2025---2026学年七年级数学下学期期末复习专项训练--计算与解答题（人教版）

**基本信息** 聚焦计算与解答核心能力，通过步骤引导、错误分析、推理依据填空构建系统性方法体系，衔接代数、几何与统计知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数计算|20题（1-20）|解不等式组步骤分解、方程求解错误分析、特殊消元技巧|从单一不等式到含参数方程组，构建"概念-解法-应用"递进链| |几何证明|15题（31-50）|角平分线性质迁移、平行线判定推理依据、辅助线添加思路|以角关系为核心，形成"性质-判定-综合证明"逻辑闭环| |统计应用|5题（21-25）|图表数据提取、样本估计总体、误差分析|从数据收集到决策应用，体现数据意识与模型观念|

专项训练03 计算与解答题（50题） 一、解答题 1．按要求解答下列题目： (1)有三个不等式 ①，②，③，请选择你喜欢的一个不等式，求出它的解集，并将解集在数轴上表示出来； (2)解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答． （a）解不等式①，得； （b）解不等式②，得________； （c）把不等式①，②的解集在数轴上表示出来； （d）原不等式组的解集为________． 【答案】(1)① ；②；③；数轴见解析 (2)；数轴见解析； 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为1即可求得不等式的解集； （2）首先解不等式，然后利用数轴确定两个不等式的解集的公共部分，即得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：① ， ， ， ； 将解集在数轴上表示出来： ②  ， ； 将解集在数轴上表示出来： ③， ， ， ； 将解集在数轴上表示出来： （2）解：（a）解不等式①，得； （b）解不等式②，得； （c）把不等式①，②的解集在数轴上表示出来； （d）原不等式组的解集为， 故答案为：，． 2．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 所以此不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，直接利用算术平方根、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解： 4．计算： 【答案】 【分析】根据算术平方根、立方根、绝对值的定义以及幂的意义进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的运算，掌握算术平方根、立方根以及实数的运算方法是正确解答的前提． 5．（1）解方程：． （2）下面是小斌同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 两边都除以，得第五步 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是__________； ②上述求解过程中的第_______步发生错误，具体错误是______________； ③该不等式的解集应为________． 【答案】（1）；（2）①不等式的基本性质2；②五；两边都除以时，不等号方向没有改变；③ 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则，准确计算． （1）先移项，再合并同类项，然后系数化为1即可； （2）①去分母的依据不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，即可求解； ②按解一元一次不等式的步骤的依据进行检查，即可求解； ③由②即可求解． 【详解】（1）解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：①由题意得：第一步变形的依据是：不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变； 故答案为：不等式的基本性质； ②去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：五；两边都除以时，不等号方向没有改变； ③由②得：不等式的解集应为：； 故答案为：． 6．计算及解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算以及运用立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简绝对值、算术平方根、立方根，再运算加减法，即可作答． （2）先移项，再系数化为1，即，然后开立方，即可作答． 【详解】（1）解： ， （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．实数的计算： 【答案】 【分析】先化简乘方，算术平方根，绝对值，然后去括号，最后算加减． 【详解】解： = = =． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根的概念和绝对值的意义是解题关键． 8．已知关于的方程组，当时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握消元法是解题的关键． 根据消元法，用含的式子解出，然后代值求解即可． 【详解】解： ，得： 化简得：， 当时，， 解得：． 9．计算． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，立方根，再合并即可． 【详解】解： ． 10．计算： 【答案】 【详解】解： ． 11．（1）计算； （2）求式中x的值．． 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题考查算术平方根，利用求平方根解方程．熟练掌握求一个数的平方根与算术平方根是解题的关键． （1）根据算术平方根意义计算即可； （2）根据平方根意义计算即可． 【详解】解：（1）； （2）， ， ． 12．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）利用加减消元法求解即可； （2）将原方程组整理，然后利用加减消元法求解即可； 掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ①②，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）， 由①得：③， ②③，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 13．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练进行计算是解题的关键． （1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：把①代入②得，， 解得， 把代入①得，， ∴原方程组的解为； （2）解：得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为． 14．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】先通过可得到关于的表达式，再根据的取值范围列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵， 得，， ， 又∵， ， ∴， ∴， 解得． 15．解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出解即可，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解： ，得， ，得， 得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴这个方程组的解是． 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先算乘法，再算减法即可； （2）先算乘方和立方根，再算除法，最后算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 17．已知关于的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）先求出，再结合得出关于的一元一次不等式，求解即可； （2）不等式可变形为，再根据不等式的性质可得，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：不等式可变形为． 的解集为， ∴， ∴， 由（1）有， ∴， ∴整数的值为，，． 18．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组， （1）把②变形后，利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1） 由②得到，③ 得，， 解得， 把代入③得，， 解得 ∴； （2） 得，， 解得， 把代入①得，， 解得 ∴ 19．（1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程组，掌握解方程组与不等式组的方法与步骤是解本题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 得， 解得： 把代入②得， ∴； （2）， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 20．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 【点睛】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 21．某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（    ） （A）科普讲座   （B）科幻电影   （C）AI应用   （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是（    ） （E）辅助学习   （F）虚拟体验   （G）智能生活   （H）其他    根据以上信息．解答下列问题： (1)本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ (2)学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数． 【答案】(1)32 (2)324 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，从图中获取相关联的信息是解本题的关键． （1）用本次调查中最喜爱“AI应用”的学生人数乘以更关注“辅助学习”的人数所占的百分比即可求解； （2）用1200乘以样本中该校最喜爱“科普讲座”的学生人数所占的百分比即可求解． 【详解】（1）（人） ∴本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有32人； （2）（人） ∴估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数有324人． 22．百合外国语学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图： 名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成5组，分别是， b．名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的学生总数的值为___________ (2)补全频数分布直方图； (3)在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为___________度； (4)百合外国语学校共有1800名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？ 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)48 (4)1020 【分析】本题主要考查了用样本估计总体的思想，补全频数分布直方图，求扇形圆心角的度数，条形统计图和扇形统计图的综合问题， 对于（1），根据D组的人数及其所占的百分比可得调查的学生人数； 对于（2），先求出C组的人数，再补全统计图即可； 对于（3），先求出B组所占的百分比，再乘以得出答案； 对于（4）用总人数乘以样本中睡眠时间在9小时以上的百分比可得答案． 【详解】（1）解：， 所以本次调查的学生总人数为30人； 故答案为：30； （2）解：，可知C组的人数有7人； 补全频数分布直方图如下： （3）解：， 所以B组所在扇形区域的圆心角为； 故答案为：48； （4）解：， 所以睡眠时间在9小时及以上的学生有1020名． 23．我市交管部门开展“骑行电瓶车佩戴安全头盔”宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车佩戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车佩戴头盔情况统计表 类别 人数 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴 A 68 B C m D 177 合计 n 活动前骑电瓶车佩戴头盔情况扇形统计图 活动后骑电瓶车佩戴安全头盔情况统计图 (1)根据活动前的统计图表，_______，______； (2)我市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全头盔的总人数； (3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，反而比活动前增加了1人，因此交管部门开展的宣传活动没有效果．请判断小明的说法是否正确？并说明理由． 【答案】(1)510；1000 (2)估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全头盔的总人数为7.35万人 (3)小明的分析不合理．理由见解答过程 【分析】本题考查用样本估计总体，统计表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）用类人数除以类人数所占的百分比即可得到；用总人数乘类人数所占百分比即可得到； （2）首先求得 “经常带“安全头盔的人数所占的百分比，乘总人数即可； （3）分别求出宣传活动前后骑电瓶车“都不戴”安全头盔所占的百分比，再进行比较，即可得出小明的分析不合理． 【详解】（1）解：； （人； 故答案为：510；1000； （2）解：， （万人）， 答：估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全头盔的总人数为7.35万人； （3）解：小明的分析不合理．理由如下： 宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔所占的百分比为： ， 活动前“都不戴”安全头盔所占的百分比为， 由于， 因此交警部门开展的宣传活动有效果． 24．某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购健身器材按原价打八折； 活动二：所购健身器材按原价每满300元减80元．（如：所购健身器材原价为300元，可减80元，需付款220元；所购健身器材原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价在600元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价； (2)购买一件原价在600元以下的健身器材时，原价在什么范围，选择活动二比活动一更合算？ 【答案】(1)一件这种健身器材的原价是400元 (2)原价在，选择活动二比活动一更合算 【分析】（1）设一件这种健身器材的原价是元，根据选择活动一和选择活动二的付款金额相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）分，两种情况考虑，根据选择活动二比选择活动一更合算，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围． 本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：依题意，设一件这种健身器材的原价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：一件这种健身器材的原价是400元； （2）解：依题意，设一件这种健身器材的原价是元， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 当时，选择活动二比选择活动一更合算； ∴原价在，选择活动二比活动一更合算 25．某商店老板销售一种商品，该商品进价为200元，标价为360元．活动期间要降价销售，他要以不低于进价的利润才能出售，求商店老板最多可以降价多少元？ 【答案】120元 【分析】设商店老板降价x元，根据题意列出不等式，求解不等式即可． 【详解】解：设商店老板降价x元， 由题意得，， 解得， 答：商店老板最多可以降价120元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理清题意，找准不等关系，列出不等式是解题的关键． 26．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 860 第三次 500 1002 第四次 1000 2000 (1)利用第一次领取的纸板能够制作竖式与横式纸盒各多少个？ (2)仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由． 【答案】(1)40个，260个 (2)第三次记录有误，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 对于（1），先设制作x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，再根据长方形和正方形的纸板总数相等列出方程组，再求出解即可； 对于（2），先根据方程组的特点先求出，再根据是否能被5整除即可判断答案． 【详解】（1）解：设制作x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，根据题意，得 解得， 所以第一次领取的纸板能够制作竖式与横式纸盒各为40个，260个； （2）解：第三次记录有误，理由如下： 由（1），根据题意，得 可知， 即， 所以第二次领取的纸板能用完； 同理：， 所以第三次领取的纸板不能用完； 同理：， 所以第四次领取的纸板能用完． 27．资中血橙因其色泽鲜丽，果大皮薄，肉质脆嫩化渣，汁多味浓而广受喜爱．某合作社需要将240吨血橙运往外地销售，现准备租用甲、乙两种货车，将这批血橙一次性全部运往该地．已知1辆甲种货车和2辆乙种货车可运血橙105吨，2辆甲种货车和3辆乙种货车可运血橙180吨． (1)两种货车每辆各可运多少吨血橙？ (2)已知甲种货车每辆租金400元，乙种货车每辆租金300元，如果租用6辆货车运送血橙，且租车费用不超过2300元，有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案租车费用最少？租车费用最少是多少？ 【答案】(1)每辆甲种货车可运血橙45吨，每辆乙种货车可运血橙30吨； (2)共有两种租车方案，方案一、租用甲种货车辆，租用乙种货车辆；方案一、租用甲种货车辆，租用乙种货车辆； (3)租用甲种货车辆，租用乙种货车辆时费用最小，租车费用最少是元． 【分析】该题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式组来解决现实生活中的实际应用问题； （1）设每辆甲种货车可运血橙吨，每辆乙种货车可运血橙吨，根据“1辆甲种货车和2辆乙种货车可运血橙105吨，2辆甲种货车和3辆乙种货车可运血橙180吨”列出二元一次方程组，求解即可得； （2）设租用甲种货车辆，租用乙种货车辆，根据“运费总量是240吨血橙，租车费用不超过2300元”列出一元一次不等式组，求解即可； （3）分别计算两种租车方案所需费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车可运血橙吨，每辆乙种货车可运血橙吨， 由题意得， 解得， 答：每辆甲种货车可运血橙45吨，每辆乙种货车可运血橙30吨； （2）解：设租用甲种货车辆，租用乙种货车辆， 由题意得， 解得， ∴或5， ∴共有两种租车方案，方案一、租用甲种货车辆，租用乙种货车辆；方案一、租用甲种货车辆，租用乙种货车辆； （3）解：方案一的费用：元； 方案二的费用：元； ， 答：租用甲种货车辆，租用乙种货车辆时费用最小，租车费用最少是元． 28．为改善校园环境，学校购买绿萝和吊兰共80盆，绿萝每盆15元，吊兰每盆20元，总费用不超过1400元． (1)最多可购买吊兰多少盆？ (2)若实际花费恰好1400元，求绿萝、吊兰各买多少盆． 【答案】(1)最多买吊兰40盆 (2)绿萝40盆，吊兰40盆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设吊兰x盆，则绿萝盆，根据总费用不超过1400元进行列式，即可作答． （2）根据题意，且实际花费恰好1400元，进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设吊兰x盆，则绿萝盆， 依题意，， 解得， ∴最多买吊兰40盆． （2）解：依题意，， 解得， ∴（盆）， ∴绿萝40盆，吊兰40盆． 29．列方程或方程组解应用题： 某玩具店为促销呆萌熊猫和奇幻精灵这两种玩具，在儿童节期间推出限时优惠活动．下表列出了楠楠和凯凯的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）： 呆萌熊猫数量 奇幻精灵数量 付款金额 楠楠 2 3 135 凯凯 3 2 115 (1)根据上表，求呆萌熊猫和奇幻精灵的限时优惠单价： (2)为进一步提升销量，该玩具店准备将两种玩具混合打包成盲盒销售，盲盒分为A，B两种，两种盲盒里的玩具均为15个，其中A盲盒包含m（）个呆萌熊猫，其余为奇幻精灵；B盲盒包含n（）个奇幻精灵，其余为呆萌熊猫．盲盒包装成本可忽略不计，盲盒内玩具的销售单价仍然按限时优惠单价计算．若A盲盒销量为7盒，B盲盒销量为6盒，两种盲盒的销售总额为5725元，求满足条件的整数m，的所有可能取值． 【答案】(1)呆萌熊猫的限时优惠单价为元，奇幻精灵的限时优惠单价为元 (2)满足条件的整数m，的所有可能取值为，或， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确得出方程组是解此题的关键． （1）设呆萌熊猫的限时优惠单价为元，奇幻精灵的限时优惠单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设呆萌熊猫的限时优惠单价为元，奇幻精灵的限时优惠单价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴呆萌熊猫的限时优惠单价为元，奇幻精灵的限时优惠单价为元； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、为整数，， ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时， 故满足条件的整数m，的所有可能取值为，或，． 30．（1）如图，面积为的正方形纸片，它的边长是　 　． （2）在该正方形纸片中沿着边的方向，裁出如图所示长和宽之比为的长方形（阴影），长方形纸片的面积能达到吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）不能 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形面积和算术平方根的定义求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据长方形面积和算术平方根的定义求出x，即可解答． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， 即正方形的边长为， 故答案为：； （2）设长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∵， ∴， 即长方形的边长为， ∵， ∴不能． 31．如图所示，已知，，分别平分，，且．求证：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵，分别平分，（ ）， ∴，（ ）． ∵（ ）， ∴ 1 （ ）． ∵（ ）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线的概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 首先由角平分线得到，，然后等量代换得到，，即可得到． 【详解】证明∶∵，分别平分，（已知）， ∴，（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 32．如图：已知：，，求证：． 证明：（___________）， （___________）， 又， ___________（___________）． （___________） ∴（___________） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质证明即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 33．如图，点F在上，于点G，与相交于点H，且． 求证：． 在下列解答中，填空（写理由）： 证明：（        ）． （邻补角定义）， ， ． （      ）． ∴（       ）． （        ）． 又（已知）， （垂直的定义）． （       ）． （垂直的定义）． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定和性质证明即可． 【详解】证明：（已知）． （邻补角定义）， ， ． （等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （垂直的定义）． （等量代换）． （垂直的定义）． 34．请填空，完成下面的证明． 如图，直线交于点E，，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴①，（②）． ∵（已知）， ∴（③）． ∵（已知）， ∴（④）． 即⑤， ∴⑥（等量代换）， ∴（⑦）， ∴⑧（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 【答案】①；②两直线平行，同位角相等；③等量代换；④等式的性质；⑤；⑥；⑦内错角相等，两直线平行；⑧ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定定理结合已知推理过程求解即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴，（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）． 即， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 故答案为：①；②两直线平行，同位角相等；③等量代换；④等式的性质；⑤；⑥；⑦内错角相等，两直线平行；⑧． 35．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：． 证明：（已知）， ___________（___________）， （已知）， （等式的基本事实）， ___________（___________）， ___________（___________）． ___________（___________）， （等式的基本事实）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． 根据题意得到，结合题意得到，由平行线的性质，对顶角相等即可求解． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等式的基本事实）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （对顶角相等）， （等式的基本事实）． 36．如图，点、、分别是的边、、上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由平行线的性质可得，进而可得，然后由平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．如图所示，点在直线上，，在、之间的点、分别在线段的两侧（点在点右侧），标记为，为，且，求证：． 证明：（已知）， _____（______________________）． ． ． _____（已知）， （______________________）． _________（内错角相等，两直线平行）． （______________________）． 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；等式的性质；；；两直线平行，内错角相等 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的性质和判定，结合图形完成说理过程，并填写推理依据． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． ． ． （已知）， （等式的性质）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；等式的性质；；；两直线平行，内错角相等． 38．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 39．如图，已知，，可推得，请说明理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先证明，得到，即可证明． 【详解】证明：如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴． 40．如图，直线、相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)若，是否平分？ 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题的关键． （1）根据对顶角相等得到，然后利用角平分线的定义解题即可； （2）根据垂直可以得到的度数，然后根据角的和差得到的度数，进而得到结论． 【详解】（1）解：解：∵， ∴， 又∵平分， ∴； （2）解：平分，理由为： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 41．如图，，连接的平分线交于点． 【问题探究】 （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，点在的延长线上，连接交于点，若，平分吗？为什么？ 【问题解决】 （3）如图3，点是线段上一点，连接，过点作交于点．在射线上取一点，连接，若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）平分，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此可得结论； （2）过点F作，证明，得到，则，再证明，得到，则，平分； （3）先求出，再由平行线的性质和角平分线的定义得到，则，进而可得，根据，得到点M在点P下方，则． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）平分，理由如下： 如图所示，过点F作， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点M在点P下方， ∴． 42．在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，点，且满足． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点分别是线段的延长线，轴负半轴上的动点，过点作，交轴于点，连接分别平分．求证：； (3)点为直线上一点（不与点重合），若，利用图2求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)且 【分析】（1）由被开方数及绝对值的非负性，可求出的值，进而可得出点的坐标，再利用三角形的面积公式可求出三角形的面积； （2）由平行线的性质可得出，再利用角平分线的性质，通过设未知数，即可求解； （3）过点作轴于点，作轴于点，如图所示，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，进而可得出之间的关系，由点的坐标，利用勾股定理可求出之间的关系，再结合，即可得出关于的不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵满足， ∴， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）证明：设， ∵平分， ， ，则， ∵平分， ， 则， ， ，即； （3）解：过点作轴于点，作轴于点，如图所示： 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， 同理可得：， 和等高， ，即， 解得， 的取值范围为：且． 【点睛】本题考查了绝对值及被开方数的非负性、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、待定系数法求一次函数解析式（相似三角形的性质）以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用被开方数及绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）利用平行线的性质及角平分线的性质，导角即可；（3）利用勾股定理及，找出． 43．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 44．如图，已知，试说明平分． 【答案】见解析 【分析】先推导出，得到，即可解答． 【详解】解： ， ， 又， 平分． 45．（1）已知：如图1，，求证：； （2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展提升：如图3，已知，，分别平分与，若，求的度数． 【答案】（1）见解析   （2），理由见解析  （3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线性质得出，，即可得出答案； （2）根据平行线性质求出，，即可得出答案； （3）由，，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过E点作， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由为： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）由（1）可得：， 又∵，分别平分与， ∴，， ∴． 46．如图，直线分别交，于点，，平分，交于点．已知．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）易得，即可得出结论； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 47．如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出． 【详解】（1）． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴． 48．如图，直线，相交于点．已知条件：①平分；②平分；③． (1)选择两个条件作为题设，另外一个条件作为结论组成一个真命题，并证明； (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)题设：①②；结论：③；证明见解析（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合已知找出；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出的度数． （1）根据邻补角互补可得出，结合角平分线和垂直的定义可以证明； （2）由结合邻补角互补、对顶角相等，可求出的度数，根据平分、平分，可得出的度数以及，再根据邻补角互补结合，可求出的度数，进而可得答案． 【详解】（1）解：题设：①②；结论：③；（或题设：①③；结论：②；或题设：②③；结论：①） 证明：∵平分，平分， ∴，． ∴， ∴； 题设：①③；结论：②； 证明：∵平分， ∴， ∴； ∴，， ∴，即平分， 题设：②③；结论：①，同理可证． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 49．如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据垂直的定义得到，推出，根据平行线的判定定理即可得到结论； （）根据三角形的内角和列方程得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； 本题考查了同角的余角相等，垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 50．综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）分两种情形：当和在点异侧时，延长，交于，过点作，根据，得出，从而得出；当和在点的同侧时，设交于点，过点作，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）解：如图， 当和在点异侧时，延长，交于，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 如图， 当和在点的同侧时，设交于点，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 综上所述：或． 学科网（北京）股份有限公司 $专项训练03 计算与解答题(50题) 一、解答题 1.按要求解答下列题目： (1)有三个不等式①2x+3<-1,②-5x>15,③3(x-1)>6,请选择你喜欢的一个不等式， 求出它的解集，并将解集在数轴上表示出来： 5x+1≥3x-1① (2)解不等式组： 5x-1 <x+1② 3 请结合题意填空，完成本题的解答。 (a)解不等式①，得x≥-1； (b)解不等式②，得 ； (c)把不等式①，②的解集在数轴上表示出来； 5-4-3-2-1012345→ (d)原不等式组的解集为 3x+5≥2(x+1) 2.解不等式组： x+1<2 ,并把解集在数轴上表示出来 2 -4-3-2-1012345 3.计算：25-(32+-27+小5-2. 4.计算：-2+V36--27-V5-2 5.(1)解方程：2x+2=3x-1. (2》下面是小斌同学解不等式2x+1_5x-2>1的过程，请认真阅读并完成相应任务. 3 6 解：去分母，得2(2x+1-(5x-2)>6.第一步 去括号，得4x+2-5x+2>6.第二步 移项，得4x-5x>6-2-2.第三步 合并同类项，得-x>2.第四步 两边都除以-1，得x>-2第五步 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是 ②上述求解过程中的第 步发生错误，具体错误是 ③该不等式的解集应为 6.计算及解方程： 1-+5+-2): (2)2(x-1)3-1=15. 7.实数的计算：(-1)2023+√25-|2-√5|-(5)2 3x+y=1-3k 8.已知关于x,y的方程组 x+3y=4，当r=-2时，求k的值. 9.计算√4+8-0.25. 10.计算：3-+V25-27+-1)2026 11.(1)计算V（-5)2; (2)求式中x的值.x2-64=0. 12.解下列方程组 2x+y=7, (1) 3x-y=3. 〔x-y_x+y=1, (2)24 x+y=-8. 13.解方程组： 「x=2y-1① (1) x+2y=3② 2x+3y=-1① (2)X x-3y=4② 3x+2y=k+2 14.已知关于x,y的方程组 的解满足-2<x+y<5,求k的取值范围. 2x+3y=k [3x+4y=7 15.解方程组： 11x+10y=35 16.计算： (1)-1-(-4)×2 (2)-22+24÷27 2x+y=1+2m 17.已知关于x,y的二元一次方程组 x+2y=3-m 的解满足不等式x+y>0. (1)求实数m的取值范围. (2)在（1)的条件下，若不等式(6m+1)x-6m<1的解集为x>1,请求出整数m的值. 18.解方程组： [3y-2x=6 (1)x+1 2 y=1 2x+3y=1 (2) 7x+6y=2 19.(1)解方程组： 2x+y=7① x-y=-4② [3(x-1)<2x+1① (2)解不等式组： 4x+1 -1≥x② 2 20.阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 19x+18y=17① 解方程组 时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解 17x+16y=15② 法则比较简便. 解：①-②，得2x+2y=2,即x+y=1.③ ③×16，得16x+16y=16.④ ②-④，得x=-1. 把x=-1代入③，得y=2. x=-1 故原方程组的解是 y=2 2025x+2024y=2023① (1)请用上述方法解方程组： 2023x+2022y=2021② （a+2)x+a+1)y=a (2)直接写出关于x,y的二元一次方程组 ax+(a-y=a-2"的解。 21.某校开展科学活动.为了解学生对活动项月的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调 查.调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写。 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是() (A)科普讲座(B)科幻电影(C)A1应用(D)科学魔术 如果问题1选择C.请继续回答问题2. 问题2：你更关注的Ⅱ应用是() (E)辅助学习(F)虚拟体验(G)智能生活(H)其他 问题1答题情况条形统计图 C类中80人问题2答题情况扇形统计图 H 人数 50 80 80- 54 E G 60 40% 25% 40 30 20 F 30% 0A B C 选项 根据以上信息.解答下列问题： (1)本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ (2)学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数 22.百合外国语学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了m名学生，调查他们过去一周的 平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图： 小频数 9 E B a,m名学生平均睡眠 D 30% 6 891011 平均睡眠时间h 图① 图② 时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成5组，分别是A:6≤x<7, B:7≤x<8C:8≤x<9,D:9≤x<10,E:l0≤x<11) b.m名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的学生总数m的值为 (2)补全频数分布直方图： (3)在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为 度； (4)百合外国语学校共有1800名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？ 23.我市交管部门开展“骑行电瓶车佩戴安全头盔”宣传活动.在活动前和活动后分别随机 抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车佩戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据 制成如下统计图表， 活动前骑电瓶车佩戴头盔情况统计表 类 人 别 数 68 A:每次戴 B B:经常戴 今 C:偶尔戴 D:都不戴 D 177 合 计 活动前骑电瓶车佩戴头盔情况扇形统计图 6.8% D B 51% C 活动后骑电瓶车佩戴安全头盔情况统计图 人数 1000- 896 800 702 600 400 224 200 178 0 A B C D类别 (1)根据活动前的统计图表，m= (2)我市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全头盔的总人数； (3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，反而比活动前增加了 1人，因此交管部门开展的宣传活动没有效果.请判断小明的说法是否正确？并说明理由. 24.某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种. 活动一：所购健身器材按原价打八折： 活动二：所购健身器材按原价每满300元减80元.（如：所购健身器材原价为300元，可减 80元，需付款220元；所购健身器材原价为770元，可减160元，需付款610元) (1)购买一件原价在600元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等， 求一件这种健身器材的原价； (2)购买一件原价在600元以下的健身器材时，原价在什么范围，选择活动二比活动一更合 算？ 25.某商店老板销售一种商品，该商品进价为200元，标价为360元.活动期间要降价销售， 他要以不低于进价20%的利润才能出售，求商店老板最多可以降价多少元？ 26.工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式 和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完. 图① 图② 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 860 第三次 500 1002 第四次 1000 2000 (1)利用第一次领取的纸板能够制作竖式与横式纸盒各多少个？ (2)仓库管理员在核查时，发现一次记录有误.请你判断第几次的记录有误，并说明理由. 27.资中血橙因其色泽鲜丽，果大皮薄，肉质脆嫩化渣，汁多味浓而广受喜爱.某合作社需 要将240吨血橙运往外地销售，现准备租用甲、乙两种货车，将这批血橙一次性全部运往该 地.己知1辆甲种货车和2辆乙种货车可运血橙105吨，2辆甲种货车和3辆乙种货车可运 血橙180吨. (1)两种货车每辆各可运多少吨血橙？ (2)已知甲种货车每辆租金400元，乙种货车每辆租金300元，如果租用6辆货车运送血橙， 且租车费用不超过2300元，有哪几种租车方案？ (3)在(2)的条件下，哪种方案租车费用最少？租车费用最少是多少？ 28.为改善校园环境，学校购买绿萝和吊兰共80盆，绿萝每盆15元，吊兰每盆20元，总 费用不超过1400元. (1)最多可购买吊兰多少盆？ (2)若实际花费恰好1400元，求绿萝、吊兰各买多少盆. 29.列方程或方程组解应用题： 某玩具店为促销呆萌熊猫和奇幻精灵这两种玩具，在儿童节期间推出限时优惠活动.下表列 出了楠楠和凯凯的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）： 呆萌熊猫数量 奇幻精灵数量 付款金额 楠楠 2 3 135 凯凯 2 115 (1)根据上表，求呆萌熊猫和奇幻精灵的限时优惠单价： (2)为进一步提升销量，该玩具店准备将两种玩具混合打包成盲盒销售，盲盒分为A,B两种， 两种盲盒里的玩具均为15个，其中A盲盒包含m(0<m<15)个呆萌熊猫，其余为奇幻精 灵；B盲盒包含n(0<n<15)个奇幻精灵，其余为呆萌熊猫.盲盒包装成本可忽略不计， 盲盒内玩具的销售单价仍然按限时优惠单价计算.若A盲盒销量为7盒，B盲盒销量为6盒， 两种盲盒的销售总额为5725元，求满足条件的整数m,n的所有可能取值. 30.(1)如图，面积为35cm2的正方形纸片，它的边长是一cm. (2)在该正方形纸片中沿着边的方向，裁出如图所示长和宽之比为3：2的长方形（阴影）， 长方形纸片的面积能达到30cm2吗？请说明理由. 31.如图所示，已知∠ABC=∠ADC,BF,DE分别平分∠ABC,∠ADC,且∠I=∠3.求 证：AB∥CD.请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由. D 3 E 证明：，'BF,DE分别平分∠ABC,∠ADC(-), 4-4c,-A0c :∠ABC=∠ADC(_), .∠1=∠-（_). ∠1=∠3(_)， ∠2=∠-(_)， -∥-(_). 32.如图：己知：EF∥AD,∠1=∠2，求证：∠B+∠BDG=180°. 证明：EF∥AD( ∠2=∠3( 又：∠1=∠2， .∴.1 .AB∥DG .∠B+∠BDG=180°( 33.如图，点F在AC上，FG⊥AB于点G,FB与CD相交于点H,且 ∠BHC+∠GFB=180°. 求证：CD⊥AB. A D H B 在下列解答中，填空（写理由）： 证明：：∠BHC+∠GFB=180°(). ∠BHC+∠DHB=180°（邻补角定义）， .∠GFB=180°-∠BHC, ∠DHB=180°-∠BHC. :∠GFB=∠DHB(). ∴.CD∥FG(). .∠AGF=∠ADC(). 又：FG⊥AB(已知)， .∠AGF=90°（垂直的定义）. :∠ADC=90°(). :CD⊥AB(垂直的定义). 34.请填空，完成下面的证明 如图，直线BC,AF交于点E,AB∥CD,∠I=∠2，∠3=∠4，求证：∠B=∠D. E 0 (4 3 证明：：AB∥CD(已知)， ∠4=①，∠B=DCE(②). :∠3=∠4（已知）， .∠3=∠BAF(③). :∠1=∠2（已知）， .∠I+LCAF=∠2+∠CAF(④2 即⑤， .∠3=®（等量代换）， AD∥BE(⑦)， ∴∠D=⑧（两直线平行，内错角相等）. ·∠B=∠D(等量代换). 35.如图，已知AB∥CD,射线AH交BC于点F,交CD于点D,从点D引一条射线DE, 若∠B+∠CDE=180°，求证：∠AFC=∠EDH. B E F D 证明：：AB川CD(己知)， :.ZB= ( :∠B+∠CDE=180°（已知）， ·∠BCD+∠CDE=I80°（等式的基本事实）， .BCI」 =∠EDH( =∠BFD( ) :∠AFC=∠EDH(等式的基本事实). 36.如图，点D、E、F分别是ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE∥AC, ∠DEF=∠A.求证：EF∥BA, B E 37.如图所示，点E在直线CD上，∠BAE+∠AED=I80°，在AB、CD之间的点M、N分 别在线段AE的两侧（点M在点N右侧），标记∠BAM为∠1，∠NEC为∠2，且∠I=∠2， 求证：∠M=∠N, B D 证明：：∠BAE+∠AED=180°（已知）， AB∥( :ZBAE ZAEC .∠1+∠MAE=∠2+∠AEN. （己知)， .∠MAE=∠AEN ∴·一人一（内错角相等，两直线平行). ∠M=∠N( 38.完成下面的推理过程. 如图，已知AB⊥BC,垂足为5，∠1+∠2=90°，∠2=∠3.试说明：BE∥DF. E A F 解：：AB⊥BC, .∠ABC= , 即∠3+∠4= :∠1+∠2=90°，且∠2=∠3， ∠1+∠3=90°， ∴∠1=∠ .BE∥DF( 39.如图，己知∠I=∠2，∠B=∠C,可推得AB∥CD,请说明理由. E G 40.如图，直线AB、CD相交于点0，OE平分∠BOD,∠AOC=72°. E (1)求∠E0B的度数； (2)若OF⊥OE,OF是否平分∠COB? 41.如图，AD∥BC,连接AB,CD,∠BAD的平分线AG交BC于点G,∠BCD=90°. CB 图1 图2 图3 【问题探究】 (1)如图1，判断∠BAG与∠AGB的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点F在GA的延长线上，连接CF交AD于点E,若∠BAG-∠F=45°，CF平 分∠BCD吗？为什么？ 【问题解决】 (3)如图3，点F是线段AG上一点，连接BP,∠ABP=3∠PBG=39°，过点C作 CH∥AG交AD于点H.在射线PG上取一点M,连接BM,若∠PBM=∠DCH,求 ∠ABM的度数. 42.在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴正半轴，轴正半轴交于点A(a,0),点 B(0,b),且，b满足V2a-b+3a-b-3=0. B B E 图1 图2 (1)求三角形AOB的面积； (2)如图1，点C,P分别是线段OA的延长线，V轴负半轴上的动点，过点F作PE∥AB,交 x轴于点E,连接CP,PM,PN分别平分∠EPC,LBPC.求证：∠ABO=2∠MPN; 3)点D(m,n)为直线AB上一点（不与点A,B重合），若2S△BoD≥3S△AoD,利用图2求n的 取值范围， 43.如图，点E、F分别在线段AB、CD上（不含端点）.连接EC、BF,EC、BF分别交AD 于点G、H.有四个信息：①∠A=∠D,②∠B=∠C,③AB∥CD,④EC∥BF.从中选 择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题. A B D (1)你选择的条件是 结论是 ；(填序号) (2)证明你构造的命题是真命题. 44.如图，已知∠2=∠B,∠1=∠3，试说明AC平分∠BAD. D 2 3 A B 45.(1)已知：如图1，AB∥CD,求证：∠B+∠D=∠BED; B D 图1 (2)己知：如图2，AB∥CD,试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由. B A D C E 图2 (3)拓展提升：如图3，己知AB∥DE,BF,EF分别平分∠ABC与∠CED,若 ∠BCE=130°，求∠F的度数. B E D 图3 46.如图，直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF,交CD于点G.己知 ∠A=80°，∠C=100°. E GD (1)判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由. (2)若∠EGF=54°，求∠EFG的度数 47.如图，直线PQ∥MN,C是PQ,MN之间（不在直线PQ,MN上）的一个动点. D M 图① 图② (1)如图①，若∠1与∠2都是锐角，则∠C与∠1，∠2之间的数量关系为 (2把直角三角形ABC按如图②所示的方式摆放，∠C=90°，CB与PQ交于点D,CA与MN交 于点E,BA与P0交于点F,点G在线段CE上，连接DG,∠BDF=∠GDF,求AE的值. ∠CDG Q /C 1.1∥Pg∥MN, M B 图1 ∠3=∠1，∠4=∠2. :∠ACB=∠3+∠4， .∠ACB=∠1+∠2； 48.如图，直线AB,CD相交于点O.已知条件：①OD平分∠BOE;②OF平分∠AOE; ③0F⊥OD. E D B (1)选择两个条件作为题设，另外一个条件作为结论组成一个真命题，并证明； (2)在(1)的条件下，若∠A0C:∠A0D=1:5,求∠F0E-∠D0E的值. 49,如图，点A在MN上，点b在PQ上，连接AB,过点A作AC⊥AB交PQ于点C,过点 E作BD平分∠ABC交AC于点D,且∠NAC+∠ABC=90°. M D PB CO (1)求证：MN∥PQ: (2)若∠ABC=∠NAC+10°，求∠BDC的度数. 50.综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出 一些问题. B E 图1 图2 图3 备用图 (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E 落在BC上，已知，∠DAE=60°，∠B=LC=45°，且AD∥BC,则∠CAE的度数为 °；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板ABC(∠B=∠ACB=45°)放在一组直线MN与PQ之间， 如图2，并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得 LMAB=36°，LPCB=9°，猜想MW与PQ的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点C重叠，固定△ACB,如图3，将△DCE绕着 点C在平面内转动.其中∠A=60°，LB=30°，∠D=∠E=45°，假设直角边DC=AC.图中 所有点均在一个平面内.设∠ACE度数为a(0°<a<180),当a等于多少时，DE∥AB,请 画出图形并完成相应解答