广东中山市华侨中学2026届高三下学期考前学情自测数学试题

广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三下数学校三模 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 L.已知集合M={xy=lnx},集合N= {p=} 则MnN=() A.{x|x>0且x≠1} B.{xx≠1} C.{x>0 D.{xx卡0} 2.已知sin(a+a) =3,则tanc=() sin(a-B) tanB 1 A.3 C.2 D.3 + 3.若x>0,y>0,且x+=w,则1 ,的最小值为() A.2 B.2V2 C.3 9 D. 2 4.记等差数列{an}的前n项和为Smn,若S10=0,S6=2S3-12,则a1=（) A,6 B.8 C.10 D.12 5.己知球O的表面积为4r,一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O,母线与下底 面所成角为了则该调台的侧面积为() A. 3v3 3 B. C. 3V3 4 T 2 D.3 6.己知w>0,曲线y=COSW与y=cos(wz- )相邻的三个交点构成一个直角三角形，则“=(） A.v3 37 B. v② 2 T C.√2m D.√3m 7.已知双曲线M: 4-=1的左，右焦点分别为A,乃，记BF=2c,以坐标原点0为圆心，c x2 y 为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P.若PF=c十4，则双曲线的离心率为() A.5+1 B.V3+1 C.3+2 D.V3+3 2 2 2 第1页 共5页 8.已知函数f(x)=ax+lnx+1-xe2r对任意的c>0,f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为 () A.（-0∞，0] B.(-∞，2] C.(-0∞，1] D.(-∞，3] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 100 100 9.一组样本数据(x,),i∈{1,2,3，…，100}.其中x>1895, =2×10, 贴=970，求 i=1 得其经验回归方程为：立=-0.02x+a,残差为e.对样本数据进行处理：x'i=ln(x;-1895),得 到新的数据(x'i,:),求得其经验回归方程为：9=-0.42x十a2,其残差为、e,:分布如图所 示，且é-N(0,),i-N(0,o),则() %心 w心心小 g9a 图1 图2 A.样本(x,)负相关 B.a1=49.7 C.1< D.处理后的决定系数变大 10.如图，半径为1的动圆C沿着圆O:x2+=1外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点P(a,b)形成的外 旋轮线T,因其形状像心形又称心脏线.已知运动开始时点P与点A(1,0)重合，以下说法正确的有 () 珠 A.曲线T上存在到原点的距离超过2√3的点B.点(1,2)在曲线上 C.曲线T与直线x+y-2v2=0有两个交点D. 两s 11.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1 处(A1平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，平面A1DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线 A1E与平面DEBC所成角为B,则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是() A 第2页 共5页 A.存在某个位置，使得BM⊥A1D B.△A1EC面积的最大值为2V2 C.sina =V2sin B D.三棱锥A1-EDC体积最大时，三棱锥A1-EDC的外接球的表面积16m 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若斜率为√3的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则AB= 13.某公司在某地区进行商品A的调查，随机调查了100位购买商品A的顾客的性别，其中男性顾客18位， 己知该地区商品A的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的46%，从该地区中任选一人， 若此人是男性，求此人购买商品A的概率 14.数列{an}中，a表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1,2,4,5,10， 20,a20=5,21的因数有L,3,7,21,a21=21,那么数列{an}前22023-1项的和S2s-1= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,数列{bm}是公比为2的等比数列，且a1=1,S3=6,b2=4 (l)求数列{an},{bn}的通项公式： (2)数列{an}与{b}中的所有项分别构成集合A,B,将集合{xx∈Ax主B}中的所有元素从小到大 依次排列构成新数列{Cn},求数列{Cm}的前20项和T2o 16.已知函数f(x)=x(a+lnx),曲线y=f(c)在点(e,f(e)处的切线与y=4x-1平行. (1)求a的值： (2)求f(x)的极值. 第3页 共5页 17.如图，△A0D与△B0C存在对顶角∠A0D=∠B0C=牙，AC=2,BD=2V2,且 BC=AD. (1)证明：O为BD中点； (2)若√5sin2A+cosB=√5，求OC的长， 18.双曲线E: 23 兰=1a>0,b>0)的一个顶点在直线l:y=t+1止，且其离心率为V5. a2 b2 (附：双曲线 以点m,n为切点的切线方程为，3c、7 a22 =1) ()求双曲线E的标准方程： (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲 线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点T在直线上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切 线，设这两条切线的切点分别为P和M. (①)设点T的横坐标为t,求t的取值范围： (四)设直线TP和直线TM分别与直线x=-1交于点Q和点N,证明：直线PN和直线MQ交点在 定直线上 第4页 共5页 19.已知n∈N且n≥3，集合An={a1,a2,…,an},其中0<a1<2<…<an:若存在函数 f(x)(f(x)卡)，其图象在区间D=[a1an]上是一段连续曲线，且{f(as)|a:∈An}=An,则称 fa提A的T发换数，朱合A是DT子集，如，设4={台v2】 此时数f回创=子 是风份7变换面藏。么是[得]的7于集 (1)判断集合{1289}是否是[19]的T子集？说明理由： ②判/回=血(1+二)是否为集合A,的7变换函数：说明理由： 3)若a:<a,(可∈N1≤i<j≤n）,则2∈An,试问是否存在函数f),使得集合An是 D=[a1an]的T子集？若存在，求f(c)的解析式：若不存在，说明理由. 第5页 共5页 广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三下数学校三模 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 2 5 C B A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 A,B,D B,C,D B,C,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.V3 30 14. 42023-1 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1)an=n,bn=2m (2)270 16.(1)2 1 ②)极小值为-。，无极大值。 17.(1)证明见解析 18.(1)x2- =1 4 @1)(1,-)((1) (Ⅱ)证明见解析 19.(1)集合{1289}是[19]的T子集，理由见详解： @四f回=血(+)不是年台4，的7变换函数，理由见详解， 第1页共10页 ③)存在，f()= 数学参考解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.C 【解答过程】 由对数函数的定义域可得：M={c/c>O}, 由基本初等函数的值域可得N={y/y卡0}，故A∩B={x/c>0} 故选：C. 2.C 【解答过程】 根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可 【详解】由于sin(a+)=sinacosB+cososin6,sin(a-B)=sinacos,6-cosasinB, sinacosB cosasinB=3sinacosB-3cosasinB, 4cosasin-2sinacosB.tan tanB =2, 故选：C. 3.B 【解答过程】 因为x+y=xy,即xy-x-y+1=1,即(x-1)(y-1)=1, 且x>0,y>0,则x>1,y>1, 12 2 u1+2天22正-1刘一1/(x一7) =2V2, 当且仅当1=2时，即2=1+ 当x-1=y-1"9 2,y=1+V2时，等号成立， 所以、1 ,的最小值为2v2. 故选：B 4.A 【解答过程】 设等差数列{an}的公差为d,由S6=2S3-12,得6a1+15d=2(3a1+3d)-12,解得9d=-12 由S10=0,得10a1+45d=0,则2a1=-9d=12,所以a1=6. 故选：A 5.B 【解答过程】 6.A 第2页 共10页 【解答过程】 7.A 【解答过程】 由题意可得，PF1⊥PF,a=2. 因为点P在第一象限，|P乃=c+4, 由双曲线的定义可得，PF|-PF=2a=4,所以PF2=c 在Rt△FPE中，由勾股定理可得|PF2+|PF22=日F22,即(c+4)2+c2=4c2 解得c=2士2√（舍去负值）. 所以c=2+2√3，所以e==√3+1. a 故选：A. 8.B 【解答过程】 因为c>0,且f(x)≤0恒成立， 则a≤：-血-上在0.+o)上恒成立，令g问=e-血=1 则g(x)= 2ac2a+血，令p回=2xer+h,则p=4e+42e2+是>0，所以 x2 p(c)=2e2r+ln,在(0，十o∞)单调递增， 又因为p国=2>0.()= e-h4<0, 所以存在∈（任·使e)=0 故g(e)mn=g0）=2oe2-血0-1 0 因为2ax02e20+ln0=0,所以2x02e2=-ln0, 则2e2西=去n支-n方，令h(国=te任>0，则N(因=e十e>0,所以 花0花0 0 1 h(t)=te(t>0)在(0，+o∞)上单调递增，则有2o=n 0 所以 -In zo g(0）=20e2-n20-1 0 2ax02 +2w2.(=）-1-n0-1 20 =2 To 所以g()min=2,则a≤2， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.A,B,D 【解答过程】 根据回归方程判断A,根据样本中心点计算判断B,根据图象由波动性判断C,根据图象的波动性判断 4 【详解】由经验回归方程 第3页共10页 交=一0.02x+a单调递减，可知样本(x,)负相关，故A正确： 由题意样本均值分别为=2×103，y=9.7, 由样本中心在经验回归直线上，代入回归直线解得=49.7，故B正确： 由图一的数据波动较大可得比e更集中，所以o<o，故C错误： 由图一的残差平方和较图二的残差平方和大可知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故如正确. 故选：ABD 10.B,C,D 【解答过程】 11.B,C,D 【解答过程】 对于A,取A1D的中点N,连接EN,MN, 显然NY/CD,HMN三CD,又BEI/EN,目BE三专CD,所以BE/AN,EBBN 所以四边形MNEB为平行四边形，所以BM//EN, 又A1E=2,EC=2V2,且N为A1D的中点， 则EN与A1D不垂直，所以BM与A1D也不垂直，故A错误： A A 对于B,由A1E=2,EC=2V2,则 SAAEG=2×AE×BC×sin∠AEC=2W2sin∠AEC, 所以当∠AB0=时，SaBC最大，且最大值为2V2。故B正确： 对于C,取DE的中点P,DC的中点Q,作A1O平面DEBC,且点O在平面DEBC内， 连接A1P,PQ,EO, 由A1E=A1D=2,则A1P⊥DE,又PQ/EC,且DE⊥EC,则DE⊥PQ, 则A1P在平面A1DE上的射影在直线PQ上，即点0在直线PQ上， 则LA1PO是平面A1DE与平面DEBC所成的二面角，则LA1PO=a,所以sima= A10A10 AP= 又A1E在平面DEBC上的射影为0B,则∠A1B0=B,所以i血日=A:C=4:O, AE 2’ 所以sina=y√2sinB,故C正确： A 第4页 共10页 对于D,结合C可知，A-BDC=青×SARDC×A1O. 则当点0与点P重合，即A1P⊥平面DEBC时，VAB0c最大，且最大值为4y2 3 则A1P⊥EC,又DE⊥EC,且A1P∩DE=P,则ECL平面A1DE 所以A1D,A1E,EC两两垂直，且A1D=2,A1E=3,EC=2√2， 则三棱锥A1一EDC的外接球的半径和长、宽、高分别为2,2,2y2的长方体的外接球的半径相等， 所以其外接球的半径为R= V2+22+(V②2 =2 2 所以三棱锥A1一EDC的外接球的表面积为4πR2=16π，故D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.V3 【解答过程】 圆x2+（y-1)2=1的圆心为C(0,1),半径为1. 0 A 设直线的方程为y=√3x+b, .直线与圆x2+(y-1)2=1相切， -1+6 =1,解得b=-1或b=3, V1+3 .AC=1-b=2, ∴AB=VAC2-2=V3. 13.1 30 【解答过程】 设从该地区中任选一人，此人是男性为事件B,此人购买商品A为事件C, 则该地区男性人口占该地区总人口的1-46%=54%， 则P()=54%,P(BC)=10%·1 100=1.8% 由条件概率公式可得P(C/B)= 1.8%1 54%=30 故答案为：30 14.42023-1 3 第5页 共10页 【解答过程】 根据数列的定义可得，a2m=an(n∈Nt),所以an2=am(k,n∈N+) 将数列1,2,3…，22023-1分为以下各组： 所有的奇数：1,3,5，，22023-1.根据定义，对应{a}中的数列为1,3,5，…，22023-1，构 皮个公差为2，项数为1+208-1=2m的等卷数列，和为 22022(1+22023-1） 2 2 =42022: 2的奇数倍：2,3×22,5×22，…，2023-24.根据定义，对应{a}中的数列为1,3,5，， 20m-1,构成一个公差为2，项数为1+2m-1-2咖的等差数列，和为 2 2021(（1+2202-1） =42021 2 2的奇数倍：22,3×22,5×2，…，2028-22.根据定义，对应{an}中的数列为1,3,5，…， 20m1-1,构成-个公差为2，项数为1+201-1 2 =22020的等差数列，和为 2020(（1+22021-1) =42020 2 年0t0 2(0≤t≤2022，且t∈N)的奇数倍：2*，3×2,5×2*，··，22023-2.根据定义，对应{am}中 的数列为1,3,5,2081-1，构成-个公差为2，项数为1+24-1=20-4的等差数 2 列，和 22022-t(1+2023-t-1） 2 =4202-t: … 2021的奇数倍：2021,2023-22021=3×22021.根据定义，对应{an}中的数列为1,3，和为1+3=4： 22022的奇数倍：22022.根据定义，对应{an}中的数列为1，和为1. 所以，数列{an}前22023-1项的和 8ym-1=1+4+…+4202-4+…+42021+4200=1×（1-42023)_42028-1 1-4 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1) an =n,on =2m 【解答过程】 (1),数列{an}为等差数列，且a1=1,S3=6, .S3=3a2=6,即a2=2,.d=1,即an=n, ,数列{b}是公比为2的等比数列，b2=4,b1=2 即bn=2m (2) 270 【解答过程】 (2)由(1)知BCA,∴.数列{c}的元素是由数列an}中去除数列{bn} ∴.数列{an}中去掉2,4,8,16， a24=24,20=S24-2-4-8-16=（1+24×24 -30=270. 2 第6页 共10页 16.(1) 2 【解答过程】 因为f(c)=x(a+lnx),x>0. 所以f(m)=a+lnx+”·正 1 =lnx+a+1,x>0. 由题意f'(e)=4÷lne+a+1=4→a=2. (2) 极小值为-。三，无极大值。 【解答过程】 因为f(x)=x(2+lnx),x>0. 所以f(x)=lnx+3,x>0. 由f(c)>0→lnx+3>0→x>e3:由f(e)<0→lna+3<0→0<x<e3. 所以函数f(x)在(0，e3)上单调递减，在(e3,+o∞)上单调递增. 所以当2=e时，函数取得极小值，且时(e)=。3.2+(←3训=吉 17.(1) 证明见解析 【解答过程】 设OC=x,OB=y,则OA=2-x,OD=2V2-y. 在△40D中，由余弦定理得：AD2=2-P+2v2-)2-2×2-)×2v2-)× 2 在△B0C中，由余弦定理得：BC2-2+-2y×2 2 由BC=AD,所以2-P+(2v2-)-2x2-)×(2V2-×Y 2 V② =x2+y2-2xry×21 化简得：y=√2. 故O为BD中点. (2) 2 【解答过程】 如图： 0 C 过D点做DE//BC,交AC与E. 则∠EDO=∠CBO, 第7页 共10页 ∠EDO=∠CBO 由∠EOD=∠COB= →△OED≥△OCB(AAS). OD=OB 所以BC=DE,又BC=AD,所以DE=DA. 所以∠A=∠DEA 00=r4,又∠0ED=∠C,B+C=元升 所以A=B+置 由V5sin2A+cosB=V5→V5sin2(B+H)+cosB=V5→V5cos2B+cosB=V5 所以V5(2cos2B-1)+cosB=√5→2V5cos2B+cosB-2V5=0. 又-1<cosB<1,所以cosB= ,所以sinB=V5 2v5 5 所以sim(B+ ）=sin Bcos-4 +cosBsin π√23√53√1⑩ 42× 5 10 即sinC= 3V10 10 OB OC √2 OC 在△OBC中，根据正弦定理，可得： →OC= 2 sinC sinB→ 310 10 5 18.(1) 2-号=1 4 【解答过程】 直线方程中，令y=0,则x=-1, 则直线l与x轴交于(-1,0)，所以a=1.离心率°=√5， 所以c=V5,故b2=c2-a2=4. 所以双曲线E的标准方程为2一 -=1. 4 (2) 1(1,)()() (Ⅱ)证明见解析 【解答过程】 (I)经检验，当一条切线斜率不存在时， 若T(1,2),显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为y一2=k(x-1), 联立双曲线方程得(k2-4x2-2k(飞-2)x+(k-2)2+4=0, 则△=42(k-2)2-4(2-4)(k-2)2+4=0, 解得k=2,而双曲线渐近线方程为y=士2c,则此时不符合题意， 当T(-1,0)时，此时只有一条切线，显然不合题意， 则两条切线斜率均存在，设切线斜率为k,切线方程为y=k(x一t)+(t+1), 与双曲线方程联立得：(k2-4)x2-2k(t-t-1)x+(t-t-1)2+4=0, 令△1=42(t-t-1)2-4(k2-4④)(t-t-1)2+4=0. 整理得：(t-t-P-从中4=0，由于≠士2所以E手专≠1 第8页 共10页 上式整理得：(t2-1)k2-2t(t+1)k+t2+2t+5=0. 由题意，k有两个相异实根，所以t2一1≠0， 且△2=4t2(t+1)2-4(t2-1)(t+2t+5)>0. 整理得：4+1(-3t+)>0,解得：-1<t< 3 综上所述，t的取值范围是 （1)()() (IⅡ)设M(x1,y1),P(x2,2)· 直线MT和PT方程分别为c1x- 1y=1和2x 49=1. 9 联立得点T 1-2 4(x1-x2） E2y1-x19’x21-x1/ 又点T在直线U上，代入整理得：21-1欢=4(1-x2)-(-一2)：① 在直线MT方程中，令x=-1,则y= -4(x1+1 ,得点N -1,4+1) 欢++ 马 KPN= =+4(四1+1 x2+1 (x2+1)y1 故直线PN方程为：y=十4+卫e-)十 (c2+1)1 设直线PV与直线交点为A,联立两直线方程：h+4+山6-2)十2=正十1. (x2+1) 解得：xA=2-十1)+4(1+1)2 12+4(x1+1)-(x2+1)y1 设直线MQ与直线l交点为B, 同理可得：xB= (x1-1+1)+4(c2+1)1 y12+4(c2+1)-(1+1)y2 由①式，作差EAEB的分子有(c2-y2+1)1+4(x1+1)x2-(x1-y1+1)y2-4(x2+1)x1 =x21-x12-[4(x1-x2）-(1-2】=0, 作差xB,xA的分母有y12+4(c2+1)-(x1+1)2-[y12+4(x1+1)-(c2+1)1] =x21-x12-[4(x1-x2)-(1-2】=0. 则可得x4和xB表达式的分子分母分别相等. 故A,B两点重合，所以直线PN与MQ的交点在定直线U:y=x+1上. 19.(1) 集合{1289}是[19]的T子集，理由见详解： 【解答过程】 第9页 共10页 当函数f(x)=10-x时， f(1)=9,f(2)=8,f(8)=2,f(9)=1, 此时函数f(x)是集合{1289}的T变换函数， ∴.集合{1289}是[19]的T子集 (2) 不是集合An的T变换函数，理由见详解： 【解答过程】 两数时回)=(1+日 在定义域上单调递减， 当n=3时集合A3={a1,a2,a3},其中0<a1<a2<a3, 假设函数f(x)为集合A的T变换函数， 则f(a1）=a3,f(a2）=a2,f(a3）=a1, 即{+)a,即 ∫1+号=es n(1+品)=a1’1+号=e 由①-②，得2、一2 ear eas ee, 整理后得一 (eae)o0o a1<a2<a3即eg-e4卡0，∴e4e=2, 而由①式易得e1e=2+e1,显然产生矛盾， 即函数f(x)不是集合An的T变换函数. (3) 存在，f()= 【解答过程】 设An={a1,a2,·,an}中an满足首项为1，公比为q(q>1)的等比数列， am=q”-1(g>1),则A={1,g,q2,…,g-1},满足∈An 0 设fa-会，则对ie1,lie么fa)=会∈ 而且学所，二≠号及于a有n个不同元素，即能程蛋所有元素。 ai 又“f()=的图象在区间D=[a1anJ上是一段连续曲线， ∴存在函数f(x)=，使得集合An是D=a1an的T子集， m 第10页 共10页