精品解析：甘肃武威第十二中学等校2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷

2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图，在五边形中，延长，，分别交直线于点M，N．若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， 即， ∴， ∵， ∴． 3. 关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为，列不等式求解得到的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同乘去分母得：， 整理得，， 移项合并得，， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为， ∴， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴的取值范围是且． 4. 如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由正方形性质可得，，通过折叠性质可知，，，然后证明，所以，设，则，，由勾股定理得，即，然后求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是中点， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴的长为． 5. 如图，是的外接圆，是的切线，连接交于点D，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由切线的性质得到，根据得到，从而根据角的和差求得，再由得到，因此，再由圆周角定理即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外接圆， ∴． 6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各点纵坐标代入反比例函数解析式，即可求出横坐标，直接比较大小即可. 【详解】∵ 点都在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ． 7. 如图，是的中位线，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质可判断，根据平行线分线段成比例可判断，证明，根据相似三角形的性质可判断． 【详解】解：是的中位线， ，， ， 故正确，不符合题意， ， ， ， 故不正确，符合题意． 8. 如图，是的高．若，，则边的长为（ ） A. B. 10 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先利用已知条件求出的长度，再根据的值求出高的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：是的高， ． ， ． ， ． 在中， ，， ． 9. 如图，是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图每一列的小正方体个数，由该列的小正方体个数最多的那个来确定即可判断． 【详解】解：从左边看一共有2列，从里往外每列上小正方体个数分别为2、1． 10. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根是；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给二次函数的图象，结合抛物线的对称性和增减性对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 则． 故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 则一元二次方程的两个根是． 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 则． 将点代入抛物线的解析式得， 则， ∴． 故③错误； 当时，抛物线的图象在x轴上方，即， ∴当时，． 故④正确． ∴正确的结论有①②④． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 12. 设m、n分别为方程的两个实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵m、n分别为方程的两个实数根， ∴，， ∴． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，当点落在线段上，且时，的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据旋转可得，，再结合三角形的内角和即可求解． 【详解】解：由旋转可知，， 又∵， ∴， ∴． 14. 如图，直线AB切于点A，弦，，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质连接，再根据平行线的性质延长交于点，连接，利用勾股定理解出的长，最后再次利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接，延长交于点，连接， ∵直线AB切于点A， ∴， 又∵弦， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∴圆的半径为． 15. 在数字1，2，3，4，5，6中任意挑选一个，该数是3的倍数的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出其中满足“该数是3的倍数”的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，任意挑选一个数，所有等可能的结果共种， 其中是的倍数的数为，，共种， 根据概率公式得 ． 16. 如图，四边形是平行四边形，边在x轴上，点B在反比例函数上，点C在反比例函数（k为常数，且）上．若轴，则k的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可设，然后根据平行四边形的性质得到，那么，即可得到，而，以及表示出，即可建立方程求解． 【详解】解：由题意可设， ∵平行四边形 ∴， ∴ 将代入，则 ∵轴 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，解得． 17. 已知，若，且，则_________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意求得，，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， 提取公因式得， 解得． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，都在格点上，的正切值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理得到，再由逆定理得出为直角三角形，利用正切函数求解即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得：， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 如图，三个顶点的坐标分别为， （1）请画出将向左平移6个单位长度后得到的图形； （2）请画出绕原点O顺时针旋转的图形； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图； （2）根据旋转的性质画图． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 20. 计算： （1）； （2）化简：． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、特殊锐角三角函数值以及绝对值的定义进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 【答案】每个玩具应降价12元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在销售问题中的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出降价金额后，分别表示出降价后单个玩具的利润和每天的销售量，根据总盈利等于单个利润乘以销售量建立方程求解，再结合“尽快减少库存”的要求对所得的解进行取舍即可． 【详解】解：设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，平均每天的销售量为个， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：或， 因为商家需要尽快减少库存，降价越多销售量越大， 因此取， 答：每个玩具应降价12元． 22. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质得到，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【小问1详解】 证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 23. 如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接． （1）求证：； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对圆周角等于，已知垂直的条件证明，即可判定； （2）根据可得，进而可得为等边三角形，由此得出阴影部分所在扇形的圆心角等于，再根据阴影部分的面积等于扇形减去计算即可． 【小问1详解】 证明：∵是⊙O的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴ 在与中 ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴． ∵， ∴，为等边三角形． ∴，． ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据已知坐标和三角形的面积关系，分别计算面积即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点B的坐标为， ∵把点，，分别代入，得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∵设点C为直线与y轴的交点， ∴点C的坐标为， ∴． 25. 如图，在中，，是外接圆，点D是圆外一点．连接，与交于点E，，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明即可求解； （2）由题可得垂直平分，进而得到是的中位线，再证，得到，根据计算即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴垂直平分． 又∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即∴， ∴， ∴． 26. 一个大坝的截面图如图所示，坝顶与坝底平行，测得，，大坝左侧与坝顶延长线的夹角为，要从坝顶B处到坝底D处预埋一根管道，求这根管道的长度．（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于F，过点B作于G，根据三角函数得到，，证明四边形是矩形，得到，，进而得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于F，过点B作于G， ． ∵大坝左侧与坝顶延长线的夹角为， ∴， ∴， 在中，， ． ∵坝顶与坝底平行， ，． ∴四边形是矩形． ，． ． ． 答：的长度约为． 27. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E的坐标； （3）点P在抛物线上，在点E移动的过程中，当是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1）． （2）； （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）将点和点代入即可； （2）如图1，连接，，求出，设点，得到，利用勾股定理解得，即可得到答案； （3）当点P与点C重合时，或；当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J，分当点P在x轴上方和当点P在x轴下方时分类讨论即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点和点， ； 【小问2详解】 解：如图1，连接，， 点D和点F关于直线对称， ， ，轴， ∵二次函数的对称轴为： ， ， ， 设点， ， 在中，， 解得， ； 【小问3详解】 解：当点P与点C重合时，或； 当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 当点P在x轴下方时，如图3，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交PK于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 综上，符合条件的点E的坐标为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在五边形中，延长，，分别交直线于点M，N．若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的外接圆，是的切线，连接交于点D，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中位线，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的高．若，，则边的长为（ ） A. B. 10 C. D. 12 9. 如图，是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根是；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 分解因式：_________． 12. 设m、n分别为方程的两个实数根，则__________． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，当点落在线段上，且时，的度数为________． 14. 如图，直线AB切于点A，弦，，则的半径为________． 15. 在数字1，2，3，4，5，6中任意挑选一个，该数是3的倍数的概率是_________． 16. 如图，四边形是平行四边形，边在x轴上，点B在反比例函数上，点C在反比例函数（k为常数，且）上．若轴，则k的值是_________． 17. 已知，若，且，则_________． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，都在格点上，的正切值是______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，三个顶点的坐标分别为， （1）请画出将向左平移6个单位长度后得到的图形； （2）请画出绕原点O顺时针旋转的图形； 20. 计算： （1）； （2）化简：． 21. 某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 22. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 23. 如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接． （1）求证：； （2）若，求阴影部分的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 25. 如图，在中，，是外接圆，点D是圆外一点．连接，与交于点E，，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 26. 一个大坝的截面图如图所示，坝顶与坝底平行，测得，，大坝左侧与坝顶延长线的夹角为，要从坝顶B处到坝底D处预埋一根管道，求这根管道的长度．（参考数据：，，，） 27. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E的坐标； （3）点P在抛物线上，在点E移动的过程中，当是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $