精品解析：2026年甘肃省天水市清水县太坪乡中学初中学业水平考试冲刺卷（二）数学

2026年甘肃省初中学业水平考试冲刺卷（二） 数学 考生注意：本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均要求在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 稀土是钪、钇、镧系种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年，我国稀土勘探在四川取得新突破，预期新增稀土资源量吨．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 小明依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校2000名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（ ） A. 锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 B. 该样本中学生平均每天锻炼时长为1小时 C. 锻炼时长为1小时是这个样本的中位数 D. 该校锻炼用时为2小时的学生少于200名 7. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，一动点P从中的A点出发，在三角形的内部运动（含边上），沿直线运动两次，第一次到点，第二次到点，设点 P 运动的路程为 x ，如图②，是点 P 运动时 y 随 x 变化关系图象，若，则以，，A ， B 四点组成的四边形面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：_________． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数为_________． 13. 已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的值可以是______．（写一个符合条件的m的值即可） 14. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为______． 15. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 16. 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，连接BF，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为________． 三、解答题：本大题共6小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 21. 化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 22. 郇家庄白塔，位于甘肃省徽县粟川乡，是我国历史时期的重要文物，建于宋朝时期，清道光年间重修．塔身为多层叠涩承托平座的楼阁式砖筑空心塔，现为省级文物保护单位．学完三角函数知识后，同学们决定用自己学到的知识测量郇家庄白塔的高度．如图，是高为1米的测角仪，在A处测得塔顶端D的仰角（即）为，向塔方向前进米在B处测得塔顶端D的仰角（即）为，求郇家庄白塔的高度（精确到1米，参考数据，，，，，）． 四、解答题：本大题共5小题，共39分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 综合与实践 【问题情境】数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们每人随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 1.95 n 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中： ， （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶 ”（填“小”或者“大”） ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的 倍．” （3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由 24. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，，求的面积． 25. 如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 26. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 27. 如图，二次函数（a，b为常数）的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线位于第三象限图象上的动点，过点P作x轴的平行线交y轴于点N，交直线于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点M． （1）求二次函数表达式； （2）如图1，当时，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，若点G是抛物线对称轴的一个动点，过点G向y轴做垂线，垂足为H，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省初中学业水平考试冲刺卷（二） 数学 考生注意：本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均要求在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的相反数是 2. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 稀土是钪、钇、镧系种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年，我国稀土勘探在四川取得新突破，预期新增稀土资源量吨．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的形式为，，为整数，的值与小数点移动的数位相同，据此即可求解． 【详解】解：用科学记数法表示为； 故选：D 4. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，利用分式的乘法法则解答即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 5. 小明依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由可得，由可得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校2000名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（ ） A. 锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 B. 该样本中学生平均每天锻炼时长为1小时 C. 锻炼时长为1小时是这个样本的中位数 D. 该校锻炼用时为2小时的学生少于200名 【答案】A 【解析】 【分析】算出抽查总人数，再求出锻炼时长为1.5小时的人数，即可可判断A；运用平均数的公式进行列式计算，即可判断B；结合中位数的定义，则锻炼时长为1.5小时是这个样本的中位数，即可判断C；运用样本估计总体，得该校锻炼用时为2小时的学生大于200名，即可判断D．本题考查条形统计图、用样本估计总体，平均数，中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：样本容量是， 则（人）， ∴锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 故A正确， ， ∴该样本中学生平均每天锻炼时长为小时，故B错误， ∵， ∴锻炼时长为1.5小时是这个样本的中位数，故C错误， 依题意，， ∴该校锻炼用时为2小时的学生大于200名，故D错误， 故选A． 7. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程为，方程两边同乘最简公分母 （且）， 去分母可得 ， 去括号可得， 移项并合并同类项可得， 检验：当时，，故是原方程的解． 8. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设用6210文能买x株椽， 由题意得：， 故选：C． 9. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 10. 如图①，一动点P从中的A点出发，在三角形的内部运动（含边上），沿直线运动两次，第一次到点，第二次到点，设点 P 运动的路程为 x ，如图②，是点 P 运动时 y 随 x 变化关系图象，若，则以，，A ， B 四点组成的四边形面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，，求出，由题意可知，，画出图形，由题意得垂直平分，垂足为点，当点P从运动到点的过程中，，即，不变，得到，由勾股定理求出，，根据即可得到答案．此题考查了从函数图象获取信息，用到了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，数形结合是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∴， ∴， 由题意可知，， 如图，垂直平分，垂足为点， 当点P从运动到点的过程中，，即，不变， ∴， 此时，，， ∴， 即以，，A ， B 四点组成的四边形面积为， 故选：B 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可求解． 【详解】解：原式． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 13. 已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的值可以是______．（写一个符合条件的m的值即可） 【答案】1（不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数增减性进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，y随x增大而减小， ∴， ∴m的值可以是1， 故答案为：1（不唯一）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 14. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理．连接，设交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】如图，连接，设交于点， 由作图可知：，平分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 15. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 【答案】0，（答案不唯一，即可）． 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以 解得 故答案为：0，（答案不唯一，即可） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 16. 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，连接BF，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】通过建立平面直角坐标系，利用坐标确定各点位置，再结合中点坐标公式和两点间距离公式来求解的长度． 解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系： 由坐标系可知： ，，，，，，． ∵为的中点，根据中点坐标公式，可得的坐标为： ． 再根据两点间距离公式：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用、中点坐标公式和两点间距离公式，解题关键是通过建立坐标系将几何问题代数化，准确计算各点坐标并运用公式求解． 三、解答题：本大题共6小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】﹣6． 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法法则计算，化成最简二次根式, 再合并即可. 【详解】原式= =3－6 = －6 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，最后要化简，再计算. 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用乘法公式，整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 【答案】任务一：见解析；任务二： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 任务一：根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可； 任务二：由旋转的性质可知，即得出，即此时点所在位置的坐标为． 【详解】解：任务一：如图，正六边形即为所作； 任务二：如图， 由旋转可知， ∴， ∴． 故答案为：． 21. 化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，可得总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验能制取氧气的结果有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：共有4个实验，小红选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有12种等可能结果，其中两个实验能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为． 22. 郇家庄白塔，位于甘肃省徽县粟川乡，是我国历史时期的重要文物，建于宋朝时期，清道光年间重修．塔身为多层叠涩承托平座的楼阁式砖筑空心塔，现为省级文物保护单位．学完三角函数知识后，同学们决定用自己学到的知识测量郇家庄白塔的高度．如图，是高为1米的测角仪，在A处测得塔顶端D的仰角（即）为，向塔方向前进米在B处测得塔顶端D的仰角（即）为，求郇家庄白塔的高度（精确到1米，参考数据，，，，，）． 【答案】郇家庄白塔的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．如图，延长与相交于，则于，设，根据正切的定义分别表示，再进一步建立方程求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于，则于， 则，， 在中，，设， ， 在中，， ， ∴， ∴， ． 答：郇家庄白塔的高度约为米． 四、解答题：本大题共5小题，共39分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 综合与实践 【问题情境】数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们每人随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 1.95 n 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中： ， （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶 ”（填“小”或者“大”） ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的 倍．” （3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由 【答案】（1）3.75，2.0 （2）①小；②2.0 （3）荔枝树叶，见解析 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶的长宽比判断即可． 【小问1详解】 解：把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8， 故； 10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故． 故答案为：3.75；2.0； 【小问2详解】 解：从树叶的长宽比的方差来比较，， 芒果树叶的形状差别比荔枝树叶差别小， 荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0， 荔枝树叶的长约为宽的2.0倍． 故答案为：小；2.0； 【小问3详解】 解：， 这片树叶更可能是荔枝树叶． 24. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，求出，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴，， 解得，， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 由题意得：， ∴，同底等高， ∵， ∴． 25. 如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得是的直径，再根据等腰三角形的性质证明，从而得，根据切线的判定即可得证； （2）作于点，则，由三角形函数的定义得，从而求得，，再利用勾股定理及等腰三角形的性质求得，即可得解； 【小问1详解】 证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是是的切线． 【小问2详解】 解：作于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定以及的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 26. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）4或2 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或； 故答案为：4或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 27. 如图，二次函数（a，b为常数）的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线位于第三象限图象上的动点，过点P作x轴的平行线交y轴于点N，交直线于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点M． （1）求二次函数表达式； （2）如图1，当时，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，若点G是抛物线对称轴的一个动点，过点G向y轴做垂线，垂足为H，连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）将，代入，待定系数法即可求解； （2）首先确定点C的坐标，求出直线的函数表达式，设，则，得，证明 ，得，由此得方程，解方程即可求出坐标； （3）将点沿水平方向向右平移至，使，连接，作点关于轴的对称点，连接，，得，由，推出三点共线时，最小，由得，由抛物线的对称轴为直线，得，根据两点距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， ， 设，则， ， 轴， ， 轴， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：将点沿水平方向向右平移至，使，连接，作点关于轴的对称点，连接，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 中，， 三点共线时，最小， ， ， ， ， ， ， 即的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $