命题大赛：云南2025-2026学年高二下学期期末模拟数学练习

**基本信息** 高二数学下学期期末模拟卷，120分钟150分，含改编题（复数运算）和原创题（圆的对称轴与最值），注重数学眼光（几何直观）、思维（运算推理）、语言（模型应用）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、数列、二项式定理、立体几何|单选基础巩固（如集合运算），多选综合辨析（如统计概率）| |填空题|3题/15分|向量、不等式、排列组合|原创题结合解集考充分不必要条件，体现数学语言表达| |解答题|5题/77分|三角函数、圆锥曲线、立体几何、导数、概率|第16题原创轨迹方程与面积计算，第19题传球概率模型，考查数学思维的推理与创新应用|

应用场景：期末 高二数学下学期期末测试 高二下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（改编题）设复数满足,则（ ） A． B． C． D． 3．已知，分别为等差数列，的前n项和， 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 4．的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．160 D．240 5．（原创题）已知，直线是圆的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数为2 B．若随机变量，且，则 C．变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为-1 D．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 10．已知定义在上的函数，其导函数为，满足，为自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 11．设抛物线的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（   ） A．线段的中点到的准线距离为4 B．当直线过原点时， C．直线的倾斜角的最大值为 D．线段的垂直平分线过定点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，满足，，且，则________. 13．（原创题）（注：在嵩明县高一期中统考选择题用过）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是 .（注：答案不唯一，只用写出一个） 14．红､绿､蓝三色的同质小球各2个排成一排，同色球不相邻的排法有__________种.（结果用数值表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 16．（本小题15分）（原创题）已知点到点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线C. （1）求的方程； （2）斜率为的直线交C于两点，为坐标原点.若，求的面积。 17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且与交于点O，动点E满足（），异面直线与所成的角为． (1)求证：； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 18．（本小题17分）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）已知函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（本小题17分）从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合的交集运算 0.94 2 单选题 5 复数除法和模的运算 0.94 3 单选题 5 等差数列的性质 0.85 4 单选题 5 二项展开式求常数项 0.82 5 单选题 5 圆的对称性与基本不等式的综合问题 0.65 6 单选题 5 分段函数单调性 0.65 7 单选题 5 正弦定理和几何体的外接球的综合运用 0.65 8 单选题 5 三角函数性质和诱导公式的综合运用 0.45 9 多选题 6 第几百分位数、正态分布、经验回归和独立性检验的简单运用 0.85 10 多选题 6 构造函数、利用函数单调性比较大小 0.65 11 多选题 6 圆锥曲线的综合问题 0.4 12 填空题 5 向量的数量积和模的运算 0.85 13 填空题 5 二次不等式与充分不必要条件的综合运用 0.65 14 填空题 5 计数原理与几何容斥原理的综合运用 0.4 15 解答题 13 正弦定理、三角恒等变换及余弦定理的综合运用 0.85 16 解答题 15 椭圆第二定义、直线与椭圆的位置关系及三角形面积的综合运用 0.85 17 解答题 15 立体几何相关知识和空间向量在立体几何中的运用 0.65 18 解答题 17 导数的几何意义、函数性质、最值和恒成立问题的综合运用 0.65 19 解答题 17 超几何分布、古典概型与数列的综合运用 0.4 $高二数学下学期期末测试 高二下学期期末测试模拟卷 答案及解析 题号 1 5 6 8 9 四 11 答案ACB D D AC BCD AD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.【答案】A 【解析】由题可得A={x1<x≤3}，B={-1,0,l,2,3},则A∩B={0,1,2,3}.故选：A 2.【答案】C 【答案】：=3+-3+1-1-4-21=2-，所以=5，选C 1+i 2 2 3.【答案】B 35(a1+a35 【解析】由= 2 -S=5x35--58故选：B, bg356+bsIg54×35+147 2 4.【答案】D 【解析】T,1=Cgx =-2Cx2,(r=0,1,2,,6. 3 令6-=0，解得r=4,所以展开式中的常数项为-2C。=240.故选：D. 5.【答案】C 【解析】由直线1：-ax+by-4=0是圆C:x2+y2+2x-4y+3=0的一条对称轴知，其必 过圆心(-1,2)，则a+2b=4,所以a-1+2b=3. a-1263a-+26a-l+20)=2+26+0-≥1 1+1-11+ 3 ）之(2+22五、 3 Va-1 2b 当且仅当鸡公听即a-6时等号成立，故解案为C a-12b 4 6.【答案】D 【解析】对于f(x)=a,a≠0，结合相关幂函数性质，易知其在山，+oo)上单调递增，故 函数在R上单调递增， 答案第1页，共2页 所以 ax1'22-a-1,即a<2故选：D 2-a>0 2 7.【答案】C 【解析】设AB=AC=PA=m,因为∠BAC=120°， 所以2×mXm×si120=25，"=25, 而∠4CB=30,所以2V2 =2r(r于是是ABC外接圆的半径)，r=2√2， sin30° 如图所示 记点0为ABC的外接圆的圆心.且OA=2√2， 过点O作OD⊥平面ABC,作PA的中垂线交于点D, 故点D为三棱锥P-ABC的外接球的球心， 所以R2=DA2=A02+0D2=(22+(V2-10 所以S=4π(V10/=40元， 故选：C. 8.【答案】D 【解析】因为f()=sin@x+p在区间匹，2红 6’3 单调递增， 且直线x=亚和x=2严为函数y=fx)的图像的两条对称轴， 6 3 所以这两条对称轴是相邻的， 所以了=2红元元 2362’且0>0，则7=元，0 2-2, T 当x=时，八国取得最小值，则2名+p=2x-子keZ,则0=2a 5，keZ, 6 不纺取-0，则=sm2:-钙）， 答案第1页，共2页 32 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分 9.【答案】AC 【解析】对于A选项，数据1,2,3,5,7,8共有6个数，则6×25%=1.5，所以第25百分位 数为2，故A正确； 对于B选项，由P(52-1+P(525)=1,得4=2，故B错误； 对于C选项，当x=2时，=8，所以样本点(2,7的残差为7-8=-1，故C正确： 对于D选项，在独立性检验中，随机变量x的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯 错误的概率越小，故D错误； 故选：AC. 10.【答案】BCD 【解析】令g(x=e2f(x,由题可知gx在R上可导，g'(x=e2[f'(x)+2f(x), 当xeR时，g'(x>0,gx在R上单调递增： 由g1<g2),得f(1<e2f(2),故A不正确； 由g(-1)>g(-2),得e2f(-1)>f(-2),故B正确： 由g2)<g(3),得f(2)<e2f(3,故C正确： 由g-1>g-3),得e4f(-1)>f(-3),故D正确， 故选：BCD 11.【答案】AD 【解析】设Ax,,B(x2,2),抛物线E:y2=4x,得p=2,AF+BF=x+x2+p=8 ，所以x1+x2=6, 线段AB的中点到E的准线距离为占+立+P=4,故A正确， 2 2 若直线AB过原点，设x=0,则x,=6,所以A(0,0),B(6,±2V6,所以 答案第1页，共2页 |AB=√36+24=2V15,故B错误； 当直线AB斜率不存在时，AB:x=3,符合题意，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方 程为y=kx+b, 由少=+6 y2=4x 得x2+2励-4x+6=0,则5+，=4-2地=6，得6=2-3， k2 「k 又4=2b-4-4软6>0，得1-32<0，故k>5或k<-5,则倾斜角无最大值，故C 3 3 错误； 当直线AB斜率存在时，线段AB中点的坐标为3,3k+b),所以线段AB的垂直平分线方程 为-(3张+创=x-3, 又6名-3张，故化为+x-5=0,过定点5,0)：当直线B的斜幸不行在时其垂直平分线 即为x轴所在直线，也成立，故D正确。 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】√7（本小题5分） 【解析】由b-6-2a)=-2,可得方2-2a6=-2, 即1-2a.b=-2,得2a.b=3, 所以a+=va+2a6+6=√万 故答案为：√万 13.【答案】(2，+0)（注：答案不唯一，只要是(-0，-3）U(2,+0)的真子集都正确)（本小题5分） 【解析】由x2-ax+b<0的解集为x-2<x<3知，a=1,b=-6,所以x2+x-6>0.解 集为(-0，-3)U(2,+0).故答案只要是(-0，-3)U(2,+∞)的真子集都正确， 14.【答案】30（本小题5分） 【解析】先将6个小球排列，不同的排法有G店 。=90种， 若将其中1组同色两个球看成1个整体，再与剩余球排列，不同的排法有AA CAS =90种， 答案第1页，共2页 若将其中2组同色两个球均看为1个整体，再与剩余球排列，不同的排法有CA-36种， A 若将其中3组同色两个球均看为1个整体，不同的排法有A=6种， 综上所述：不同的排法有90-90+36-6=30种 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】四4=行：Q5+ 【解析】(1)：asinB-V3 bcosA=0, inAsinB-VsinBco8A=0.2.. 又B∈(0，元，SinB≠03分 .sinA-V3cosA=0,即tanA=√5 5分 又A∈(0，，A= .6分 3 (2) A 3， ABC的面积为V, :5 besinA=V3,即bc=4. 8分 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA, 即13=b2+c2-bc=(b+c2-3bc, .10分 又bc=4,b+c=5… 12分 △ABC的周长为5+3. .13分 16.【答案】0+2-1，②5 42 =22 【解析】(1)由椭圆第二定义知， c c 2 92分 a 2 a=2,C=√5，故b=√2,4分 所以椭圆方程为：文+=…… 42 5分 2》设直线1：=5+，1.85小 答案第1页，共2页 2xam20: 由少 8分 x2+2y2=4 故△=6m2-8m2-2=28-m2）>0即-2√2<m<2√2， 且x+为2=- 2,56=m2-2 6 .10分 2 故 8=++-4-厚5-2-2》-5m+4=s 解得m2=4 12分 点0到直线1的距离d= |2m4 V10V10 14分 故5.os=2×Ad=x5x4 10 15分 17.【答案】)证明见解析；② 10 【解析】(1)：PD⊥平面ABCD,且ACc平面ABCD, PDAC.… 1分 又：四边形ABCD是菱形，AC1BD.3分 :BD∩PD=D,且BD,PDC平面PBD,AC1平面PBD5分 又DEC平面PBD,AC1DE.6分 (2)四边形ABCD是菱形，AC=2,BD=25, .AD/BC,AD=2.… 7分 .∠PAD即为异面直线PA与BC所成的角. 8分 .PD AD tan4 PAD =2tan 60=23. 9分 当入=时，E为PB的中点，连接OE,如图。 答案第1页，共2页 Di B 则OE/1PD, OE⊥平面ABCD. 10分 从而可建立如图所示的空间直角坐标系O-z, 则B(0,V5,0),C(-1,0,0),D(0,-V5,0),P(0,-V5,2V5),E(0,0,V5), PC=(-1,5,-25),DC=（←l,V5,0),DE=(0,V5,5),11分 设n=(x,y,2)为平面ECD的法向量， [iDC=0∫-x+V3y=0 则由 得 DE=0待5y+3z=0 令y=1,则x=V5,2=-1,n=(5,l-l）,13分 设PC与平面ECD所成的角为O, 则sin0=cos(PC,) PC.23 15 PCH元4×5-10 15分 18.【答案】(I)2x-y-2e-1=0;(Ⅱ)f(x)在(0，e)递增，在(e,+oo)递减；(IⅢ) [*w 【解析】由（Ⅱ）得f(x的最大值是f(e=1,x,x2e1,e,不等式fx)≤gx)恒 成立，转化为fx)≤g()n恒成立，再求gx的导数，讨论单调性求最值即可。 【详解】(I):fx=2en-1,定义域是(0，+w, f1）=-l,f%对=2e-2enx,f'l=2e,2分 故切线方程为y+1=2(x-1，即2ex-y-2e-1=0;3分 答案第1页，共2页 (I)由(I)f(x=2e-2enx x2 令f'(x>0,解得0<x<e,令'(x<0,解得x>e,5分 故f(x)在(0，e)递增，在(e,+o)递减： 6分 (I)由(L)得f(的极大值是f1e)=2e1nc-1=l, 即f(x的最大值是f(e=1,7分 g=3x+2ax+1g=9x2+4a 令g'(x=0,解得x=0或x=-4 9 ，9分 若x,x2∈[l,e],不等式f(x)≤g(x)恒成立， 则x∈[l,e时，f(xx≤gxn恒成立，10分 ①当号≤1即a2号时，g在Ld上单调提琳。 11分 3 此时g(xmn=g)=4+2a,令4+2a21,得a≥ 29 12分 9 4 4a32a3 此时8=8924+l, 令32 +1≥1，解得a≥0，不符合题意； .14分 43 图当≥e即a≤光时，gx在le递减5分 4 g(x)min=g(e)=3e'+2ae+1, 令3C+2ac2+1≥1，解得a之-e,不符合题意 .16分 2 3 综上，实数a的取值范围是 17分 19.【答案】(1)分布列见解析 ②0=0,-4②p=,+n=l23: 1 1 11 2 【解析】(1)X的可能取值为2和3，…。 .1分 则x-小是-mx=-日 C 4 3分 答案第1页，共2页 所以随机变量X的分布列为： 4分 (2)①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球 在甲手中的概率为乃n,n=1,2,3,…, 则有乃=0,5分 1121 P2=2 2722227 7分 11121 P3=2×2 222234 8分 ②记A,表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， An+1=An·An+1+AnAn+1 .9分 所以p1=PA·A1+A。A)=PA·A+P(AnAi) =Pa小P(4)+P(4)小P44)=1-p+p.0=1-p. .12分 即p=P.+7n=l23, 13分 14分 所以数列口司}表示以子为首项 为公比的等比数列， 15分 所以n专)厂所以a=”+兮-( .16分 即次传球后球在甲手中的概率是。 2 ..17分 答案第1页，共2页