广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期考前学情自测数学试卷

**基本信息** 2026届高三数学学情自测卷，以折扇文化（圆台体积）、投篮比赛（概率递推）为情境，通过函数导数证明、立体几何翻折等综合题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、充要条件|基础概念与数学眼光结合| |多选|3/18|三角函数、四叶草曲线|跨象限抛物线综合应用| |填空|3/15|二项式系数、函数奇偶性|隐含条件挖掘（锐角三角形面积公式）| |解答|5/77|概率递推、立体几何翻折、导数证明|投篮概率含递推模型，导数题证xeˣ-lnx>2x|

2026届高三下学期第四次学情自测 数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，则A∩B＝（　　） A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1} 2．复数的共轭复数为（　　） A． B． C．1+2i D．1﹣2i 3．已知实数x，y，则“x＞y”是“（x+1）3＞（y+1）3”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知实数x，y满足方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．[2，4] 5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史．如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为150π，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（　　） A． B． C． D． 6．已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（　　） A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3：8 7．已知向量满足，，且与的夹角为60°，则为（　　） A． B． C．7 D．21 8．已知函数f（x）＝（2x﹣s）lnx，g（x）＝2tx﹣st（t≠0），若f（x）≥g（x）恒成立，则的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，0）∪[2e，+∞） C．（﹣∞，0）∪[e+1，+∞） D． 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若α∈（0，π），，则（　　） A． B． C． D． 10．如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为y2＝4x，过点F（1，0）作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（　　） A．开口向下的抛物线的焦点坐标为 B．曲线E上两点间距离的最大值为 C．点（3，3）不在曲线E的内部 D．直线l的斜率为 11．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，点P为侧面ABB1A1内一点，则（　　） A．若直线DP与直线BC所成角为，则点P的轨迹为双曲线的一部分 B．若直线DP与直线B1D1所成角为，则点P的轨迹为椭圆的一部分 C．若点P到直线AD的距离等于到直线A1B1的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分 D．若PD＝2PA，则点P的轨迹长度为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．展开式中x2项的系数为 　 　 ． 13．已知函数，且f（1）＝2024，则f（﹣1）＝　 　 ． 14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣（b﹣c）2，若，则t的最小值为　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）甲、乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立． （1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行． （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第n次射击由同学甲进行的概率为P（n），求P（21）的值． （2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束．若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率． 16．（15分）如图，在矩形CDEF中，CD＝1，DE＝2，A，B分别是DE，CF的中点，点P，Q分别是对角线AC，BE上的动点（不包括端点），且CP＝BQ＝a，将四边形ABCD沿AB翻折，使平面ABCD⊥平面ABFE． （1）求证：BD⊥平面AEC； （2）求线段PQ的长（用a表示）； （3）当线段PQ的长最小时，求平面PQA与平面AEC夹角的余弦值． 17．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2且． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝（2n+1）an，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，恒成立，求λ的取值范围． 18．（17分）已知角α（0＜α＜π）的顶点为A，在α的两边上截取|AB|＝|AC|，连接BC，在线段BC上取一点O，使得|BO|＝2|CO|，记BO的中点为D，以O为中心，C，D为顶点作离心率为2的双曲线M，以A为圆心，AB为半径作圆，与双曲线M左支交于点E（射线AE在∠BAC内部），在上述作法中，以O为原点，直线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，若B（﹣2，0），点A在x轴的上方． （1）求双曲线M的方程； （2）若过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G，点E到直线AG的距离为d． 证明：①为定值； ②． 19．（17分）已知函数f（x）＝xex﹣ax+1． （1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程． （2）若f（x）≥1在（0，+∞）恒成立，求a的取值范围． （3）当a＝1时，证明：对∀x＞0，有f（x）＞lnx+x+1． 参考答案 一．单项选择题 C．B．C．A．C．B．A．B． 二．多选题 9．ACD． 10．BD． 11．BCD． 三．填空题 12．42． 13．2028． 14．． 四．解答题 15．解：（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件A， ； （ii）因为第n次由同学甲进行射击的概率为P（n），则第n﹣1次由同学甲进行射击的概率为P（n﹣1）， 所以，即， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以； （2）P乙→乙表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，P甲→乙表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率， 则①， ②， 联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为． 16．解：（1）证明：在矩形CDEF中，CD＝1，DE＝2，点A，B分别是DE，CF的中点， 所以四边形ABCD和EFBA是全等的正方形，所以BD⊥AC，AE⊥AB， 因为平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE＝AB，AE⊂平面ABFE， 所以AE⊥平面ABCD， 因为BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD， 又因为BD⊥AC，AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面AEC， 所以BD⊥平面AEC； （2）以B为原点，BA，BF，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，0，0），A（1，0，0），E（1，1，0），F（0，1，0），C（0，0，1），D（1，0，1）， 则，，， 因为CP＝BQ＝a， 所以，， 则， 所以， 所以线段PQ的长为； （3）因为， 所以当时，线段PQ最短， 此时P，Q分别为线段AC，BE的中点，，， 则， 设n＝（x，y，z）是平面PQA的一个法向量， 则， 令x＝1，则y＝z＝1， 所以平面PQA的一个法向量为（1，1，1）， 由（1）知，为平面AEC的一个法向量， 则， 所以平面PQA与平面AEC夹角的余弦值为． 17．解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2且． 可得n＝1时，S2＝a1+a2＝2+a2＝2S1+2＝6，解得a2＝4， 当n≥2时，由Sn+1＝2Sn+2，可得Sn＝2Sn﹣1+2，相减可得an+1＝2an， 上式对n＝1也成立， 可得数列{an}是首项和公比均为2的等比数列， 即有an＝2n； （2）bn＝（2n+1）an＝（2n+1）•2n＝（4n﹣2）•2n﹣[4（n﹣1）﹣2]•2n﹣1， 数列{bn}的前n项和Tn＝4﹣（﹣2）+24﹣4+80﹣24+...+（4n﹣2）•2n﹣[4（n﹣1）﹣2]•2n﹣1＝4n﹣2）•2n+2＝（2n﹣1）•2n+1+2， 若对任意的n∈N*，恒成立，即为λ•（）n恒成立， 设cn•（）n，•（），当n＝1，2时，c1＞c2＞c3， 当n≥3时，cn＞cn﹣1＞...＞c4＞c3， 则cn的最小值为c3，λ， 可得的取值范围是（﹣∞，]． 18．解：（1）设双曲线M的方程为， 由|BO|＝2|CO|及B（﹣2，0），可得C（1，0），所以a＝1， 因为双曲线M的离心率为2， 所以， 解得b2＝3， 所以双曲线M的方程为； （2）①证明：由题可得B（﹣2，0），C（1，0）， 因为|AB|＝|AC|，所以直线AG的方程为， 设E（x0，y0）（x0≤﹣1），则， 所以， ， 所以为定值； ②证明：因为|AB|＝|AE|， 由①得，， 因为， 所以， 又∠BAE，∠EAG都是锐角， 所以， 所以∠BAC＝2∠BAG＝2（∠BAE+∠EAG）＝3∠BAE， 所以． 19．解：（1）当x＝0时，f（x）＝1，而导函数f′（x）＝（1+x）ex﹣a， 所以f′（0）＝1﹣a，由点斜式得切线：y﹣1＝（1﹣a）（x﹣0）， 即y＝（1﹣a）x+1． （2）根据题意xex﹣ax+1≥1，化简得xex≥ax， 因为x＞0，所以ex≥a，又ex＞1，所以a≤1， 因此a∈（﹣∞，1]． （3）证明：当a＝1时，原不等式等价于xex﹣x＞lnx+x，所以x（ex﹣1）＞lnx+x． 令t（x）＝ex﹣1﹣x，x＞0，求导得t′（x）＝ex﹣1，因为x＞0，因此t′（x）＞0， 因此函数t（x）在（0，+∞）上单调递增，因此t（x）＞t（0）＝0， 因此由ex﹣1＞x，那么可得x（ex﹣1）＞x2， 只需证x2＞lnx+x，即x2﹣x﹣lnx＞0． 令h（x）＝x2﹣x﹣lnx（x＞0），导函数， 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增； 当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减， 所以h（x）≥h（1）＝0，且在x＝1处取最小值；而ex﹣1＞x在（0，+∞）恒成立， 故x（ex﹣1）＞x2≥lnx+x，所以x（ex﹣1）＞lnx+x， 原不等式f（x）＞lnx+x+1对所有x＞0成立． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/24 22:06:25；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $