精品解析：四川成都市第四十三中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题

成都市第四十三中学校2025—2026学年度（下） 半期考试数学试卷 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（    ） A. 3.4×10-9m B. 0.34×10-9m C. 3.4×10-10m D. 3.4×10-11m 3. 下列不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，描述同位角、内错角、同旁内角的关系不正确的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是内错角 C. 与是同旁内角 D. 与是同旁内角 5. 将一个长方形纸条折成如图的形状， 已知，则为（ ） A. 66° B. 70° C. 76° D. 80° 6. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在处，依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂直的定义 C. 点到直线，垂线段最短 D. 两点确定一条直线 7. 已知，作边上的高，下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列四个选项中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若有意义，则的取值范围______． 10. 若，，则______． 11. 若 ， ，则 ______． 12. 若，则______． 13. 如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，顶点放在直线上，若，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 填空完成下面的说理过程： 如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， （_____________________）， ∴（_____________________）， ∴（_____________________）， ∴（_____________________）． ∵ (已知)， ∴（_____________________）， ∴________（_____________________）， ∴（_____________________）． 17. 如图，点D，E分别在的边，上，，点F在线段上，且 （1）求证：； （2）若平分，，求证：． 18. 如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． （1）【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； （2）【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若是完全平方式，则k的值为______． 20. 若，，则的值为_______． 21. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为________． 22. 如图，D是△的边上任意一点，E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是_______． 23. 如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则______． 二、解答题（本题共3小题，共30分） 24. 配方法是数学中重要的一种思想方法． 它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）①已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； ②若可配方成（m、n为常数），则 ； 探究问题： （2）①已知，则 ； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x、y满足，求的最值． 25. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是　 　 ； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 26. 如图1，直线与直线、分别交于点、，平分交直线于点，． （1）求证：； （2）如图2，点在线段上，点在线段上，平分，若，求的度数； （3）如图3，点在线段上，点为射线上一动点且不与点重合，连接，作的角平分线与相交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市第四十三中学校2025—2026学年度（下） 半期考试数学试卷 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法法则，解决本题的关键是掌握以上基本的法则． 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（    ） A. 3.4×10-9m B. 0.34×10-9m C. 3.4×10-10m D. 3.4×10-11m 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：根据科学记数法的概念可知，0．00000000034用科学记数法可表示为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题的关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B．，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； C．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 如图，描述同位角、内错角、同旁内角的关系不正确的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是内错角 C. 与是同旁内角 D. 与是同旁内角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键熟记同位角、内错角、同旁内角的特征．利用同位角、内错角、同旁内角的定义判定即可． 【详解】解：A、与是同位角，故A选项正确； B、与是内错角，故B选项正确； C、与是同旁内角，故C选项正确； D、与不是同旁内角，故D选项错误． 故选：D． 5. 将一个长方形纸条折成如图的形状， 已知，则为（ ） A. 66° B. 70° C. 76° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形性质中折叠问题，平行线性质，角度计算．根据题意可知折叠两角度相等，利用平行线性质，继而得到本题答案． 【详解】解：将本图命名如下： ∵一个长方形纸条折成如图的形状，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在处，依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂直的定义 C. 点到直线，垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 7. 已知，作边上的高，下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的作法成为解题的关键． 根据三角形高的定义，过A点作的垂线即可解答． 【详解】解：作边上的高，作图中正确为： 故选：C． 8. 如图，下列四个选项中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定，利用平行线的判定定理进行分析即可． 【详解】解：A、当时，由内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故B不符合题意； C、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，而不能得到，故C符合题意； D、当时，由内错角相等，两直线平行得，故D不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若有意义，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂有意义的条件，根据进行解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴ 故答案为：． 10. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式求解即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 若 ， ，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用逆用同底数幂的除法法则进行计算，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴． 12. 若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 13. 如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，顶点放在直线上，若，则的度数为______． 【答案】##23度 【解析】 【分析】根据平行线得到，再结合三角板的度数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，幂的运算，多项式乘以多项式以及乘法公式． （1）根据负整数指数幂以及零指数幂即可求出答案； （2）根据积的乘方以及同底数幂的乘除法即可求出答案； （3）原式利用多项式乘以多项式，完全平方公式计算，去括号合并即可得到结果； （4）原式利用平方差公式，完全平方公式计算即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】a+2b，． 【解析】 【分析】先根据乘法公式算乘法，然后合并同类项，再计算除法，把原式化简，最后代入计算即可． 【详解】解： =a+2b， 当时，原式=-+2=． 【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握多项式除单项式的法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 16. 填空完成下面的说理过程： 如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， （_____________________）， ∴（_____________________）， ∴（_____________________）， ∴（_____________________）． ∵ (已知)， ∴（_____________________）， ∴________（_____________________）， ∴（_____________________）． 【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角线段，根据平行线的性质与判定定理结合已给推理过程证明即可． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵ (已知)， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 17. 如图，点D，E分别在的边，上，，点F在线段上，且 （1）求证：； （2）若平分，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据平行线的性质可判定，再结合已知条件可得出，据此再根据平行线的判定可得出结论； （2）首先由（1）得到，结合角平分线的定义可得到，再由即可得出，结合即可得此，最后再由三角形的外角定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ∴． 【小问2详解】 证明：由（1）知：， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 18. 如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． （1）【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； （2）【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 【答案】（1） ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算是解决问题的关键． （1）先由，得进而得，则，继而得，再根据即可得出，由此根据角平分线的定义可得出平分； （2）由得，再由得，根据角平分线的定义得，即，由此可得的度数； （3）由（2）得，即，再根据邻补角的定义得，进而得，由此可得和存在的数量关系． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 平分， ， 即， ； 【小问3详解】 解：与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若是完全平方式，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式，可得到． 【详解】解：∵是完全平方式，， ∴， 故答案为：． 20. 若，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，由可得，进而得到，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂除法和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， ， ， ， ， 故答案为：． 21. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了两个角的两边互相垂直的两种情况，当两个角的两边分别垂直时，则这两个角相等或互补．解答的关键是能准确进行分情况讨论并画出图形，再根据情况列式解答即可． 【详解】 解：因为在同一平面内与的两边分别垂直，所以分两种情况讨论： 情况一：当时,如图1，设，则， 由比的3倍少， 可得：， 解得：， ； 情况二:当时,如图2，设， 则，可得： ， 解得：， ． 综上，的度数为或． 22. 如图，D是△的边上任意一点，E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 故答案为：5． 23. 如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则______． 【答案】##32度 【解析】 【分析】过点G，M，H作，，，根据已知易得：，再利用锯齿模型可得，然后利用角平分线的定义可得，，从而可得，进而可得，最后利用猪脚模型可得，即可解答． 本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点G，M，H分别作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 二、解答题（本题共3小题，共30分） 24. 配方法是数学中重要的一种思想方法． 它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）①已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； ②若可配方成（m、n为常数），则 ； 探究问题： （2）①已知，则 ； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）①；②； （2）①； ②当时，为“完美数”，理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把29分为两个整数的平方即可； 5原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， ，， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②略 （3）， ，即， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为． 25. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是　 　 ； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 【答案】（1）；（2）①24；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式；方法2：用小正方形的边长列式，根据方法1和方法2表示的图形面积相等，即可得到等量关系； （2）①根据（1）所得等式求出，再根据多项式乘法法则将所求代数式展开，整体代入计算求值即可；②利用完全平方公式求解即可 （3）根据图形列式得到阴影部分面积和为，再根据（1）所得等式计算即可． 【详解】解：（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式可得：， 方法2：用小正方形的边长列式可得：； 故答案为：；； ∵方法1和方法2表示的图形面积相等， ∴； 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：24； ②∵，， ∴ ， ∴； （3）阴影部分面积和为： ， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积和等于． 26. 如图1，直线与直线、分别交于点、，平分交直线于点，． （1）求证：； （2）如图2，点在线段上，点在线段上，平分，若，求的度数； （3）如图3，点在线段上，点为射线上一动点且不与点重合，连接，作的角平分线与相交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 点在线段上时，；点在射线上时，； 理由如下：如图，设交于点，设，， 当点在线段上时， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， 同理：， ∴， ∴； 当点在射线上时，如图， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， 同理：， ∴， ∴； 综上，点在线段上时，；点在射线上时，． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由平分及（1）的结论得，由平分，得，过点作，由平行线的性质得，由此即可求得结果； （3）分两种情况：点在线段上及点在射线上考虑，利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵平分，，， 由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 如图，过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $