专题11. 2【提升】不等式（组）的新定义问题（期末复习专项突破）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦不等式（组）材料阅读问题，通过新定义运算、蕴含关系等情境，培养抽象能力与推理意识，实现从概念理解到综合应用的突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |类型1 一元一次不等式|10题（新定义“*”“&”运算、蕴含不等式）|材料阅读结合新定义，需抽象运算规则转化为不等式|以一元一次不等式解法为基础，通过新定义构建运算关系，形成“理解定义→建立不等式→求解验证”逻辑链| |类型2 一元一次不等式组|10题（T变换点、四舍五入定义、分段运算）|结合坐标、符号定义等跨情境，需分类讨论构建不等式组|在不等式组解法上，拓展至实际情境分类，强化“情境分析→分类建模→解集综合”推理过程|

专题11.2【提升】不等式（组）的材料阅读问题 【重难点突破】 类型1 一元一次不等式的材料阅读问题 1．（25-26七年级下·重庆万州·期中）对于x，y定义一种新运算“*”：，等式右边是通常的减法和乘法运算，如，那么的解集是____． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将所求新运算转化为常规的一元一次不等式，再求解一元一次不等式的解集即可． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴ ∴． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 【答案】5 【分析】首先根据题意建立关于的二元一次方程组，求解可确定的值，然后根据可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵，，， 则有，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， 所以，关于的不等式的最小整数解为5． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． （1）在不等式，，中，是的蕴含不等式的是_____； （2）若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，则n的取值范围是_____． 【答案】 【分析】（1）根据蕴含不等式的含义判断即可； （2）根据题意得两个关于n的不等式，求解即可得n的取值范围． 【详解】解：（1）∵不等式的解都是不等式的解， ∴不等式是不等式的蕴含不等式； 而分别是不等式，的解，但不是不等式的解， ∴，不是的蕴含不等式； （2）∵是的蕴含不等式， ∴， 解得：； ∵是的蕴含不等式， ∴， 解得：； 综上可知，． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）对于任意x，y，规定（a，b为常数）．已知． (1)求的值； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到关于的二元一次方程组并解方程组即可； （2）根据题意和（1）中的的值列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：． 5．（2026·河北秦皇岛·一模）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： (1)求的值 (2)若的值小于13，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】(1)13 (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到不等式，求解后在数轴上表示即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得： 数轴表示如图所示： 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（或）． 【分析】（）将给定的新运算表达式代入定义式，转化为常规的不等式，再通过去括号、合并同类项化简不等式，求解不等式后，找出大于解集的最小整数，得到不等式的最小整数解； （）先根据新定义运算，依次计算出的表达式，再将其代入给定的不等式，化简后解一元一次不等式，得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据新定义：， 将展开:代入不等式,得:, 化简计算: 即： 解得： ∵大于的最小整数为， 即不等式的最小整数解是； （2）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 解得：, 即的取值范围（或）． 7．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式_____的“同根不等式”（填“是”或“不是”） （2）若关于的不等式不是的“同根不等式”，则的取值范围是_____． 【答案】 是 【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再结合“同根不等式”的定义判断即可得出结果； （2）分别求出两个不等式的解集，再结合“同根不等式”的定义得出关于的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：（1）解不等式得， 解不等式得， 两个不等式有公共整数解， 故是的“同根不等式”． （2）解不等式得， 解不等式得， 不是的“同根不等式”， 两个不等式没有公共整数解， ， 解得． 8．（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（）根据新定义的含义解答即可； （）根据新定义的含义建立不等式即可解答； （3）根据新定义的含义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数．若，则；若，则．例：，． (1)求，的值； (2)已知有理数，，且满足，试求代数式的值； (3)解方程：． 【答案】(1)0， (2) (3) 【分析】（1）根据新定义直接求解； （2）先根据新定义及已知条件得到，再将代数式变形为，然后整体代值计算即可； （3）根据新定义分两种情况；，分别解方程即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：， 当时，即， ， 解得； 当时，即， ， 解得（不符合，舍去）； 综上所述，． 10．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）对于实数，定义符号：的意义为：当时，；当时，，例：． 根据上面的材料回答下列问题： (1)直接写出：___；____； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）根据所给的定义可得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型2 一元一次不等式组的材料阅读问题 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 2．（25-26七年级下·山东东营·期中）定义：对于有理数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：．若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义，得到，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 3．（25-26七年级下·江西吉安·期中）对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．根据上述定义可知的解集为______． 【答案】 【分析】根据新定义求出，代入求解即可． 【详解】解：由新定义可得： ， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的“T变换点”的坐标为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义分别表示出点的“T变换点”的横纵坐标，再由变换点在第四象限，列不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，点的“T变换点”的横坐标为：； 纵坐标为：， ∴点的T变换点的坐标为； （2）解：点的“T变换点”的横坐标为， 纵坐标为：， ∵点的T变换点在第四象限 ∴ 解得． 5．（25-26七年级下·山东淄博·期中）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，根据上面的材料，请完成下列问题： (1)若，求； (2)解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】（1）根据新定义运算法则得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据新定义运算法则得出关于的一元一次不等式组，分别解每个不等式，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， ∴结合题意可得， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， ； （2）解：∵ ∴结合题意可得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 把和在数轴上表示为： 原不等式组的解集为：． 6．（25-26七年级下·北京·期中）规定：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，，． (1)满足的所有整数的个数为_______； (2)若，则满足条件的实数的值为________． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）先根据新定义，由列出不等式，再通过平方求出的取值范围，最后找出范围内的所有整数并统计个数； （2）先根据新定义，将转化为关于的不等式组，求出的取值范围，再结合为非负整数的条件，在范围内枚举所有符合要求的值． 【详解】（1）解：根据题意可得，，即， 则，即， 故满足条件的整数为，，，，，，，，共个． （2）解：根据题意可得，， 整理得， 解得， 由为非负整数， 则满足题意的为，，． 7．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【分析】（1）通过比较和3的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． （2）解：∵， ∴， 解得：． （3）解：当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上：的取值范围是． 8．（25-26七年级下·安徽池州·期中）在实数范围内定义一种新运算“△”，其运算规则为， 如．根据这个规则，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)解不等式：； (3)若不等式的最大整数解为2，求m的取值范围． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，求出、的值，再根据新运算规则计算即可； （2）根据新运算规则转化不等式左边，再解一元一次不等式即可； （3）将不等式两边按新运算规则转化，再解一元一次不等式，根据最大整数解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵绝对值和平方均为非负数，且， ∴，， 解得，． 代入新运算规则得：； （2）解：根据新运算规则：， 原不等式可化为：， 解得：； （3）解：将不等式两边按新运算规则转化： 左边：， 右边：， 原不等式可化为：， 解得：， ∵不等式的最大整数解为2， ∴解集满足：， ∴m的取值范围是． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读以下材料：对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题： (1)________； (2)若，则的取值范围为________； (3)若，则________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用材料中的定义即可解答； （3）先说明的条件是，利用此规律列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，解得：． （3）解：设，则， ∵ ∴，即， ∵， 当且仅当时等号成立， ∴的条件是。 ∵， ∴，解得：， ∴． 10．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）先阅读理解下列文字，再按要求完成任务． 求不等式的解集．这个不等式是一元二次不等式，解法的根本原则是降次，将一元二次转化为一次不等式，通过求一元一次不等式组求得一元二次不等式的解集．转化的过程如下： 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得①或② 解不等式组①得，解不等式组②得 ． 所以一元二次不等式的解集是或． 根据以上的转化方法解决下列问题． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得①或②，解不等式组即可． （2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得①或②，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”， ∴①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， ∴一元二次不等式的解集是或； （2）解：∵有理数的除法法则“两数相除，同号得正”， ∴①或②， 解不等式组①得：， 解不等式组②无解， ∴不等式的解集是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2【提升】不等式（组）的材料阅读问题 【重难点突破】 类型1 一元一次不等式的材料阅读问题 1． （25-26七年级下·重庆万州·期中）对于x，y定义一种新运算“*”：，等式右边是通常的减法和乘法运算，如，那么的解集是____． 2． （25-26七年级下·山西临汾·期中）已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． （1）在不等式，，中，是的蕴含不等式的是_____； （2）若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，则n的取值范围是_____． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）对于任意x，y，规定（a，b为常数）．已知． (1)求的值； (2)若，求m的取值范围． 5．（2026·河北秦皇岛·一模）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： (1)求的值 (2)若的值小于13，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 7．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式_____的“同根不等式”（填“是”或“不是”） （2）若关于的不等式不是的“同根不等式”，则的取值范围是_____． 8．（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数．若，则；若，则．例：，． (1)求，的值； (2)已知有理数，，且满足，试求代数式的值； (3)解方程：． 10．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）对于实数，定义符号：的意义为：当时，；当时，，例：． 根据上面的材料回答下列问题： (1)直接写出：___；____； (2)当时，求的取值范围． 类型2 一元一次不等式组的材料阅读问题 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26七年级下·山东东营·期中）定义：对于有理数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：．若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3． （25-26七年级下·江西吉安·期中）对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．根据上述定义可知的解集为 ． 4．（25-26七年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的“T变换点”的坐标为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 5．（25-26七年级下·山东淄博·期中）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，根据上面的材料，请完成下列问题： (1)若，求； (2)解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 6．（25-26七年级下·北京·期中）规定：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，，． (1)满足的所有整数的个数为_______； (2)若，则满足条件的实数的值为________． 7．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 8．（25-26七年级下·安徽池州·期中）在实数范围内定义一种新运算“△”，其运算规则为， 如．根据这个规则，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)解不等式：； (3)若不等式的最大整数解为2，求m的取值范围． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读以下材料：对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题： (1)________； (2)若，则的取值范围为________； (3)若，则________． 10．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）先阅读理解下列文字，再按要求完成任务． 求不等式的解集．这个不等式是一元二次不等式，解法的根本原则是降次，将一元二次转化为一次不等式，通过求一元一次不等式组求得一元二次不等式的解集．转化的过程如下： 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得①或② 解不等式组①得，解不等式组②得 ． 所以一元二次不等式的解集是或． 根据以上的转化方法解决下列问题． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $