精品解析：陕西省洛南中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

陕西省洛南中学 2025—2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 7种 D. 5种 2. 已知随机变量，若 ，则 （ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 15 C. 20 D. 25 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 8. 信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且各位置上数字的接收过程相互独立，则接收的数字序列为的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若随机变量，则，，. A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第行中，从左到右第8个数是 B. 第行的第个数最大 C. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D. 在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，且，则______. 13. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 14. 已知，则______，______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： （1）； （2）含的项； （3）各项系数和. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 17. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． （1）求乙恰好答对两个问题的概率； （2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 18. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 19. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省洛南中学 2025—2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 7种 D. 5种 【答案】A 【解析】 【分析】由分步计数原理结合题设可得答案. 【详解】根据分步乘法计数原理，共有种不同的布置方案. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性求解. 【详解】已知，正态曲线关于均值对称， 根据对称性， ； 所以 . 3. 在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记事件A为“甲打破纪录”，事件B为“乙打破纪录”， 因为，，， 所以在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为==. 4. 从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类和分步计数原理，结合组合数公式求解. 【详解】可分两种情况：第一种情况，只有1所中学入选，不同的选法有种； 第二种情况，有2所中学入选，不同的选法有种. 根据分类加法计数原理知，不同的选法有种 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得该函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由得，故函数的增区间为. 6. 的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解. 【详解】展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 7. 已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，再分别由求出，由期望公式求出，最后由期望性质求出. 【详解】由题意可得，解得或（舍去）. 因为，， 所以， 则. 8. 信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且各位置上数字的接收过程相互独立，则接收的数字序列为的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为， 每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为， 若发送，接收为，则概率， 若发送，接收为，则概率， 若发送，接收为，则概率， 接收的数字序列为的概率为： ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若随机变量，则，，. A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据学生的体育成绩，求得期望和方差，再结合正态分布曲线的对称性，求得相应的概率，即可求解. 【详解】由题意知，学生的体育成绩， 可得期望，方差， 即，，故A、B正确； 由，， ， 所以，故D正确； 因为， 所以， 即，故C错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 11. 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第行中，从左到右第8个数是 B. 第行的第个数最大 C. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D. 在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用组合数的对称性，结合二项式系数的对应关系计算，判断选项A；根据二项式系数的单调性，偶数行最大系数在正中间，判断选项B；利用组合恒等式判断选项C；先确定第3列的数为，再结合组合恒等式计算，判断选项D． 【详解】根据题意，杨辉三角第行对应二项式系数，第行第个数为， 则第行，从左到右第个数： ，故正确; 第行，最大二项式系数在中间位置：行数，中间位置为， 故第个数最大，故B正确； 由组合恒等式，是第行的中间项， 故第行所有数字的平方和等于第行的中间项，故C正确； 由，结合各行第3列的数为，则 ，故D错误． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，且，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题设，则. 13. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解. 【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学 先取2名同学看作一组，选法有： 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 14. 已知，则______，______． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】运用二项式的通项公式，结合求导的运算法则进行求解即可. 【详解】展开式的通项 ， 令，得，则，即． 设， 则． 令，得． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： （1）； （2）含的项； （3）各项系数和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为二项式系数的和为64，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，则二项式为， 所以二项式展开式的通项为， 令，得，故含的项为； 【小问3详解】 令，得各项系数和为. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过求导得到切线斜率，再计算切点处的函数值，最后用点斜式写出切线方程即可； (2)求导找到函数的极值点，求出极大值与极小值，由题意列方程，求解方程即得参数值. 【小问1详解】 当 时，， 所以，则， 又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，因， 令，得或，列表如下： 3 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，并且极小值为， 当时，有极大值，并且极大值为， 因为的极大值与极小值之和为16， 所以，解得. 17. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． （1）求乙恰好答对两个问题的概率； （2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 【答案】（1） （2）选择甲去参赛更合理 【解析】 【分析】（1）结合二项分布定义进行求解即可； （2）根据超几何分布求出“甲回答问题的正确个数”的分布列、数学期望和方差，结合二项分布的定义求出“乙回答问题的正确个数”的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可 【小问1详解】 由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为. 【小问2详解】 令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则，，， 所以， 由题意，随机变量，所以， 又，， 所以， 可见乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，所以选择甲去参赛更合理． 18. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【小问1详解】 设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，； 所以 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 8 15 所以. 19. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，） 【答案】（1）最小值为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，找到唯一极小值点，从而确定函数的最小值； （2）通过参变分离，将恒成立问题转化为求函数的最大值问题，再利用导数研究的单调性，得到其最大值，进而求出的取值范围。 （3）利用第 (2) 问得到的不等式结论，构造可放缩的不等式，再通过累加法对个不等式求和，最终得到数列不等式的证明. 【小问1详解】 当时，函数 ，定义域为，， 所以当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且最小值为. 【小问2详解】 当时，恒成立等价于恒成立， 令，求导得， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即恒成立， 所以当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以a的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，（），即（），所以， 则，当且仅当时取等号， 所以，，…，， 将以上个不等式左右两边分别相加得 ， 即（，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $