺，E．书法器乐）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，选项： ①该校共有1000名学生；②选择“读书交流”的人数是120人；③在扇形统计图中，“体育锻炼”部分所对应的圆心角的度数是；④选择“书法器乐”所占的百分比为5%．以上选项正确的是________． 14．如图，以为直径的半圆中，分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，若，则图中阴影部分的面积为________． 15．定义：在凸四边形中，如果一组对角相等且另一组对角不相等，我们把这样的凸四边形叫作“奋进四边形”．如图，中，，平分，交于点，点为上一点，若，，当点，，，构成的凸四边形为“奋进四边形”时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 17．（9分）依据教育部“双减”政策和《义务教育学校作业管理通知》等文件的规定，初中学生每天书面作业完成时间平均不超过90分钟．为了了解七、八年级的日常作业情况，校团委针对学生日常作业情况进行了调查，并从七、八年级中各随机抽取了10名学生的星期三的作业时间（用表示，单位：分钟）进行整理、分析和描述，共分成四个组：A．，B．，C．，D．．给出了部分信息如下： 七年级10名学生的作业时间：67，78，86，86，86，88，93，94，96，96． 八年级10名学生的作业时间在组的数据：82，83，83，86． 七、八年级抽取的学生作业时间统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87 87 八年级 85 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）估计该校七年级800名学生和八年级600名学生中作业时间超过90分钟的总人数； （3）请对此次调查提出你的建议（写出一条即可）． 18．（9分）某校因生源增加，需在老教学楼南面建设一栋新综合楼，按规划部门要求，新建楼房在冬至日正午的影子，不能遮挡北侧原有楼房一楼的窗户．如图，学校新建综合楼，老教学楼的一楼窗户距地面的距离，该校所在地区冬至日正午太阳光线（平行光）与水平线的最小夹角约为（参考数据：，，）． （1）根据学校实际地况，的距离为时最符合校园整体设置，根据以上条件，新综合楼的高度应为多少？ （2）为满足学校的长期规划，新综合楼的设计高度为，请问为了满足采光要求，新综合楼至少应建在老教学楼正南方多少米处？ 注：图中所有的点均在一个平面内，所在的直线为水平地面． 19．（9分）如图，中，点，点在轴上，且，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将向上平移个单位，若的中点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； （3）将沿直线翻折，折叠后点的对应点为，点的对应点为，求翻折后点的坐标，并判断点是否落在反比例函数的图象上？并说明理由． 20．（9分）如图，平行四边形中，以为直径作，交于点，交对角线于点． （1）尺规作图：过点作的切线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若， ①求证：四边形是菱形； ②若，，求的长． 21．（9分）宁陵酥梨是商丘特产，质量上乘，口感脆甜，素有“桂林山水甲天下，宁陵酥梨冠中华”之美誉，是国家级地理标志产品．某超市售卖酥梨时，个头稍小的酥梨（简称小梨）销售价格为4.5元/千克，个头稍大的酥梨（简称大梨）销售方式为：千克及以下按原价销售，购买超过千克的大梨，超过部分打折． 某单位中秋节期间准备购买小梨和大梨1000千克为员工发福利，设购买大梨千克，购买小梨的费用为元，购买大梨的费用为元，与的函数关系如图，请回答问题： （1）求，的值； （2）若该单位此次购买总费用为元， ①与的函数关系式为________； ②该单位根据实际需要，规定大梨购买数量至少50千克，且购买大梨数量不超过小梨数量的，求当为多少时，有最小值，并求出这个最小值． 22．（10分）在二次函数中，图象经过点和． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 23．（10分）等腰直角三角形中，，，过点作，点为直线上一个动点，连接，将射线逆时针旋转，交直线于点，过点作，交直线于点． （1）若点在点右侧时： 【特殊】 ①如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系为________；线段，，的数量关系为________； 【一般】 ②如图2，当点与点不重合时，①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【特殊】 （2）当点在直线上时，若，，请直接写出线段的长． 2026年春期九年级模拟考试试卷 数学参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B D C B D B C 二、填空题（每小题3分，共15分） 题号 11 12 13 14 15 答案 ①③④ 3或 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．解：（1）原式； （2）原式． 17．解：（1）83，86，30； （2）用各年级总人数乘以样本中作业时间超过90分钟的人数所占比例再求和可得： （名）， （3）根据规定，初中学生每天书面作业完成时间平均不超过90分钟．该校作业量较多，建议减少作业布置量（答案不唯一）． 18．解：（1）如图，，，过点作，垂足为， ，， 在中，，， ， ， 答：新综合楼的高度为23.5m； （2）由题意得：， ， 在中，， ， 答：新综合楼至少应建在老教学楼正南方40m处． 19．解：（1）点的坐标为：， 反比例函数的解析式为：， ； （2）由题意得，，则中点坐标为， 将向上平移个单位，则中点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得； （3）将沿直线翻折，折叠后点的对应点为，点的对应点为， ， 点的坐标为：， ， 点的坐标为：， ， 点落在反比例函数的图象上． 20．解：（1）如图所示： （2）①证明：四边形为平行四边形， ，， 是的切线， ， ，， 连接， 为的直径， ， 在和中， ， ， ， 四边形为菱形． ②连接， 为的直径， 四边形为菱形， ， ， ， 设，在和中分别用勾股定理得： ， ， 解得：， 的长为． 21．解：（1）设线段的解析式为， 经过点， ， 解得， ； 设线段的解析式为， 记过点和， ，解得， ， 当， 解得， ， 则有当购买的酥梨超过100千克时，才有优惠， 则有， 当时，，即大梨原价为5元每千克， 当时，， 前100千克每千克按原价出售，即元， ，即折扣之后的酥梨价格为4元每千克， 即，则超过100千克的部分按8折优惠，即， （2）购买大梨千克，则购买小梨为千克，则购买小梨所需费用为，根据（1）的结果可知， 当，购买大梨的费用为， 则有， 当，购买大梨的费用为， 则有， 故答案为：； ②购买大梨数量不超过小梨数量的， 即，解得，， 大梨购买数量至少50千克，即， 分两种情况： 第一种情况：当时，， ， 随的减小而减小， 当时，最小； 第二种情况：当时，， ， 随的增大而减小， 当时，最小， ， 当时，最小，最小值为4412.5元； 22．解：（1）把点和代入，得： ，解得， 二次函数的表达式为； （2）， 二次函数图象的顶点坐标为， 画出函数图象，如图， （3）的值为6或2． 由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度后， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 或， 若，当时，图象对应的函数最小值为， 此时， 解得：或4（舍去）； 若，当时，图象对应的函数最小值为， 此时， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 23．解：（1）①；； ②成立 证明：如图， ，，，， ，， 又，， ，，， ， ，， 在中，，， ，； （2）的长为或． 【提示】当点在点右侧时，如图1，作，交于， 则是等腰直角三角形， ，，， 由（2）得，；， ， 当点在点左侧时，如图2，作，交于， 同理可得， ， ， ， ， 综上：的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $