精品解析：新疆阿克苏市实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

阿克苏市实验中学2024—2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 命题人：杨宗宇 审核人：郑先舟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解。 【详解】，故这组数据的75%分位数为， 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则即可. 【详解】由题意得，. 故选：B 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出的坐标，再根据向量垂直的性质列出方程求解. 【详解】由题意可得，， ，解得. 故选：B 4. 已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】依据线面平行或垂直，面面平行或垂直的判定定理或结论逐一判断即可 【详解】对于A项：因为“垂直与同一直线的两个平面平行”，所以A项命题正确； 对于B项：因为垂直与同一平面的两个平面可以平行，所以B项错误； 对于C项：因为，则或，所以C项错误； 对于D项：因为，则或或为异面直线，所以D项错误. 故选：A 5. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ） A 744 B. 620 C. 372 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数. 【详解】由题意可得抽样比为：， 所以. 故选：C 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设，甲乙都不能破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A 7. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【详解】由题设，， 所以. 故选：B 8. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年11月14日是第18个联合国糖尿病日，活动主题是“糖尿病与幸福感”．某市的糖尿病患者中中老年组、中年组、中青年组、青年组人数的比例为，为了解各年龄段群组（中老年组､中年组､中青年组､青年组）饮食结构之间的差异，市卫生局计划从糖尿病患者中抽取220人进行饮食结构调查，则下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B. 应采用抽签法抽取 C. 中年组患者应抽取60人 D. 被抽到的中青年组患者和青年组患者人数之和比中年组患者人数多 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念及计算公式即可分别判断． 【详解】因为糖尿病患者中中老年组、中年组、中青年组、青年组人数的比例不同， 所以应采用分层随机抽样抽取，故A正确，B错误； 依题意，被抽到的中年组患者人数为（人）， 被抽到的中青年组患者和青年组患者人数之和为（人），所以C正确，D错误； 故选：AC． 10. 一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平均数、方差、极差、中位数定义及性质求解即可． 【详解】由题意可得，，，. 故选：ACD． 11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有18个顶 B. 共有36条棱 C. 表面积为 D. 与正八面体的体积之比为8:9 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为，故C错误； 正八面体可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为3， 过作平面于，连接，如下图： 因为平面，且平面，所以， 正方形中，由边长为3，则对角线长为，则， 在中，，则， 正八面体的体积为， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积与正八面体的体积之比为，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据向量模长公式对两边同时平方，再结合单位向量的性质求解. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以，则. 故答案： 13. 设m∈R， 复数若z为纯虚数，则m=________； 【答案】 【解析】 【分析】由复数的定义列方程组，即可求出. 【详解】复数若z为纯虚数， 则，解得：. 故答案为：. 14. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，又， 所以，即， 又， 所以， 所以的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知平面向量，． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由向量垂直可得数量积为零，计算即可得； （2）借助向量平行的性质计算计算可得，再利用坐标形式的模长公式计算即可得. 【小问1详解】 若，则，故或； 【小问2详解】 若，则，即， 则或， 若，则，，则， 若，则，，则， 即或. 16. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求边上的高的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角； （2）先根据余弦定理求出边的值，再通过三角形面积公式求出边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 因为，所以， 又因为锐角三角形，，所以. 【小问2详解】 由余弦定理 可知 又因即代入上式可得 则的面积为 则 解得：. 17. 为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图： （1）分别求出频率分布直方图中的a，b； （2）求出丽江旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）； （3）若一个地区旅游满意度评分的第60百分位数的分值越高，则认为该地区的旅游经济效益越好，请通过计算，判断大理与丽江的旅游经济效益哪个更好？ 【答案】（1）； （2）（分） （3）大理的旅游经济效益更好 【解析】 【分析】（1）根据面积之和为即可求出； （2）以中点值乘以频率求和即可； （3）根据频率分布直方图求出第60百分位数，再比大小即可. 【小问1详解】 ，得， ，得. 【小问2详解】 丽江旅游满意度评分的平均数为： （分） 小问3详解】 丽江旅游： ，， 则第60百分位数位于至之间，设第60百分位数为， 则，得（分）； 大理旅游： ， 故第60百分位数是（分）， 故大理的旅游经济效益更好. 18. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. （1）求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； （2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式列方程组求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式直接计算可得. 【小问1详解】 记甲成功解出这道题为事件，乙成功解出这道题为事件，丙成功解出这道题为事件， 则由题知，，解得， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为. 【小问2详解】 记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面菱形，，且，侧棱底面，，为中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的平面角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设及线面垂直的性质有、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）由题设，再应用棱锥的体积公式求体积； （3）设，连接，，利用线面垂直易得为二面角的平面角，结合已知求其大小即可. 【小问1详解】 因为底面是菱形，所以，又底面，平面， 所以，又，，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为是的中点，所以， 因为， 又，平面， 所以． 【小问3详解】 设，连接，， 由（1）知，平面，又，平面， 所以，，则为二面角的平面角， 因为四边形是菱形，，，所以， 因为底面，平面，所以， 在中，，为的中点，所以，， 又是的中点，是的中点，所以，所以， 所以，二面角的平面角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿克苏市实验中学2024—2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 命题人：杨宗宇 审核人：郑先舟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 已知平面，直线和，则下列命题中正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ） A. 744 B. 620 C. 372 D. 162 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年11月14日是第18个联合国糖尿病日，活动主题是“糖尿病与幸福感”．某市的糖尿病患者中中老年组、中年组、中青年组、青年组人数的比例为，为了解各年龄段群组（中老年组､中年组､中青年组､青年组）饮食结构之间的差异，市卫生局计划从糖尿病患者中抽取220人进行饮食结构调查，则下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B 应采用抽签法抽取 C. 中年组患者应抽取60人 D. 被抽到的中青年组患者和青年组患者人数之和比中年组患者人数多 10. 一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有18个顶 B. 共有36条棱 C. 表面积为 D. 与正八面体的体积之比为8:9 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________. 13. 设m∈R， 复数若z为纯虚数，则m=________； 14. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知平面向量，． （1）若，求的值； （2）若，求． 16. 在锐角中，角所对边分别为，且. （1）求； （2）若，求边上的高的长. 17. 为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图： （1）分别求出频率分布直方图中的a，b； （2）求出丽江旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）； （3）若一个地区旅游满意度评分的第60百分位数的分值越高，则认为该地区的旅游经济效益越好，请通过计算，判断大理与丽江的旅游经济效益哪个更好？ 18. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. （1）求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； （2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且，侧棱底面，，为中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角平面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $