命题大赛 新疆高一数学下学期期末测试2025-2026学年（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一数学期末卷立足核心素养，以景观步道、晶体结构等真实情境覆盖立体几何、向量等模块，通过创新题（如欧拉恒等式）与分层设计考查数学眼光与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|直观图、分层抽样、复数几何意义|含情境题（空气质量指数）、创新题（欧拉恒等式）| |填空题|3/15|向量夹角、空间线面关系、圆锥表面积|基础与空间观念结合| |解答题|5/77|复数纯虚数、频率分布直方图、四棱锥体积|综合考查数据意识（17题）、推理能力（19题），情境真实（工厂零件模型）|

高一数学下学期期末测试 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C A D D C C B BD ABC ACD 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【答案】D 【分析】根据直观图定义以及矩形的结构特征即可得解. 【详解】由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度， 直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度， 故矩形的直观图是平行四边形． 故选：D. 2．【答案】C 【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】由题设，可得. 故选：C 3．【答案】B 【解析】 【分析】先求出高一学生的占样本的抽样比，再乘以200即可. 【详解】由题意：从高一年级抽取的学生人数为：. 故选：A 4．【答案】D 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D 5．【答案】D 【分析】直接根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6， 所以该正四棱台的体积. 故选：D. 6．【答案】C 【分析】根据百分位数的定义即可求解. 【详解】空气指数的8个数从小到大排列为：78,85,91,97,99,108,112,125 又，所以75%分位数是 故选：C． 7．【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质、并事件的概率的求法判断C和D. 【详解】对于A，若，则故A不正确； 对于B，若，则故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，，而， 所以，故D不正确. 故选：C. 8．【答案】B 【分析】根据欧拉公式 ，再分析复数的实部和虚部的符号即可. 【详解】由题意得，又， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】BD 【分析】根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD. 【详解】对于A,故A错误， 对于B，则，故，故B正确， 对于C，为虚数，故C错误， 对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确， 故选：BD 10．【答案】ABC 【分析】对选项A，根据线面垂直的判定于性质判断A正确；对选项B，根据题意得到，再利用线面平行的判定即可得到平面，即B选项正确；对选项C，首先求出正方体外接球半径，再求表面积即可判断C正确；对选项D，根据，即可判断D误. 【详解】对选项A，连接，因为平面，且平面，则， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 对选项B，因为， 所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对选项C，正方体外接球半径， 所以球体表面积，故C正确； 对选项D，，故D错误. 故选：ABC 11.【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆柱侧面积公式计算判断A，根据圆锥表面积公式计算判断B，根据球的表面积公式求解与圆柱的侧面积比较即可判断C，根据体积公式求解三个几何体的体积即可判断D. 【详解】对于A：球半径为，所以圆柱侧面积为.故A正确； 对于B：圆锥侧面积为，表面积为，故B错误； 对于C：球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等.故C正确； 对于D： 所以圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2，故D正确. 故选：ACD. 二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 12．【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积公式求解模长即可. 【详解】因为，所以． 故答案为： 13. 【答案】②④ 【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换,进行证明,也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析. 【详解】, 与平行,相交或异面,故①不正确; , 由平行公理可知故②正确; . 与平行,相交或异面故③不正确; ,, 由面面平行的性质可知,故④正确. 故答案为:②④. 14．在中，角所对的边分别为，已知，且的面积为，则的周长为______. 【答案】 【分析】由正弦定理和已知，可以求出角的大小，进而可以求出的值，结合面积公式和余弦定理可以求出的值，最后求出周长. 【详解】解:由正弦定理及得，，，， 又，，，由余弦定理得， .又，，， ，的周长为. 三、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【答案】（1）2 （2） 【分析】（1）根据复数的除法运算，结合纯虚数的概念，求的值. （2）根据复数模的概念列不等式，解不等式可求的取值范围. 【小问1详解】 因为为纯虚数， 所以. 【小问2详解】 由题意：， 所以. 所以的取值范围为：. 16．【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，从而求出模长；（2）利用向量垂直得到方程，求出实数k的值. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 由， 又与垂直，所以， 解得：． 17.【答案】（1）0.008；平均数为，中位数； （2）. 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出，再估算平均数和中位数. （2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 依题意，，解得， 数学成绩的平均数为 由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62， 所以该校数学成绩的中位数，则，解得； 【小问2详解】 抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人， 记在内的4人为a，b，c，d，在内的1人为A， 从5人中任取3人，，共10个， 选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种， 所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是. 18．【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得 即，解得（负舍）； 则 【小问2详解】 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 19.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，通过证明即可证明PB∥平面； （2）因为，可通过证明得证⊥平面进而得证； （3）设AD的中点为H，连结EH、CH，可证与平面所成角为，由几何关系可求. 【详解】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，连接OE． 四边形是矩形O为BD的中点， 又E是的中点．PB∥OE．..............................3分 又平面，平面， PB∥平面；..........................................5分 （2）证明：⊥平面，且四边形是矩形， ，，又，⊥平面；.............................8分 CD∥AB，⊥平面；又平面， 平面⊥平面；................................................................10分 （3）设AD的中点为H，连结EH、CH， PA⊥平面ABCD，EH∥PA，EH⊥平面ABCD， EC是平面ABCD的斜线，HC是EC在平面ABCD内的射影， 即为斜线EC和平面ABCD所成的角．.............................13分 在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，， 又，在中，， 与平面所成角的正弦值为..................................................17分 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 空间几何体・直观图（斜二测画法），矩形直观图的形状判断 0.9 2 单选题 5 平面向量，向量垂直的坐标条件，向量坐标运算 0.85 3 单选题 5 统计・分层随机抽样，按比例抽取样本的频数计算 0.9 4 单选题 5 解三角形，正弦定理，三角形解的个数判断，大边对大角 0.75 5 单选题 5 空间几何体，正四棱台体积公式，台体体积计算 0.8 6 单选题 5 统计・百分位数，第 p 百分位数计算步骤，数据排序 0.85 7 单选题 5 概率，互斥事件、必然事件的概念，概率的基本性质，交事件概率范围 0.7 8 单选题 5 复数，欧拉公式，复数的几何意义，复平面象限判断 0.75 9 多选题 6 复数，共轭复数，复数的模，复数四则运算，复平面内点的位置 0.75 10 多选题 6 立体几何，正方体中线线垂直、线面平行判定，正方体外接球表面积，三棱锥体积计算 0.65 11 多选题 6 空间几何体，圆柱侧面积，圆锥表面积，球的表面积，圆柱 / 圆锥 / 球体积比 0.65 12 填空题 5 平面向量，向量数量积，向量夹角，模长计算 0.7 13 填空题 5 立体几何，空间点线面位置关系，线线平行 / 垂直判断，命题真假判断 0.65 14 填空题 5 解三角形，正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，三角形周长计算 0.6 15 解答题 13 复数，纯虚数定义，复数四则运算，复数模的几何意义，取值范围求解 0.7 16 解答题 15 平面向量，向量模长计算，向量垂直条件，向量坐标运算，参数求解 0.7 17 解答题 15 统计与概率综合，频率分布直方图，平均数、中位数计算，分层抽样，古典概型概率 0.65 18 解答题 17 解三角形综合，正弦定理、余弦定理，三角恒等变换，三角形面积与周长计算 0.55 19 解答题 17 立体几何综合，线面平行证明，线线垂直证明，二面角计算，三棱锥体积计算 0.45 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末 高一数学下学期期末测试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．矩形的直观图是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 三角形 D. 平行四边形 2．已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3．（情境题）开展国家学业水平质量检测，某校高一、高二、高三在校总人数共1000人，三个年级学生人数之比为2:3:5。现采用分层随机抽样的方式，从中抽取容量为300的样本开展学情核查，则从高一年级抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 4．（自创题）某市计划修建一处三角形景观步道，如图所示，步道中，已知步道边千米，步道拐角，步道边千米，为了规划拐角处的景观灯位置，需要求拐角 B 的大小，则 B 等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 5.（自创题）为打造观光城市，市政对景观桥进行了改造，在桥的两边栏杆上增建了两排正四棱台形状的装饰石柱，准备在上面安装照明装置，已知石柱上底面边长为4分米，下底面边长为2分米，石柱高度为6分米。为计算浇筑该石柱所需的混凝土体积，求每个正四棱台石柱的体积为（ ） A. 60 B. 20 C. 40 D. 56 6．（自创题）下表记录了库尔勒某个月连续8天的空气质量指数（AQI）： 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 空气质量指数（AQI） 125 112 78 108 85 91 97 99 则这些空气质量指数的第75百分位数为（ ） A.108 B. 109 C. 110 D. 99 7.（情境题）某班开展 “优秀团员”“学习标兵”“文体之星” 三项评选活动，已知：被评为 “优秀团员” 的概率为 0.4（事件 A），被评为 “学习标兵” 的概率为 0.5（事件 B），被评为 “文体之星” 的概率为 0.6（事件 C），下列关于这三项评选事件的结论中，正确的是（ ） A. 是必然事件 B. 与是互斥事件 C. D. 8．（创新题）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 10.（情境题）在某晶体结构的简化模型中，原子排列构成一个棱长为2的正方体，某粒子在晶体内部运动，其轨迹涉及正方体的棱、面对角线与体对角线。下列关于粒子运动路径与空间关系的四个结论中，正确的是（ ） A. 面对角线A1C1与粒子运动路径BD1始终垂直 B. 面对角线A1C1与平面ACD1内的粒子运动轨迹无交点（即A1C1//平面ACD1） C. 包裹该晶体模型的外接球表面积为12π D. 以面ACD为底面、D1为顶点的区域内，粒子可运动的空间体积（即三棱锥D1-ACD的体积）为 11．（情境题）学校为校园文化节设计了一组主题景观建筑模型，包含圆柱形凉亭、圆锥形尖塔和球形雕塑，三者的尺寸满足：圆柱与圆锥的底面直径和高，都与球形雕塑的直径2R相等。下列关于这组模型的表面积与体积的结论中，正确的是（ ） A. 圆柱形凉亭的侧面积为 B. 圆锥形尖塔的表面积为 C. 圆柱形凉亭的侧面积与球形雕塑的表面积相等 D. 圆柱凉亭、圆锥尖塔、球形雕塑的体积之比为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量与的夹角为，，，则______． 13．用，，表示空间中三条不同的直线，，，表示平面，给出下列命题: ①若，，则;②若，，则; ③若，，则;④若，，则. 其中真命题的序号是 . 14． 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则圆锥的表面积为 ．异面直线与所成角的余弦值为 ． 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数，且为纯虚数. （1）求的值； （2）若复数满足，，求的取值范围. 16.已知平面向量，， （1）求；（2）若与垂直，求实数k值． 17．（15分）（情境题）为统筹后续数学教学规划，某中学研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 18．（17分）（情境题）某工厂用3D打印机制作三角形零件模型，已知零件为，在打印参数中，测得． （1）求的值；（2）求的值；（3）求的值． 19．（17分）在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：． （3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $