2026年中考数学二轮复习：一元二次方程

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心解法与实际应用，以题载法构建"概念-解法-应用"逻辑链，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解方程|选择1/7/8|因式分解法、配方法、直接开平方法|从基础变形到复杂方程转化| |根的判别式与关系|选择2/3/5/填空9/11/12|Δ分类讨论、韦达定理应用|概念辨析到代数推理| |实际应用|选择6/填空13/解答14|方程建模、等量关系转化|数学抽象到现实问题解决| |综合拓展|解答15/16/17|阅读理解、综合知识迁移|知识整合与创新思维培养|

2026年中考数学二轮复习：一元二次方程 一．选择题（共8小题） 1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2 2．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 3．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k 4．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2 5．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 6．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　） A．（180+x﹣20）（50）＝10890 B．（x﹣20）（50）＝10890 C．x（50）﹣50×20＝10890 D．（x+180）（50）﹣50×20＝10890 7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36 C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+9 8．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28 二．填空题（共5小题） 9．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　 　 ． 10．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　 　 ． 11．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　 　 ． 12．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论： ①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为　 　 ． 13．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 　 　 米． 三．解答题（共4小题） 14．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 16．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）． （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求p的值． 17．阅读下列材料： （1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，， （2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 根据以上材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值． 2026年中考数学二轮复习：一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【答案】D 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x＝0，x﹣2＝0， x1＝0，x2＝2， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中． 2．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题． 【答案】D 【分析】把x＝n代入方程得出n2+mn+2n＝0，方程两边都除以n得出m+n+2＝0，求出即可． 【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根， 代入得：n2+mn+2n＝0， ∵n≠0， ∴方程两边都除以n得：n+m+2＝0， ∴m+n＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中． 3．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k 【考点】根的判别式；一元一次方程的解． 【专题】计算题；判别式法． 【答案】A 【分析】由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答． 【解答】解：（1）当k＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1； （2）当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4k×（k﹣1）≥0， 解得k， 由（1）和（2）得，k的取值范围是k． 故选：A． 【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k＝0和k≠0两种情况进行讨论． 4．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法． 【专题】计算题． 【答案】B 【分析】可以把方程m（x+h﹣3）2+k＝0看作关于（x﹣3）的一元二次方程，再根据关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2得到x﹣3＝﹣3或x﹣3＝2，从而得到方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解． 【解答】解：把方程m（x+h﹣3）2+k＝0看作关于（x﹣3）的一元二次方程， ∵关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2， ∴x﹣3＝﹣3或x﹣3＝2， ∴x1＝0，x2＝5， 即方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x1＝0，x2＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 5．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值． 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得x1＝m+2，x2＝m﹣2． 6．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　） A．（180+x﹣20）（50）＝10890 B．（x﹣20）（50）＝10890 C．x（50）﹣50×20＝10890 D．（x+180）（50）﹣50×20＝10890 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】B 【分析】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得． 【解答】解：设房价定为x元， 根据题意，得（x﹣20）（50）＝10890． 故选：B． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36 C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+9 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【答案】D 【分析】根据配方法，可得方程的解． 【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0， 移项，得x2﹣6x＝4， 配方，得（x﹣3）2＝4+9． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方． 8．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【答案】B 【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可． 【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 二．填空题（共5小题） 9．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是m＝1或m＞2　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】分类讨论． 【答案】m＝1或m＞2 【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围． 【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1． 当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x，符合题意； 当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x，不符合题意； 当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0， [（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0， ∴x1，x2． ∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数， ∴01，解得m＞0， 01，解得m＞2． 综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2． 故答案为：m＝1或m＞2． 【点评】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况讨论求解． 10．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　15　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【专题】计算题；分类讨论． 【答案】15 【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可． 【解答】解：x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， ∴x﹣3＝0，x﹣6＝0， ∴x1＝3，x2＝6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理， ∴此时不能组成三角形， 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想． 11．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　2028　 ． 【考点】一元二次方程的解；根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】2028． 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020， 则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2 ＝x12﹣4x1+2（x1+x2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028， 故答案为：2028． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 12．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论： ①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为　3　 ． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】3． 【分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0， ∴Δ＝4+4a， ∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误， ③方程的根为x1±， ∵a＞﹣1， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确， ④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， 故答案为3． 【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 　1　 米． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】1 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【解答】解：设道路的宽为x m，根据题意得： （10﹣x）（15﹣x）＝126， 解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去）， 则道路的宽应为1米； 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 三．解答题（共4小题） 14．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用． 【专题】方程思想；一元二次方程及应用；一次函数及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论； （2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b， ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80． 当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33． 答：当天该水果的销售量为33千克． （2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150， 解得：x1＝35，x2＝25． ∵20≤x≤32， ∴x＝25． 答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式；三角形三边关系． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围． （2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值． 【解答】解：（1）∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0， 解得：k≤2， 又因为k是二次项系数，所以k≠0， 所以k的取值范围是k≤2且k≠0． （2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0， 所以把x＝2代入方程，可得k， 所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0， 解得：x1＝2，x2， 所以BC的值是． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0． 16．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）． （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求p的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】判别式法；一元二次方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝5、x1x2＝6﹣p2﹣p，结合x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，即可求出p的值． 【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0． ∵Δ＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2≥0， ∴无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）∵原方程的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p． 又∵x12+x22﹣x1x2＝3p2+1， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝3p2+1， ∴52﹣3（6﹣p2﹣p）＝3p2+1， ∴25﹣18+3p2+3p＝3p2+1， ∴3p＝﹣6， ∴p＝﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求出p的值． 17．阅读下列材料： （1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，， （2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 根据以上材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则　4　 ，　14　 ，　194　 ； （2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】阅读型． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决． （2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可． 【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0， ∴x4， ∴（x）2＝16， ∴x2+216， ∴x214， ∴（x2）2＝196， ∴x42＝196， ∴x4194． 故答案为4，14，194． （2）∵2x2﹣7x+2＝0， ∴x，x2， ∴（x）（x2﹣1）（1）． 【点评】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $