11.1二次根式的概念讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦二次根式的概念这一核心知识点，系统梳理形如√a(a≥0)的定义、含二次根号与被开方数非负的判定条件、单一根式及分式复合型式子的字母取值范围，衔接平方根知识，为后续二次根式运算奠定基础。 通过情境问题（如正方形对角线、圆半径）引导概念生成，培养抽象能力与数学眼光。经典例题结合双重非负性与绝对值、平方综合题，提升推理意识。分层练习与知识清单助力课中教学及课后查漏，体现应用意识。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十一章二次根式第一节二次根式的概念》讲义 一．学习目标 ( 1.   精准掌握二次根式的严格定义，熟记二次根式的三大判定条件；熟练掌握二次根式有意义的取值范围求解方法，理解二次根式双重非负性核心特征。 2.   能准确识别二次根式，独立求解单一根式、根式与分式结合、根式与整式结合的复合型式子的字母取值范围；初步学会利用非负性解决基础求值问题。 3.   通过情境推导、自主探究、小组合作，经历二次根式概念的生成过程，培养观察归纳、逻辑推理的数学思维。 4.   培养数学严谨性，提升数学运算、数学抽象核心素养，养成规范审题、规范书写的解题习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   二次根式的概念判定：牢牢掌握二次根式的定义形式，能快速区分二次根式、三次根式、无意义根式，精准辨别易错式子。 2.   二次根式有意义的条件：掌握各类含二次根式代数式中字母取值范围的求解方法，涵盖基础型、分式复合型两种常考题型。 3.   二次根式的双重非负性：理解被开方数、根式结果双重非负的特点，掌握基础应用。 （二）难点 1.   概念辨析易错点：区分 “ 形式是根式但无意义 ” 的式子、含字母不确定的根式，避免仅凭外形判定二次根式。 2.   复合型式子取值范围：同时满足被开方数非负、分母不为0两个条件，容易遗漏限制条件，导致取值范围出错。 3.   双重非负性综合应用：结合平方、绝对值非负性，解决 “ 多个非负数和为0 ” 的求值题型，是中考基础高频考点。 ) 三．课前预习 1.一般地，形如________（ ）的式子叫做二次根式，符号“”叫做________。 2.二次根式成立的必备条件：式子含有二次根号，且________。 3.二次根式具有双重非负性：①________；②________。 4.式子有意义，则字母x的取值范围是________。 5.式子________（填“一定”或“不一定”）是二次根式。 6.若有意义，则a的最小值为________。 【答案】 1.；a≥0；二次根号 2.被开方数为非负数 3. 被开方数a≥0；二次根式的值≥0 4.x≥1 5.一定 6.0 四．知识探秘 （一）二次根式概念 【尝试】用带有根号的式子表示下列问题中的数量，这些式子有什么共同特征? (1)边长为1的正方形对角线的长; (2)面积为S的圆的半径; (3)直角边长分别为a，b的直角三角形斜边的长; (4)一个物体从静止状态自由下落的高度h(m)与所需的时间t(s)，满足关系式h=gt2 ，试用h表示t(g取10m/s2). 【解析】(1) 边长为1的正方形，根据勾股定理，对角线长为： (2) 面积为S的圆，由圆的面积公式S = πr2，可得半径：r = (3) 直角边长为a、b的直角三角形，根据勾股定理，斜边长为： (4) 已知h =gt2,，(g=10m/s2)代入得：h =gt2= 5t2 ,变形得：t2=，t= 这些式子的共同特征：都含有二次根号，且被开方数都是非负数，它们都是二次根式。 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式(quadraticradical)，a可以是一个数，也可以是一个代数式.当a是一个非负数时，表示a的算术平方根. 例1.求使下列各式有意义的x的取值范围. 解:(1)要使有意义，必须x一3≥0,即x≥3; （2）不论x取何实数，总有x2≥0，x2+5≥5，二次根式在实数范围内总有意义. 【讨论】当a≥0时，可能为负数吗?为什么? 【解析】：不可能为负数，因为它表示非负数a的算术平方根，算术平方根的结果是非负的。 ( 【 知识梳理 】 1 . 二次根式的定义 一般地，形如 (a ≥ 0) 的式子叫做二次根式。 ：叫做二次根号，根指数为2，通常省略不写；a：叫做被开方数；被开方数a可以是数，也可以是代数式。 2 . 二次根式的两大判断条件（缺一不可） （ 1 ） 形式上：必须含有二次根号 ； （ 2 ） 取值上：被开方数a ≥ 0（非负数）。 3 二次根式有意义的条件 （ 1 ） 单个二次根式： ， a ≥ 0； （ 2 ） 二次根式在分母 ：a>0； （ 3 ） 二次根式+分式组合：被开方数 ≥ 0，且分母 ≠ 0。 4 . 二次根式的双重非负性 若 是二次根式，则： （ 1 ） 被开方数：a ≥ 0； （ 2 ） 二次根式本身： ≥ 0。 【 知识点睛 】 1. 定义理解核心 二次根式是形式定义，只看原式是否符合 (a ≥ 0) ，不看化简结果。 例： =2 ， 是二次根式，2不是二次根式。 2. 常见易错辨析 误区1：带根号就是二次根式 反例 ： ，被开方数为负，不是二次根式； 是三次根式，不是二次根式。 误区2：被开方数只能是正数 纠正：被开方数可以是0， =0 ， 是二次根式。 ) ( 特例： 一定是二次根式，因为 x 2 +3 >0恒成立。 3. 隐含条件（高频考点） 题目告知是 二次根式，直接隐含a ≥ 0，可直接用于求字母取值范围。 4. 双重非负性解题关键 常与绝对值、平方数（均 ≥ 0）结合，几个非负数和为0，则每一项都为0。 ) （二）二次根式的性质 探究一：观察、计算： 【答案】（1）2， 5， 10。 （2）2， 5， 10。 （3）0. 【结论】：一个正数平方的算术平方根等于它的本身. 一个负数平方的算术平方根等于它的相反数. 零的平方的算术平方根等于零. 【发现】：你能用数学符号语言表示任意数a的平方的算术平方根等于什么吗？ ＝｜a｜与（）2＝a（a≥0） 探索二：思考比较： （1）在与中，a可以是怎样的实数？ 【解析】 与中a的取值范围 对于：二次根式要求被开方数非负，所以 a≥0 。 对于：因为任何实数的平方 a2 ≥0 ，所以 a 可以是全体实数。 （2）与是否相等？ 【解析】 成立的条件是 a≥0 ，此时 = a 。当 a≤0 时，= |a| = -a 。 所以：当 a≥0 时，== a ； 当 a < 0 时，无意义，= -a ，两者不相等。 综上，只有当 a≥0 时，两者相等；当 a < 0 时，两者不相 ( 【 知识梳理 】 1. 二次根式的三条核心性质 性质1： ≥ 0 (a ≥ 0) 文字语言：非负数的算术平方根是非负数。 拓展：初中常见三类非负数： ≥ 0 (a ≥ 0)、|a|、a 2 ；若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。 性质2： = a (a ≥ 0) 文字语言：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 正用：直接化简，如 ) ( 逆用：任何非负数可写成算术平方根的平方形式，如 。 性质3： 文字语言：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 当a ≥ 0时， =a； 当a<0时， =-a。 （三） 与 的区别与联系 1.   取值范围： ：a ≥ 0； ：a为全体实数。 2.   运算顺序： ：先开方，再平方； ：先平方，再开方。 3.   结果：当a ≥ 0时， = = a ；当当 a< 0时， 无意义， =-a。 【 知识点睛 】 1.   双重非负性是高频考点 ≥ 0 (a ≥ 0) ， 常结合绝对值、平方，考查 “ 非负数和为0则各自为0 ” ，用于求字母的值。 例：若 +(y+3) 2 =0，则x=2，y=-3。 2.   区分两个平方型公式，避免混淆 = a ：必须保证被开方数非负，不能直接用于负数； =|a|：任何实数都适用，化简关键是判断a的正负，再去绝对值。 3.   化简 的步骤 第一步：写成绝对值形式|a|； 第二步：根据题目条件（数轴、取值范围、符号）判断a正负； 第三步：去掉绝对值符号，正数直接保留，负数取相反数。 4.   易错警示 （ 1 ） 误认为 =a，忽略a<0的情况； （ 2 ） 忽略 中a ≥ 0的隐含条件，直接代入负数计算； （ 3 ） 逆用性质时，只有非负数才能写成平方形式。 ) 五．经典例题 例1．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1） （2） （3） （4） 解：（1）x+5≥0，∴x≥﹣5； （2）3﹣a≥0，﹣a≥﹣3，∴a≤3； （3）2a+1≥0，2a≥﹣1，∴a≥﹣； （4）8x≥0，∴x≥0． 例2．已知：如图： 化简：． 解：由已知a＜b＜0，b﹣c＜0，a+b＜0，a+c＜0， 则原式＝﹣a+a+b﹣b+c﹣a﹣c＝﹣a． 例3．若实数a，b，c满足|a﹣|+＝+． （1）求a，b，c； （2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 解：（1）由题意可得：c﹣3≥0，3﹣c≥0，解得：c＝3，∴|a﹣|+＝0， 则a＝，b＝2； （2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：+＝2＜3，舍去； 当c是腰长，a是底边时，等腰三角形的周长为：+3+3＝+6，综上，这个等腰三角形的周长为：+6． 例4．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下： 题目：若代数式+的值是1，求m的取值范围． 解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|， 当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）； 当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件； 当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）； 所以，m的取值范围是1≤m≤2． 请你根据小明的做法，解答下列问题： （1）当3≤m≤5时，化简：+＝　 　； （2）若代数式﹣的值是4，求m的取值范围． 解：∵3≤m≤5， ∴+＝|m﹣3|+|m﹣5|＝m﹣3﹣（m﹣5）＝m﹣3﹣m+5＝2； 故答案为2； （2）原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|， 当m＜2时，原式＝（2﹣m）﹣（6﹣m）＝﹣4，不符合条件； 当2≤m≤6时，原式＝（m﹣2）﹣（6﹣m）＝2m﹣8＝4，解得m＝6，符合条件； 当m＞6时，原式＝（m﹣2）﹣（m﹣6）＝4，符合条件； 所以m的取值范围是m≥6． 六．基础过关 （一）．选择题 1．若是二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【答案】D． 【解析】若是二次根式，则a的值可能是0，故选：D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、B、D的被开方数都不能保证是非负数，所以A、B、D都是二次根式．故选C． 3．下列式子中，的取值范围是≥3的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D． 【解析】选项A中x的取值范围是x≠3，选项B中x的取值范围是x＞3，选项C中x的取值范围是任何实数，选项D中x的取值范围是x≥3．故答案选D． 4．要使代数式有意义，则x的（ ） A、最大值为 B、最小值为 C、最大值为 D、最大值为 【答案】A. 【解析】要使代数式有意义，必须使2-3x≥0，即x≤，所以x的最大值为，故答案选A. 5．若+= 0，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由根式有意义的条件和绝对值的定义可知，若想+= 0，必须=0， = 0，解得x=2,y=-3,则x-y=5，故选D． 6．当a＞4时，的结果为（ ） A．a-4 B．4-a C．-4-a D．4+a 【答案】A． 【解析】∵a＞4，∴4-a＜0，∴=a-4．故选A． 7．下列各式中，正确的是（ ） A．＝－2 B．＝9 C．＝±3 D． ＝±3 【答案】D． 【解析】A．原式=|﹣2|=2，错误；B．原式=3，错误；C．原式=3，错误；D．原式=±3，正确．故选D． 8．化简：=（ ）． A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】==．故选：C． 9．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）． A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 【答案】A． 【解析】从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则=a﹣4+11﹣a=7．故选：A． 10．在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】D． 【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．根据题意得，x-1＞0，解得x＞1．故选D． （二）．填空题 11．在y＝中，x的取值范围为 　 　． 【答案】x＞﹣3． 【解析】根据题意得：2x+6＞0，解得：x＞﹣3．故答案为：x＞﹣3． 12．若，则a2025+b2026=_______． 【答案】0． 【解析】先根据给出的式子求出a，b的值：因为≥0，|b-1|≥0，又因为，所以=0，|b-1|=0，所以=0，b-1=0，解得a=-1，b=1．又因为-1的奇数次方为-1，-1的偶数次方为1，所以a2025+b2026=-1+1=0． 13．若与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为_______. 【答案】27 【解析】依题意得．∴解得∴x＋y＝27． 14. 等式中的括号应填入__________． 【答案】 【解析】：===.故答案为： 15.若x、y都为实数，且y=2028+2027+1则=____． 【答案】26 【解析】由题意， 所以 所以 所以 故答案为 16. 代数式的最大值是______． 【答案】3 【解析】 则代数式的最大值是3．故答案为 17．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|a﹣b|﹣+（）2﹣2＝　 　． 【答案】﹣4b 【解析】从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，所以a﹣b＞0，﹣b＞0，所以|a﹣b|﹣+（）2﹣2＝a﹣b﹣a+（﹣b）﹣2b＝a﹣b﹣a﹣b﹣2b＝﹣4b，故答案为：﹣4b． 18．若y＝+2，则2x+y　 　． 【答案】4或0 【解析】由题意得：1﹣x2≥0，x2﹣1≥0，则x2＝1，解得：x＝±1，∴y＝2，当x＝1，y＝2时，2x+y＝2×1+2＝4，当x＝﹣1，y＝2时，2x+y＝2×（﹣1）+2＝0，故答案为：4或0． 19．若，则= ． 【答案】9． 【解析】有意义，必须，，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴==9．故答案为：9． 20．已知实数a满足|2027﹣a|+＝a，那么a﹣20272+1的值是 　 　． 【答案】2029 【解析】由题意得：a﹣2028≥0，解得：a≥2021，则a﹣2027+＝a，整理得：＝2027，∴a﹣2028＝20272，∴a﹣20272＝2028，∴原式＝2028+1＝2029，故答案为：2029． （三）．解答题 21. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4)； 解：（1）∵有意义，∴，解得：. （2）∵有意义，∴，解得：； （3）∵有意义，∴，解得：为全体实数； （4）∵有意义，∴，解得：； 22.已知+＝b+8． （1）求a、b的值； （2）求a2﹣b2的平方根和a+2b的立方根． 解：（1）由题意得a﹣17≥0，且17﹣a≥0，得a﹣17＝0，解得a＝17， 把a＝17代入等式，得b+8＝0，解得b＝﹣8．答：a、b的值分别为17、﹣8． （2）由（1）得a＝17，b＝﹣8，±＝±＝±15， ＝＝＝1． 答：a2﹣b2的平方根为±15，a+2b的立方根为1． 23．阅读材料，解答问题． 例：若代数式＋的值是常数2，求a的取值范围． 分析：原式＝|a－2|＋|a－4|，因为|a－2|表示的是在数轴上表示数a的点到表示数2的点的距离，|a－4|表示的是在数轴上表示数a的点到表示数4的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式＝|a－2|＋|a－4|， 从数轴上看，应分三种情况讨论： ①当表示数a的点在表示数2的点的左边，即a<2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a； ②当表示数a的点在表示数2的点和表示数4的点之间(包含两端点)，即2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2； ③当表示数a的点在表示数4的点的右边，即a>4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6. 通过分析可得a的取值范围应是2≤a≤4. (1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？请列举； (2)化简：＋. 解：(1)数形结合思想，分类讨论思想． (2)原式＝|a－3|＋|a－7|.①当a＜3时，原式＝3－a＋7－a＝10－2a；②当3≤a≤7时，原式＝4；③当a＞7时，原式＝a－3＋a－7＝2a－10. 24．阅读下面的文字再回答问题 甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a＝”有不同的解答． 甲的解答是：； 乙的解答是 （1）填空：　　的解答是错误的； （2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质 （3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简 解：（1）乙的做法错误．当a＝时，，∴， 故乙的做法错误．故答案为：乙． （2）当a＜0时，； （3）∵3＜x＜5， ∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0． ＝＝7﹣x+2x﹣5＝x+2． 25.【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简＝　 　． 解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均为整数， ∴a＝m2+5n2，b＝2mn，故答案为：m2+5n2，2mn； （2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，∵x+4＝（m+n）2，∴， 又∵x、m、n均为正整数，∴或，即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7； （3）原式＝＝＝，故答案为：+． 七．知识清单 1.一般地，形如________（a_____）的式子叫做二次根式；其中“”叫做__，a叫做________。 2.判断一个式子是二次根式，必须同时满足两个条件：①含有________；②被开方数为________。 3.二次根式 具有双重非负性：______0，且a______0。 4.二次根式在实数范围内有意义的条件：被开方数________；若式子含分母，还需满足________。 5.若+|b|+c2=0，则a=______，b=______，c=______（依据：几个非负数的和为0，则每个非负数都为）。 6.二次根式的基本性质：()2=______（a______）；=______。 7.被开方数a可以是数，也可以是________，但整体必须满足非负。 8.根指数为3的根式________（填“是”或“不是”）二次根式。 9.带根号的式子________（填“一定”或“不一定”）是二次根式，关键看________。 10.当a______0时，无意义；当a______0时，=0。 11.若有意义，则x的取值范围是________。 12.若有意义，则x需满足________。 13.若是二次根式，则x的取值范围是________。 【答案】1.；≥0；二次根号；被开方数 2.二次根号；非负数 3.≥；≥ 4.≥0；分母≠0 5.0；0；0；0 6.a；≥0；|a| 7.代数式 8.不是 9.不一定；被开方数是否非负 10.<；= 11.x≥2 12.x≥-1且x≠3 13.全体实数 八．强化提优 （一）选择题 1．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【答案】D． 【解析】由题意可知：4﹣3x≥0，∴x≤，观察选项，只有选项D符合题意．故选：D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A．﹣ B． C． D． 【答案】B． 【解析】A选项，﹣2＜0，故该选项不符合题意；B选项，∵a2≥0，∴a2+1＞0，故该选项符合题意；C选项，当a＝0时，a﹣1＝﹣1＜0，故该选项不符合题意；D选项，的根指数是3，不是2，故该选项不符合题意；故选：B． 3．若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥﹣3且m≠2 B．m＞﹣3且m≠2 C．m≥﹣2 D．m＞﹣3 【答案】A． 【解析】由题意得：m+3≥0且m−2≠0，解得：m≥﹣3且m≠2，故选：A． 4．下列式子中二次根式的个数有（　　） （1）； （2）； （3）﹣； （4）； （5）； （6）； （7）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D． 【解析】6．二次根式有：（1）；（2）；（3）﹣；（5）；（7）共5个，的根指数为3，不是二次根式；∵x＞1，∴1﹣x＜0，∴不是二次根式；故选：D． 5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②；③有意义，则x≥1；④的平方根是±8，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解析】①实数和数轴上的点是一一对应的是正确的；②∵﹣3＝﹣，﹣2＝﹣，﹣＞﹣，∴是正确的；③有意义，则x≥0，原来的说法错误；④＝8，8的平方根是±2，原来的说法错误；故其中正确的有2个． 6．二次根式有意义时，x的取值范围在数轴上如（　　）表示． A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】由题意得，2x+6≥0，解得x≥﹣3，在数轴上表示如下：．故选：C． 7.若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：x-1≥0且x-2≠0， 解得：x≥1且x≠2．故选D 8．要使有意义，则x应满足( ) A． B．x≤3且 C． D． 【答案】D 【解析】根据二次根式有意义的条件可知解得又由分式有意义可知2x－1≠0，所以．综上所述，．故选D． 9．若实数x，y满足y＝﹣2025，则4x﹣y的值为（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】B． 【解析】由题意得：2x﹣1≥0，2﹣4x≥0，解得：x＝，∴y＝﹣2025， 则4x﹣y＝4×﹣（﹣2020）＝2027，故选：B． 10. 若式子有意义，则点P(a，b)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】∵式子有意义，∴. 根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）.故P（a，b）位于第三象限.故选C． （二）填空题 11. 若x＜0，则的结果是_____． 【答案】-1 【解析】利用x的取值范围，进而化简，∵x＜0，∴=﹣1．故答案为﹣1． 12. 已知a为实数，那么等于________. 【答案】0 【解析】根据非负数的性质a2≥0，根据二次根式的意义，﹣a2≥0， 故只有a=0时，有意义，所以，=0． 13. 使式子有意义的未知数x的值有_______________个． 【答案】1 【解析】∵式子有意义，∴，∴，∴，即符合条件的的取值只有1个.故答案为1. 14. 已知实数m，n满足，则m+2n的值为__________． 【答案】3 【解析】∵|n－2|＋＝0，∴ ，解得：， ∴ m+2n=-1+4=3.故答案3. 15．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为_______. 【答案】﹣ 【解析】∵﹣1＜a＜0，∴+＝+＝+＝a﹣﹣（a+）＝﹣． 16．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是________. 【答案】4x+2 【解析】∵|x﹣3|+＝7，∴|x﹣3|+|x+4|＝7，∴﹣4≤x≤3，∴2|x+4|﹣＝2（x+4）﹣|2x﹣6|＝2（x+4）﹣（6﹣2x）＝4x+2， 17. 若+|2a﹣b+1|=0，则(b﹣a)2026=________ 【答案】1 【解析】∵，∴，解得：，则 (b﹣a)2026=(-3+2)2026=1 18．已知a、b、c为△ABC的三边长，=_____． 【答案】2a＋4b． 【解析】∵a、b、c是三角形的三边长，∴a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0， a－b－c＝a－（b＋c）＜0，c－a－b＝c－（a＋b）＜0．∴原式＝|a＋b＋c|＋|a＋b－c|＋|a－b－c|＋|c－a－b|＝（a＋b＋c）＋（a＋b－c）＋[－（a－b－c）]＋[－（c－a－b）] ＝a＋b＋c＋a＋b－c－a＋b＋c－c＋a＋b＝2a＋4b． 19．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，且|a|＝|b|，则化简|a＋b|＋＋2＝_______． 【答案】a－3c 【解析】根据实数a，b，c在数轴上对应的点的位置，得c＜a＜0＜b，∴c－a<0.又∵|a|＝|b|，∴a＋b＝0，∴|a＋b|＋＋2＝0＋|c－a|＋2|c|＝－c＋a－2c＝a－3c. 20．古希腊的几何学家海伦给出求三角形面积的公式S＝，其中a，b，c为三角形的三边长，p＝.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，那么三角形的面积为__________． 【答案】. 【解析】∵a＝2，b＝3，c＝4，∴p＝＝＝， ∴S＝＝＝. （三）解答题 21. 当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）；（2） 解：（1）根据被开方数大于等于0列式计算，1﹣2x≥0，解得x≤．故答案为x≤． （2）根据题意得：x-2≥0且x-3≠0解得：x≥2且x≠3． 22．若b＝+﹣a+10． （1）求ab及a+b的值； （2）若a、b满足x，试求x的值． 解：（1）∵b＝+﹣a+10，∴ab＝10，b＝﹣a+10，则a+b＝10； （2）∵a、b满足x，∴x2＝，∴x2＝＝＝8， ∴x＝±2．则a2﹣b2的平方根为：±＝±15． 23.阅读下列过程，回答问题． （1）通过计算下列各式的值探究问题：＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　；探究：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　． （2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简++． 解：（1）＝2，＝0，＝，＝3；当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a．故答案为：2，0，，3，a，﹣a； （2）由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则﹣1＜a+b＜0， 故原式＝﹣a+b﹣（a+b）＝﹣a+b﹣a﹣b＝﹣2a． 24.已知x为实数且x2+3x+1＝0． （1）求x+的值； （2）求﹣的值． 解：（1）∵x2+3x+1＝0，∴x≠0，∴x+3+＝0，∴x+＝﹣3； （2）﹣＝﹣＝﹣＝|（x﹣1）+|﹣， ∵x+＝﹣3，∴x＜0，∴x﹣1＜0，＜0， ∴原式＝1﹣x++＝1﹣x+＝＝， ∵x2+3x+1＝0，∴x2＝﹣3x﹣1，∴原式＝＝＝5． 25．观察下列等式：回答问题： ①＝1+﹣＝1 ②＝1+﹣＝1 ③＝1+﹣＝1，… （1）根据上面三个等式的信息，猜想＝　 　； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式； （3）验证你的结果． 解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想＝1，故答案为：1； （2）＝1+﹣． （3）＝＝ ＝＝＝1+﹣． 26．阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|， 当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）； 当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4； 所以，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当3≤a≤7时，化简：＝　 　； （2）请直接写出满足＝5的a的取值范围　 　； （3）若＝6，求a的取值． 解：（1）原式＝|a﹣3|+|a﹣7|，∵3≤a≤7，∴原式＝（a﹣3）+（7﹣a）＝4； 故答案为4； （2）当1≤a≤6时，＝5；故答案为1≤a≤6； （3）原式＝|a+1|+|a﹣3|， 当a＜﹣1时，原式＝﹣（a+1）+（3﹣a）＝2﹣2a＝6，解得a＝﹣2； 当﹣1≤a＜3时，原式＝（a+1）+（3﹣a）＝4，等式不成立； 当a≥3时，原式＝（a+1）+（a﹣3）＝2a﹣2＝6，解得a＝4； 所以，a的值为﹣2或4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十一章二次根式第一节二次根式的概念》讲义 一．学习目标 ( 1.   精准掌握二次根式的严格定义，熟记二次根式的三大判定条件；熟练掌握二次根式有意义的取值范围求解方法，理解二次根式双重非负性核心特征。 2.   能准确识别二次根式，独立求解单一根式、根式与分式结合、根式与整式结合的复合型式子的字母取值范围；初步学会利用非负性解决基础求值问题。 3.   通过情境推导、自主探究、小组合作，经历二次根式概念的生成过程，培养观察归纳、逻辑推理的数学思维。 4.   培养数学严谨性，提升数学运算、数学抽象核心素养，养成规范审题、规范书写的解题习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   二次根式的概念判定：牢牢掌握二次根式的定义形式，能快速区分二次根式、三次根式、无意义根式，精准辨别易错式子。 2.   二次根式有意义的条件：掌握各类含二次根式代数式中字母取值范围的求解方法，涵盖基础型、分式复合型两种常考题型。 3.   二次根式的双重非负性：理解被开方数、根式结果双重非负的特点，掌握基础应用。 （二）难点 1.   概念辨析易错点：区分 “ 形式是根式但无意义 ” 的式子、含字母不确定的根式，避免仅凭外形判定二次根式。 2.   复合型式子取值范围：同时满足被开方数非负、分母不为0两个条件，容易遗漏限制条件，导致取值范围出错。 3.   双重非负性综合应用：结合平方、绝对值非负性，解决 “ 多个非负数和为0 ” 的求值题型，是中考基础高频考点。 ) 三．课前预习 1.一般地，形如________（ ）的式子叫做二次根式，符号“”叫做________。 2.二次根式成立的必备条件：式子含有二次根号，且________。 3.二次根式具有双重非负性：①________；②________。 4.式子有意义，则字母x的取值范围是________。 5.式子________（填“一定”或“不一定”）是二次根式。 6.若有意义，则a的最小值为________。 四．知识探秘 （一）二次根式概念 【尝试】用带有根号的式子表示下列问题中的数量，这些式子有什么共同特征? (1)边长为1的正方形对角线的长; (2)面积为S的圆的半径; (3)直角边长分别为a，b的直角三角形斜边的长; (4)一个物体从静止状态自由下落的高度h(m)与所需的时间t(s)，满足关系式h=gt2 ，试用h表示t(g取10m/s2). 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式(quadraticradical)，a可以是一个数，也可以是一个代数式.当a是一个非负数时，表示a的算术平方根. 例1.求使下列各式有意义的x的取值范围. 【讨论】当a≥0时，可能为负数吗?为什么? ( 【 知识梳理 】 1 . 二次根式的定义 一般地，形如 (a ≥ 0) 的式子叫做二次根式。 ：叫做二次根号，根指数为2，通常省略不写；a：叫做被开方数；被开方数a可以是数，也可以是代数式。 2 . 二次根式的两大判断条件（缺一不可） （ 1 ） 形式上：必须含有二次根号 ； （ 2 ） 取值上：被开方数a ≥ 0（非负数）。 3 二次根式有意义的条件 （ 1 ） 单个二次根式： ， a ≥ 0； （ 2 ） 二次根式在分母 ：a>0； （ 3 ） 二次根式+分式组合：被开方数 ≥ 0，且分母 ≠ 0。 4 . 二次根式的双重非负性 若 是二次根式，则： （ 1 ） 被开方数：a ≥ 0； （ 2 ） 二次根式本身： ≥ 0。 【 知识点睛 】 1. 定义理解核心 二次根式是形式定义，只看原式是否符合 (a ≥ 0) ，不看化简结果。 例： =2 ， 是二次根式，2不是二次根式。 2. 常见易错辨析 误区1：带根号就是二次根式 反例 ： ，被开方数为负，不是二次根式； 是三次根式，不是二次根式。 误区2：被开方数只能是正数 纠正：被开方数可以是0， =0 ， 是二次根式。 特例： 一定是二次根式，因为 x 2 +3 >0恒成立。 3. 隐含条件（高频考点） 题目告知是 二次根式，直接隐含a ≥ 0，可直接用于求字母取值范围。 4. 双重非负性解题关键 常与绝对值、平方数（均 ≥ 0）结合，几个非负数和为0，则每一项都为0。 ) （二）二次根式的性质 探究一：观察、计算： 【发现】：你能用数学符号语言表示任意数a的平方的算术平方根等于什么吗？ 探索二：思考比较： （1）在与中，a可以是怎样的实数？ （2）与是否相等？ ( 【 知识梳理 】 1. 二次根式的三条核心性质 性质1： ≥ 0 (a ≥ 0) 文字语言：非负数的算术平方根是非负数。 拓展：初中常见三类非负数： ≥ 0 (a ≥ 0)、|a|、a 2 ；若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。 性质2： = a (a ≥ 0) 文字语言：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 正用：直接化简，如 逆用：任何非负数可写成算术平方根的平方形式，如 。 性质3： 文字语言：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 当a ≥ 0时， =a； 当a<0时， =-a。 （三） 与 的区别与联系 1.取值范围： ：a ≥ 0； ：a为全体实数。 2.运算顺序： ：先开方，再平方； ：先平方，再开方。 3.结果：当a ≥ 0时， = = a ；当 a< 0时， 无意义， =-a ,二者不相等 。 【 知识点睛 】 1.   双重非负性是高频考点 ≥ 0 (a ≥ 0) ， 常结合绝对值、平方，考查 “ 非负数和为0则各自为0 ” ，用于求字母的值。 例：若 +(y+3) 2 =0，则x=2，y=-3。 2.   区分两个平方型公式，避免混淆 = a ：必须保证被开方数非负，不能直接用于负数； ) ( （ 3 ） 逆用性质时，只有非负数才能写成平方形式。 =|a|：任何实数都适用，化简关键是判断a的正负，再去绝对值。 3.   化简 的步骤 第一步：写成绝对值形式|a|； 第二步：根据题目条件（数轴、取值范围、符号）判断a正负； 第三步：去掉绝对值符号，正数直接保留，负数取相反数。 4.   易错警示 （ 1 ） 误认为 =a，忽略a<0的情况； （ 2 ） 忽略 中a ≥ 0的隐含条件，直接代入负数计算； （ 3 ） 逆用性质时，只有非负数才能写成平方形式。 ) 五．经典例题 例1．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1） （2） （3） （4） 例2．已知：如图： 化简：． 例3．若实数a，b，c满足|a﹣|+＝+． （1）求a，b，c； （2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 例4．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下： 题目：若代数式+的值是1，求m的取值范围． 解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|， 当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）； 当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件； 当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）； 所以，m的取值范围是1≤m≤2． 请你根据小明的做法，解答下列问题： （1）当3≤m≤5时，化简：+＝　 　； （2）若代数式﹣的值是4，求m的取值范围． 六．基础过关 （一）．选择题 1．若是二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列式子中，的取值范围是≥3的是（ ） A. B. C. D. 4．要使代数式有意义，则x的（ ） A、最大值为 B、最小值为 C、最大值为 D、最大值为 5．若+= 0，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．当a＞4时，的结果为（ ） A．a-4 B．4-a C．-4-a D．4+a 7．下列各式中，正确的是（ ） A．＝－2 B．＝9 C．＝±3 D． ＝±3 8．化简：=（ ）． A． B． C． D． 9．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）． A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 10．在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1 （二）．填空题 11．在y＝中，x的取值范围为 　 　． 12．若，则a2025+b2026=_______． 13．若与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为_______. 14. 等式中的括号应填入__________． 15.若x、y都为实数，且y=2028+2027+1则=____． 16. 代数式的最大值是______． 17．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|a﹣b|﹣+（）2﹣2＝　 　． 18．若y＝+2，则2x+y　 　． 19．若，则= ． 20．已知实数a满足|2027﹣a|+＝a，那么a﹣20272+1的值是 　 　． （三）．解答题 21. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4)； 22.已知+＝b+8． （1）求a、b的值； （2）求a2﹣b2的平方根和a+2b的立方根． 23．阅读材料，解答问题． 例：若代数式＋的值是常数2，求a的取值范围． 分析：原式＝|a－2|＋|a－4|，因为|a－2|表示的是在数轴上表示数a的点到表示数2的点的距离，|a－4|表示的是在数轴上表示数a的点到表示数4的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式＝|a－2|＋|a－4|， 从数轴上看，应分三种情况讨论： ①当表示数a的点在表示数2的点的左边，即a<2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a； ②当表示数a的点在表示数2的点和表示数4的点之间(包含两端点)，即2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2； ③当表示数a的点在表示数4的点的右边，即a>4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6. 通过分析可得a的取值范围应是2≤a≤4. (1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？请列举； (2)化简：＋. 24．阅读下面的文字再回答问题 甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a＝”有不同的解答． 甲的解答是：； 乙的解答是 （1）填空：　　的解答是错误的； （2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质 （3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简 25.【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简＝　 　． 七．知识清单 1.一般地，形如________（a_____）的式子叫做二次根式；其中“”叫做__，a叫做________。 2.判断一个式子是二次根式，必须同时满足两个条件：①含有________；②被开方数为________。 3.二次根式 具有双重非负性：______0，且a______0。 4.二次根式在实数范围内有意义的条件：被开方数________；若式子含分母，还需满足________。 5.若+|b|+c2=0，则a=______，b=______，c=______（依据：几个非负数的和为0，则每个非负数都为____）。 6.二次根式的基本性质：()2=______（a______）；=______。 7.被开方数a可以是数，也可以是________，但整体必须满足非负。 8.根指数为3的根式________（填“是”或“不是”）二次根式。 9.带根号的式子________（填“一定”或“不一定”）是二次根式，关键看________。 10.当a______0时，无意义；当a______0时，=0。 11.若有意义，则x的取值范围是________。 12.若有意义，则x需满足________。 13.若是二次根式，则x的取值范围是________。 八．强化提优 （一）选择题 1．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A．﹣ B． C． D． 3．若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥﹣3且m≠2 B．m＞﹣3且m≠2 C．m≥﹣2 D．m＞﹣3 4．下列式子中二次根式的个数有（　　） （1）； （2）； （3）﹣； （4）； （5）； （6）； （7）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②；③有意义，则x≥1；④的平方根是±8，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．二次根式有意义时，x的取值范围在数轴上如（　　）表示． A． B． C． D． 7.若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．要使有意义，则x应满足( ) A． B．x≤3且 C． D． 9．若实数x，y满足y＝﹣2025，则4x﹣y的值为（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 10. 若式子有意义，则点P(a，b)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （二）填空题 11. 若x＜0，则的结果是_____． 12. 已知a为实数，那么等于________. 13. 使式子有意义的未知数x的值有_______________个． 14. 已知实数m，n满足，则m+2n的值为__________． 15．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为_______. 16．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是________. 17. 若+|2a﹣b+1|=0，则(b﹣a)2026=________ 18．已知a、b、c为△ABC的三边长，=_____． 19．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，且|a|＝|b|，则化简|a＋b|＋＋2＝_______． 20．古希腊的几何学家海伦给出求三角形面积的公式S＝，其中a，b，c为三角形的三边长，p＝.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，那么三角形的面积为__________． （三）解答题 21. 当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）； （2） 22．若b＝+﹣a+10． （1）求ab及a+b的值； （2）若a、b满足x，试求x的值． 23.阅读下列过程，回答问题． （1）通过计算下列各式的值探究问题：＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　；探究：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　． （2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简++． 24.已知x为实数且x2+3x+1＝0． （1）求x+的值； （2）求﹣的值． 25．观察下列等式：回答问题： ①＝1+﹣＝1 ②＝1+﹣＝1 ③＝1+﹣＝1，… （1）根据上面三个等式的信息，猜想＝　 　； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式； （3）验证你的结果． 26．阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|， 当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）； 当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4； 所以，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当3≤a≤7时，化简：＝　 　； （2）请直接写出满足＝5的a的取值范围　 　； （3）若＝6，求a的取值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $