10.2.1 代入消元法（分层题型专练，2夯基题型+3进阶题型+拓展培优）2025-2026学年七年级数学下册人教版

**基本信息** 本练习以“代入消元法”为核心，通过基础概念、运算应用到综合拓展的三阶分层设计，构建从单一字母表示到整体代入的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|字母表示与简单代入|以选择填空强化概念理解，如用字母表示另一字母的基础题型| |进阶层|复杂方程与新定义应用|通过新定义运算题型提升知识迁移能力，如自定义“*”运算的方程求解| |综合层|整体代入与综合问题解决|结合纠错分析与整体代入法，培养高阶思维，如含参数方程组的关系探究|

第十章 二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 （分层题型专练） 题型一 用一字母去表示另一个字母 1．由可以得到用表示的式子是（   ） A． B． C． D． 2．将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（    ） A． B． C． D． 4．用代入消元法解方程组时，消去，可将方程①变形为（    ） A． B． C． D． 5．用含的代数式表示：， 则 _______． 6．关于的方程，则用表示为______． 题型二 代入消元法解方程 1．用代入法解方程组，把代入第二个方程后所得方程是（    ） A． B． C． D． 2．用代入消元法解方程组时，把①代入②，得（    ） A． B． C． D． 3．解下列二元一次方程组： (1) (2) 4．解下列方程组： (1) (2) 题型一 代入消元法解较复杂的方程 1．解方程组：． 2．解下列方程（组）： (1)； (2)． 3．老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解． 琪琪同学进行了板演，过程如图： 解：把①变形为：③…………第一步 把③代入②中得：…………第二步 解这个方程，得第三步…………第三步 把代入①中，得…………第四步 所以，方程组的解为…………第五步 (1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法； (2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步； (3)请写出正确的解答过程． 题型二 代入消元法解与新定义有关的方程 1．定义运算“”，规定，其中，为常数，且，，则的值为（    ） A．7 B．10 C．12 D．14 2．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 3．对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．，1 D．， 4．对于数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数．已知，则________． 5．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 题型三 整体代入消元法解方程 1．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得：． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： 模仿小红的方法解方程组：． 2．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组． ． 3．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 4．阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为 ，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小强的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组 1．已知，下图中任意三个“○”中的式子之和均相等，那么a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，下图是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（   ） 由①，得 ③ 将③代入②，得 去分母，得 解得， 由③，得 老师 甲 乙 丙 丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k是（　　） A．1 B． C． D． 4．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同数值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 3 0 2 A． B． C． D． 5．若实数，同时满足，，则的值为________． 6．已知是关于x，y的方程组，则无论a取何值，x，y恒有关系式是____________________． 7．已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝3，则k的值为_____． 8．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 9．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 10．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 （分层题型专练） 题型一 用一字母去表示另一个字母 1．由可以得到用表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程为， 移项得：， 等式两边同时乘以，得． 2．将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组的步骤，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤是解本题的关键．通过移项即可将方程变形为用x表示y的式子． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 3．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等式的基本性质，将方程整理为用含的式子表示的形式即可． 【详解】解：需要将方程变形，用含的式子表示， 等式两边同时减去， 可得 ． 4．用代入消元法解方程组时，消去，可将方程①变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求消去，需将方程①变形，把表示为含的代数式，通过移项、系数化为1即可得到结果． 【详解】解：， 移项得：， 等式两边同时除以得： ． 5．用含的代数式表示：， 则 _______． 【答案】 【详解】解：， 移项得 ， 等式两边同时除以，将的系数化为， 得． 6．关于的方程，则用表示为______． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴． 题型二 代入消元法解方程 1．用代入法解方程组，把代入第二个方程后所得方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入第二个方程得，即． 2．用代入消元法解方程组时，把①代入②，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把①代入②，得． 3．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． （1）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入①，即可求解； （2）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入③，即可求解． 【详解】（1）解：由②，得， 把代入①，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解是 （2）由②，得，③ 把②代入①，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 4．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解法是关键； 根据解二元一次方程组的步骤，进行计算即可． 【详解】解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为． （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为． 题型一 代入消元法解较复杂的方程 1．解方程组：． 【答案】 【分析】利用代入消元法求解． 【详解】解： 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入，得， 因此该方程组的解为． 2．解下列方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是解一元一次方程以及解二元一次方程组，熟练掌握方程的相关解法和步骤是解题关键． （1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）方程整理后，再利用消元代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：原方程整理得， 由②得：③， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解是． 3．老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解． 琪琪同学进行了板演，过程如图： 解：把①变形为：③…………第一步 把③代入②中得：…………第二步 解这个方程，得第三步…………第三步 把代入①中，得…………第四步 所以，方程组的解为…………第五步 (1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法； (2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)第一步 (3) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组求解作答即可； （2）根据代入消元法解二元一次方程组求解过程作答即可； （3）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：琪琪在解方程组时，使用代入消元法， 故答案为：代入； （2）解：琪琪在解方程组时，首次出现错误在第一步，移项没有变号， 故答案为：第一步； （3）解：把①变形为：③ 把③代入②中得： 解这个方程，得第三步 把代入①中，得 所以，方程组的解为． 题型二 代入消元法解与新定义有关的方程 1．定义运算“”，规定，其中，为常数，且，，则的值为（    ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据新定义的运算法则得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值，最后代值计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组． 2．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得 ， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 3．对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．，1 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的解法（代入消元法等）是解题的关键．根据新运算的定义，将不同、值代入运算式，得到关于、的二元一次方程组，再求解方程组得出、的值 ． 【详解】解：由题意可得 ． 由，可变形为 （通过移项，用含的式子表示，为代入消元做准备 ）． 把代入中，得到 （代入消元，将二元一次方程转化为一元一次方程 ）． 展开括号： ． 合并同类项： ． 移项可得：，即 ． 解得 ． 把代入，得 ． 故选：A 4．对于数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数．已知，则________． 【答案】 【分析】先根据新运算中的规则得到方程组，求出与的值，再按新运算求1*1的值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 得：，解得：， 把代入得：， 则*=， 故答案为：． 【点睛】此题是一道定义新运算的题型，考查了解二元一次方程组，理解新运算规则并掌握解方程组的步骤是解题的关键． 5．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，由新定义可得方程组，求解可得， 的值．再由新定义运算即可求得答案． 【详解】根据题意，可得 解得 所以． 故答案为：2 题型三 整体代入消元法解方程 1．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得：． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： 模仿小红的方法解方程组：． 【答案】方程组的解为. 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． 由②得出即③，把①代入③求出y，把代入①求出x即可； 【详解】解： ， 将方程②变形：，即③， 把方程①代入③得：， 解得 把代入方程①，得， 所以方程组的解为. 2．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组． ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据材料的方法，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 原方程组的解为． 3．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键． （1）由②可得③，然后将①整体代入③可求得，进而求得方程组的解； （2）由①得③，然后将②整体代入③可求解即可． 【详解】（1）解： 由②可得③， 把①代入③，得，解得：． 把代入①，得，解得， 方程组的解为． （2）解：， 由①得③， 把②代入③，得，解得． 4．阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为 ，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小强的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体代入法解方程组是解本题的关键； （1）由①得：，再代入②得：可得，再进一步求解即可； （2）由①得：③，把③代入②得：可得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 整理得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 1．已知，下图中任意三个“○”中的式子之和均相等，那么a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】由图中任意三个“〇”中的式子之和均相等，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】依题意，得： , 解得 2．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，下图是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（   ） 由①，得 ③ 将③代入②，得 去分母，得 解得， 由③，得 老师 甲 乙 丙 丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】只需从第一步开始依次检查每一步的变形计算，即可找到最早出现错误的同学． 【详解】解：甲的变形：原方程①为， 移项得： ， 两边同时除以，得：， 甲得到的为 ，符号错误，因此开始出现错误的是甲． 3．若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“y的值比x的相反数大2”得出“”，再代入到方程组的第一个方程得到x的值，进而得出y的值，把x，y的值代入方程组中第二方程中求出k的值即可． 【详解】∵y的值比x的相反数大2， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴， 把，代入，得． 故选D． 【点睛】此主要考查了与二元一次方程组的解有关的问题，解题的关键是列出等式“”． 4．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同数值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 3 0 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表中，求出k、b的值，代入方程，再求出方程的解即可． 【详解】由表中可知：当x=0时，，当x=1时，， ∴，解得 代入得： 解得 故选：D． 5．若实数，同时满足，，则的值为________． 【答案】6 【分析】先由第二个方程得到关于的表达式，代入第一个方程后，根据绝对值的性质分情况讨论，舍去不符合题意的解，得到有效解后计算即可． 【详解】解：由移项得， 将代入得， 分两种情况讨论： ①当时，，原方程化为， 整理得，解得，符合， 此时，； ②当时，，原方程化为， 整理得，不符合，舍去该解． 故的值为6． 6．已知是关于x，y的方程组，则无论a取何值，x，y恒有关系式是____________________． 【答案】 【分析】方程组消去a，即可得到答案． 【详解】解：， 由①可得，，将其代入②， 可得， 整理，可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，利用代入消元法或加减消元法消元是解题的关键． 7．已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝3，则k的值为_____． 【答案】1 【分析】由题意得：x＝y+3，再代入方程组得到关于k，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵x﹣y＝3， ∴x＝y+3， ∵关于x，y的方程组， ∴， 整理得：， 把④代入③得：2y﹣4（3﹣y）＝0， 解得：y＝2， 把y＝2代入④得：k＝3﹣2＝1， 故答案为：1． 8．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)二，整体代入未添加括号 (3)见解析 【分析】（）根据定义判断即可；（）整体代入的过程中如果是代数式要添加括号;（）整体代入后解一元一次方程求出，再代回解出即可． 【详解】（1）把二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，这种方法叫做代入消元法； 根据定义可知小强解方程组用的方法是代入消元法； （2）二，整体代入未添加括号； （3）解：由①得③ 将③代入②得，解得； 把代入③，即：，解得x＝2， 原方程组的解为：． 9．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 10．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $