2026年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟测试数学试题

**基本信息** 2026年学业水平合格性考试数学模拟卷，以集合、函数、立体几何等基础知识点为核心，融入《哪吒之魔童闹海》观影年龄调查、骑行堵塞图像等现实情境，考查数学眼光观察与逻辑思维能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|集合运算、函数性质、概率计算等|基础概念辨析，如同一函数判断、充分必要条件分析| |填空题|4/16|向量垂直、解三角形、三角函数图像|中档能力考查，如异面直线成角余弦值计算| |解答题|3/30|统计（频率分布直方图）、立体几何（面面垂直）、函数（奇偶性）|现实情境应用（观影年龄统计求平均数）、多解法（线面角）、分类讨论（含参不等式求解）|

2026年普通高中学业水平合格性考试模拟测试 数学 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合M={0,a,a2},N={-2,-1,0,1,2},若1eM,则M∩N= A.{0, B.{-1,0,1 C.{0,1,2 D.{-2,-1,0,1,2 2.已知命题p:x∈R,x2-x+1≤0，则一P为 A.3x∈R,x2-x+1≤0 B.xeR,x2-x+1≤0 C.3x∈R,x2-x+1>0 D.VxER,x2-x+120 3.若A={-2,-1,0,1,2,B={0,1,3,则AUB= A.{-2,-1,0,1,2,3 B.{0,1,2,3 C.{0, D.{0,1,3 4.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.y=x+1与y=+x B.f=与=： (x)2 C.f)=|x|与gx)= D.f(x=x与gt)=log.a' 5.下列选项正确的是 A.-22=-2B.(a3）°=a D. a° C.20=√2 a =a3 6.若aeR,则“a=3”是“a+1)(a-3=0”的 A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的是 A.y=3x-2 B.y=x+1 C.y=x D.y=x2 [V,0≤x<2 8.设f（x)= 2x-1,x≥2 若f(a=1,则a= A.1 B.4 C.1或4 D.1或2 数学第1页共4页 9.函数y=4x-2的零点是 A.2 B.(-2,0) D. 10.已知a=25,b=log,2,c=log5,则a,b,c的大小关系为 A.axb>c B.a>c>b C.cxaxb D.c>b>a 1l.函数y=tan是 2 A.最小正周期为4π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为4π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数 12.某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲 话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为 40 B启 C. 10 D.9 10 13.已知某单位有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽 取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本的容量为 A.44 B.40 C.36 D.42 14.为了得到函数y=cos3 1 的图象，可以将函数y=Cosx的图象 A.向左平移亚个单位长度 B.向右平移亚个单位长度 3 3 C.向左平移上个单位长度 D.向右平移个单位长度 3 3 15.已知cosa=行a∈(0，列，则cos号- 1 A,-6 B.V6 3 3 C.±6 3 D.3 3 16.已知1，m为两条不同的直线，，B为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若1⊥，m⊥B,a⊥B,则1/lm B.若l1m,1ca,则m/la C.若a∩B=l,lllm,则m至少与a,B中一个平行 D.若1ca,mcB,11m,则calβ 17.若函数y=cosx在区间[-a,2a]上的值域为 则a= B.3 D. 数学第2页共4页 18.小芒同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些 时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 ◆离开家的距离 B D 时间 0 时间O 时间O 时间 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分 19.在△ABC中，已知A=T,BC=2V,当边BC的中线AD=√7时，△ABC的面积为 3 20.已知向量a=1,-3),b=(t,t-8),且a/乃，则t= 21.函数y=4si(@x+p),0>0的部分图像如图所示，则0=· 2 22.在三棱柱ABC-AB,C,中，BC⊥CC,AC⊥CC,A,B=√3，CC,=1,则异面直线 A,B与CC,所成角的余弦值为 三、解答题：共3道小题，满分30分。 23.(10分)2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中 国动漫产业的关注.为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某 电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为 左闭右开的区间)，得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）. 频率组距 0.035 0.020 0.010 88 0V5152535455565年龄/岁 (1)求a的值； (②)求该样本的平均数x和中位数y. 数学第3页共4页 24.(10分)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，AB⊥AC,且AB=AC=2,AA=2V2,E为 AA,中点 A C B E (I)求证：平面ABC,⊥平面BCE; (2)求BC和平面BEC所成的角的大小 25.(10分)已知函数f(x)=log.(3x+1),g(x)=1og.(1-3x)(a>0且a≠1). (1)求F(x)=f(x)-g(x)的定义域，并判断函数F(x)的奇偶性； (2)若f()-g(x)>0,求x的取值范围. 数学第4页共4页 2026年普通高中学业水平合格性考试模拟测试 数学参考答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 B C A D B A B C D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 B B C D B B B 二填空题 19.2√5 20.2 21.2 22 3 33 三解答题 23. (1)由题意知：10×0.01+10a+10×0.035+10×0.02+10×0.004+10×0.001=1,所以 a=0.030 (2)由题意知： x=(10×0.01+20×0.03+30×0.035+40×0.02+50×0.004+60×0.001×10=28.1, 前两个矩形面积之和为10×(0.01+0.03)=0.4， 前三个矩形面积之和为0.4+10×0.035=0.75，所以ye（25,35, 由中位数的定义可行04+-2列x0.035=05,解行)-195，即中位数为15 7 24. (1)因为直三棱柱ABC-A,B,C,中AA⊥平面ABC,ABc平面ABC, 所以AA⊥AB,又AB⊥AC,AA∩AC=A,所以AB⊥平面ACCA, 又CEc平面ABC,所以AB⊥CE. 矩形ACCA中，tan∠C,AC=tan∠AEC=√2，所以∠CAC=∠AEC 从而∠C,AC+∠ECA=∠AEC+∠ECA=90°，所以AC,⊥CE. 由AB⊥CE,AC,⊥CE,AB∩AC=A,得CE⊥平面ABC 又CEc平面BCE,所以平面ABC1⊥平面BCE; (2)法一：取BC的中点D,设B,C∩BC,=O,连接OD,OE,设A0nED=H,连接BH, 数学第5页共4页 0为BC,的中点，所以ODIICC1,且OD=CC, 2 又4ECC,且AE=CC,所以0D4E且0D=4E, 又EA⊥AD,EA=AD=√2，所以四边形ADOE为正方形，所以AO⊥DE, 直三棱柱ABC-A,B,C,中，AA⊥平面AB,C,BCc平面ABC,所以AA⊥BC, 又因为AB=AC,D为BC中点，所以AD⊥BC,所以BC⊥平面AEOD, 因此BC⊥OH,又OH⊥ED,所以OH⊥平面BEC, 所以∠OBH为BC,和平面BEC所成的角， 又om=50=108-8c-5Bc+C=2, 2 2 A 所以sin∠OBH= OH 1 所以∠0BH=30°， OB 2 即BC,和平面BEC所成的角的大小为30°； 法二：由(1)知平面ABC,⊥平面BCE,设AC,CE交于G, 所以可推得BC,和平面BEC所成的角即为∠CBG, 由CE⊥平面ABC,得CE L BG,CE⊥AC,在R△E4AC中，EG=4E-6 EC 3 所以在RIA BEG中，BG=VBE-EG=6-行等 62_4V3 在RtACC中，CG=CC-8=4W5 AC253 1 在等腰△BC,G,cos∠C,BG= BG=45=2 又∠C,BGE ，2 所以∠CBG=30°.即BC,和平面BEC所成的角的大小为30°； 法三：设BC,和平面BEC所成的角为O,设C到平面BCE的距离为dc,-BcE, 数学第6页共4页 设E到平面BCC的距离为dE-cG,dE-cG=AD=V2, 8CE的面泉5m-8CA0-分22x2=25, 2 △BCC,的面积SABCC= 8ccG=x22x25=4, 2 又三棱锥C-BEC的体积V,-ic='EBcG,即写SacE·dg-cE=方Sd-cG' 从而得dG-BCB= S△cG·dE-BcG-4×V2 =2, SABCE 2W2 所以，sin0=4e_2-1, BC 42 又∠OBH∈0， ,所以∠OBH=30°，即BC和平面BEC所成的角大小为30° 25. (1)由F(x)=log(3x+1)-log.(1-3x), 3x+1>0 可得 1-3x>0' 解得：一3 1 <x< 3 所以F)的定义域为3 11 F(x)的定义域关于原点对称， 又F(-x)=log(1-3x)-l1og(3x+1)=-F(x), 所以F(x)是奇函数， (2)f(x)-g(x)>0,即log(3x+)>log(1-3x), 3x+1>0 当a>1时， 1-3x>0 ,解得：0<x3 3x+1>1-3x 3x+1>0 当0<a<1时， 1-3x>0 解得： 3r<0 3x+1<1-3x 综上，当a>1时，x得取值范围为 0,- 3 当0<a<1时，x得取值范围为 ,0 数学第7页共4页