第11章 二次根式 二次根式的概念 讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第十一章 二次根式 第十一章 二次根式 知识点1 二次根式的概念 二次根式有意义的条件 计算大冲关 （难度等级 ） 1．若式子在实数范围内有意义，则x的值可以是　 　 ． 2．要让代数式有意义，则x的值可以是　 　 ． 3．计算：当x＝2时，二次根式　 　 ． 4．若x，y为实数，且，则 　 　 ． 5．若y15，则的算术平方根为　 　 ． 6．若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 7．已知a、b是等腰△ABC的两边，且满足． （1）求6a+2b的算术平方根； （2）求等腰△ABC的周长． 8．已知实数x、y满足，求的立方根． 9．已知x，y是实数，且，求（x﹣y）2026． 10．利用所学知识完成以下两题． （1）已知：有意义，求的值． （2）已知（2ambm+n）2＝ka10b12，求： ①k、m、n的值是多少？ ②2k﹣m2+4mn的值． 第十一章 二次根式 二次根式的性质（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．化简：　 　 ． 2．若，则m﹣20252＝　 　 ． 3．已知的值为 　 　 ． 4．若a＞0，化简　 　 ． 5．计算：． 6．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：． 7．【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|． 当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2， 解得a＝2（舍去）； 当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4． 综上所述，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当3≤a≤7时，化简：； （2）若，求a的值； （3）请直接写出满足的a的取值范围为　　 ． 第十一章 二次根式 二次根式的性质（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．若二次根式有意义，化简． 2．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤5时，化简：　3　 ； （2）若等式4成立，则a的取值范围是　3≤a≤7　 ； （3）若8，求a的取值． 3．【阅读理解】通过观察下列各式的计算，探究下列问题． ①．探究：对于任意非负数有理数a，． ②．探究：对于任意负数有理数a，． 综上所述：对于任意有理数a，|a|．请你运用阅读中的信息解决下列问题： （1）填空：　　 ；　　 ；　　 ． （2）若有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简下列式子． ； 第十一章 二次根式 二次根式的性质与数轴 计算大冲关 （难度等级 ） 1．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为　 ． 2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 3．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 4．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 5．（1）若x，y都是实数且，求xy的平方根； （2）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 6．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示． （1）比较下列各式与0的大小（用“＞、＜”连接）：a　　 0，a﹣b　　 0，c﹣a　　 0； （2）化简：． 第十一章 二次根式 新定义问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道． 例题：求的值． 解：设， 两边平方得：， 即：，x2＝10， ∴， ∵， ∴． （1）则的值是　　 ； （2）请利用上述方法，求的值； （3）若，求n的值． 2．阅读： ①； ②； ③； （1）感知： 　　 ， 　　 ． （2）归纳：根据你的观察、猜想，直接写出第n个等式（不用证明）； （3）应用：利用这一规律计算（写出计算过程）． 第十一章 二次根式 新定义问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得以化简．例如： ∵ ∴ 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，x，y为正整数，求a的值． 2．阅读材料： 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mm＝（m±n）2开方，从而使得化简． 如： 解答问题： （1）填空：　　 ． （2）化简：（请写出计算过程）． （3）． 第十一章 二次根式 新定义问题（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，∵，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； （1）在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是　②④　 （填序号）： （2）已知，求代数式的值； （3）当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 2．观察下列各式及其验证过程： （1）， 验证：； （2）， 验证：． （1）按照上述两个等式及验证过程的基本思路，猜想第（3）个式子的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，直接写出第n个式子（n≥2的整数）． 3．综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若a＞b，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 二次根式有意义的条件参考答案 1.解：∵式子在实数范围内有意义， ∴3﹣x≥0， ∴x≤3， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 2.解：∵当x﹣2026≥0时，有意义， ∴x≥2026， 故答案为：x≥2026． 3.解：当x＝2时，二次根式， 故答案为：3． 4.解：根据题意得， 解得x＝8， ∴y＝2， ∴4， 故答案为：4． 5.解：∵y15， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 6.解：根据二次根式有意义，分式有意义得3﹣x≥0且x﹣2≠0， 解得x≤3且x≠2． 故答案为：x≤3且x≠2． 7.解：（1）由题意得，， 解得b＝3， 将b＝3代入， 可得， 由条件可得6×5+2×3＝36， ∴36的算术平方根是6， 即6a+2b的算术平方根是6． （2）当a为腰长时，等腰△ABC的三边长分别为5，5，3， ∵5+5＝10＞3，5+3＝8＞5， ∴能构成三角形， 此时周长为13， 当b为腰长时，等腰△ABC的三边长为3，3，5， ∵3+3＝6＞5，3+5＝8＞3， ∴能构成三角形， 此时周长为11， ∴等腰△ABC的周长为11或13． 8.解：∵16﹣x2≥0，x2﹣16≥0， ∴x2＝16， 解得x＝±4， 又∵分母中x+4≠0， ∴x≠﹣4， ∴x＝4， ∴， ∴， ∴的立方根为． 9.解：∵有意义， ∴， 解得x＝2， ∴y＝3， ∴（x﹣y）2026＝（2﹣3）2026＝1． 10.解：（1）由条件可得4﹣x≥0，x﹣4≥0， ∴x＝4， ∴y＝0﹣0+2×4＝8， ∴； （2）①∵（2ambm+n）2＝ka10b12， ∴4a2mb2m+2n＝ka10b12， 即k＝4，2m＝10，2m+2n＝12， ∴m＝5， 则2×5+2n＝12， 解得n＝1， ②由①得k＝4，m＝5，n＝1， ∴2k﹣m2+4mn＝2×4﹣52+4×5×1＝3． 二次根式的性质（一）参考答案 1.解：∵3﹣π＜0， ∴原式＝|3﹣π| ＝π﹣3． 故答案为：π﹣3． 2.解：∵若， ∴m≥2026， ∴|2025﹣m|＝m﹣2025， 代入原式得， 即， m﹣2026＝20252， 解得：m＝20252+2026． ∴m﹣20252＝2026． 故答案为：2026． 3.解：∵0，∴a、b异号， ∵a＞0，∴b＜0， ∴b﹣a﹣4＜0，a﹣b+1＞0， ∴原式＝a﹣b+4﹣（a﹣b+1） ＝a﹣b+4﹣a+b﹣1 ＝3， 故答案为3． 4.解：∵a＞0，∴． 5.解：原式＝|3﹣π|＝π﹣3． 6.解：由题意得a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ＝|b+c﹣a|+|c﹣（a+b）|﹣|b﹣（c+a）| ＝b+c﹣a+a+b﹣c﹣（a+c﹣b） ＝3b﹣a﹣c． 7.解：（1）∵3≤a≤7， ∴原式＝|3﹣a|+|a﹣7| ＝a﹣3+7﹣a ＝4； （2）∵， ∴|a+1|+|a﹣3|＝6， 当a＜﹣1时，|a+1|+|a﹣3|＝﹣（a+1）+（3﹣a）＝6， 解得：a＝﹣2， 当﹣1≤a＜3时，|a+1|+|a﹣3|＝（a+1）+（3﹣a）＝6，此时方程无解， 当a≥3时，|a+1|+|a﹣3|＝（a+1）+（a﹣3）＝6， 解得：a＝4． 综上所述，a的值为﹣2或4； （3）∵， |a﹣1|+|a﹣6|＝5， 当a≤1时，原式（1﹣a）+（6﹣a）＝5， 解得：a＝1， 当1＜a≤6时，原式（a﹣1）+（6﹣a）＝5，等式恒成立， 当a＞6时，原式（a﹣1）+（a﹣6）＝5， 解得：a＝6（舍去）， 综上所述：a的取值范围为1≤a≤6． 二次根式的性质（二）参考答案 1.解：根据题意得﹣2x+6≥0，解得x≤3， ∴x﹣4＜0，7﹣x＞0， ∴ ＝4﹣x+7﹣x ＝11﹣2x． 2.解：（1）∵2≤a≤5， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5） ＝3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3，符合题意； 当3＜a＜7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7符合题意； 当a≥7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7，符合题意； 综上所述，3≤a≤7； （3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8， 当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0， ∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8， ∴a＝﹣2，符合题意； 当﹣1＜a＜5时， ∴a+1＞0，a﹣5＜0， ∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8， ∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意； 当a≥5时， ∴a+1＞0，a﹣5≥0， ∴a+1+a﹣5＝8， ∴a＝6，符合题意； 综上所述，a＝﹣2或a＝6； 故答案为：（1）3；（2）3≤a≤7 3.解：（1）2024，2025，π﹣3.14， 故答案为2024，2025，π﹣3.14； （2）①解：由数轴得，b＜0，a＞0，|b|＞|a|， 原式＝|a|+|b|﹣|b﹣a| ＝a﹣b﹣（a﹣b） ＝a﹣b﹣a+b ＝0． 二次根式的性质与数轴参考答案 1.解：由题意得， a＜0＜b＜c，且|a|＜|c|， ∴c﹣b＞0，a+c＞0， ∴ ＝c﹣b﹣（a+c） ＝c﹣b﹣a﹣c ＝﹣a﹣b， 故答案为：﹣a﹣b． 2.解：由数轴可得：a+1＞0，b﹣1＞0，a+b＞0， 故原式＝a+1﹣（b﹣1）﹣（a+b） ＝a+1﹣b+1﹣a﹣b ＝﹣2b+2． 3.解：由数轴得：c＜a＜0＜b，则a﹣b＜0，b﹣c＞0， ∴ ＝|a﹣b|﹣（b﹣c）+|c| ＝﹣a+b﹣b+c﹣c ＝﹣a． 4.解：由数轴得，c＜a＜0，b＞0， ∴a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＞0， ∴ ＝|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c| ＝（b﹣a）﹣（﹣a﹣c）+（b﹣c） ＝b﹣a+a+c+b﹣c ＝2b． 5.解：（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴xy的平方根为； （2）根据题意得：a＞0＞b＞c，|c|＞|a|＞|b|， ∴b﹣c＞0，a+b＞0，c﹣a＜0， ∴ ＝（b﹣c）﹣（a+b）﹣b+（a﹣c） ＝b﹣c﹣a﹣b﹣b+a﹣c ＝﹣b﹣2c． 6.解：（1）由数轴得，c＜b＜0＜a， ∴a＞0，a﹣b＞0，c﹣a＜0， 故答案为：＞；＞；＜； （2）原式＝|a|﹣|a﹣b|+|c﹣a| ＝a﹣（a﹣b）+（a﹣c） ＝a﹣a+b+a﹣c ＝a+b﹣c． 新定义问题（一）参考答案 1.解：（1）∵， ∴． 故答案为：； （2）根据题意，设， 两边平方得：， 即， x2＝14， ∴， ∵， ∴； （3）根据题意可知，两边平方， 得， ∴， ， 81﹣n＝49， 解得：n＝32． 2.解：（1）， ， 故答案为：； （2）． 理由： ； （3）原式 ． 新定义问题（二）参考答案 1.解：（1）； （2）； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∵a，x，y为正整数， ∴或， 当时，a＝x2+3y2＝12+3×52＝76， 当时，a＝x2+3y2＝52+3×12＝28， 综上：a的值为：76或28． 2.解：（1）； 故答案为：； （2）； （3） ． 新定义问题（三）参考答案 1.解：（1）在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④． 故答案为：②④； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴． （3）由条件可知x≥﹣2． 原式 ＝2+1＝3． 当且仅当，即x＝﹣2时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 2.解：（1）根据题两个等式及验证过程的基本思路，猜想第（3）个式子的变形结果为：， 验证：； （2）∵， ， ∴ ． 3.解：（1）， ，， ∵45＜75， ∴， ∴； （2），， ，， ∵20＜32， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $