2026年中考数学二轮复习：一次函数

**基本信息** 聚焦一次函数概念、图像性质及综合应用，通过20道题构建"定义-图像-性质-应用"完整训练体系，渗透数形结合与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|定义判断/表达式识别|从一次函数定义出发，区分正比例函数与一般形式| |图像性质|5题|k/b符号分析/交点计算|通过图像特征逆向推导系数关系，强化几何直观| |综合应用|12题|待定系数法/分类讨论/建模思想|结合几何图形（如等腰直角三角形）与实际问题，培养抽象能力与模型意识|

2026年中考数学二轮复习：一次函数 一．选择题（共10小题） 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） ①y＝x﹣6；②y；③y；④y＝7﹣x． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 2．如图，两直线y1＝kx+b和y2＝bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（　　） A． B． C． D． 3．一次函数y＝kx+b图象经过（1，1），（2，﹣4），则k与b的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（　　） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 5．如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b分别与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，则不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3或x＜﹣1 6．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　） A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，） 7．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　） A．1 B．3 C．3（m﹣1） D． 8．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A．2或1 B．3或 C．2或 D．3或1 9．某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A．y＝0.12x，x＞0 B．y＝60﹣0.12x，x＞0 C．y＝0.12x，0≤x≤500 D．y＝60﹣0.12x，0≤x≤500 10．如图，点A的坐标为（﹣2，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（﹣1，﹣1） 二．填空题（共5小题） 11．如图，在直角坐标系中，直线yx+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为　 　 ． 12．如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起　 　 分钟该容器内的水恰好放完． 13．已知直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　 　 ． 15．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　 　 米． 三．解答题（共5小题） 16．如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F． （1）求：①点D的坐标； ②经过点D，且与直线FC平行的直线的函数表达式； （2）直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 18．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车去游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示． 请结合图象解决下面问题： （1）高铁的平均速度是每小时多少千米？ （2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？ （3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？ 19．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E． （1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S． （Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标； （Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S； （Ⅲ）当S时，求点M的坐标（直接写出结果即可）． 2026年中考数学二轮复习：一次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） ①y＝x﹣6；②y；③y；④y＝7﹣x． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 【考点】一次函数的定义． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：①y＝x﹣6符合一次函数的定义，故本选项正确； ②y是反比例函数；故本选项错误； ③y，属于正比例函数，是一次函数的特殊形式，故本选项正确； ④y＝7﹣x符合一次函数的定义，故本选项正确； 综上所述，符合题意的是①③④； 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．如图，两直线y1＝kx+b和y2＝bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象． 【答案】A 【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案． 【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得： A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＞0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，符合； B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，不符合； C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合； D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合； 故选：A． 【点评】此题考查一次函数的图象问题，解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系． 3．一次函数y＝kx+b图象经过（1，1），（2，﹣4），则k与b的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】待定系数法． 【答案】C 【分析】由于一次函数y＝kx+b图象经过（1，1），（2，﹣4），应用待定系数法即可求出函数的解析式． 【解答】解：把（1，1），（2，﹣4）代入一次函数y＝kx+b， 得， 解得：． 故选：C． 【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，只需把所给的点的坐标代入即可． 4．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（　　） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 【考点】一次函数的应用． 【专题】压轴题． 【答案】C 【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝﹣t+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【解答】解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确； B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝kt+b， 把（0，25），（20，5）代入得：， 解得：， ∴z＝﹣t+25， 当t＝10时，y＝﹣10+25＝15， 故正确； C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝k1t+b1， 把（0，100），（24，200）代入得：， 解得：， ∴y， 当t＝12时，y＝150，z＝﹣12+25＝13， ∴第12天的日销售利润为：150×13＝1950（元），第30天的日销售利润为：150×5＝750（元）， 750≠1950，故C错误； D、第30天的日销售利润为：150×5＝750（元），故正确． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 5．如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b分别与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，则不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3或x＜﹣1 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】一次函数及其应用． 【答案】A 【分析】观察函数图象，写出直线y1＝k1x+b在x轴上方和直线y2＝k2x+b在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝k1x+b＝0，则x＞﹣1时，y1＝k1x+b＞0， 当x＝3时，y2＝k2x+b＝0，则x＜3时，y2＝k2x+b＞0， 所以当﹣1＜x＜3时，k1x+b＞0，k2x+b＞0， 即不等式组的解集为﹣1＜x＜3． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　） A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，） 【考点】一次函数综合题． 【专题】一次函数及其应用；三角形；图形的全等；几何直观． 【答案】D 【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H， ∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°， ∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°， ∴∠MCP＝∠DPN， ∵P（1，1）， ∴OM＝BN＝1，PM＝1， 在△MCP和△NPD中， ∴△MCP≌△NPD（AAS）， ∴DN＝PM，PN＝CM， ∵BD＝2AD， ∴设AD＝a，BD＝2a， ∵P（1，1）， ∴DN＝2a﹣1， 则2a﹣1＝1， a＝1，即BD＝2． ∵直线y＝x， ∴AB＝OB＝3， 在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD， 在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2， 则C的坐标是（0，3）， 设直线CD的解析式是y＝kx+3， 把D（3，2）代入得：k， 即直线CD的解析式是yx+3， 即方程组得：， 即Q的坐标是（，）． 故选：D． 【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度． 7．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　） A．1 B．3 C．3（m﹣1） D． 【考点】一次函数综合题；三角形的面积． 【专题】压轴题． 【答案】B 【分析】设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G，然后求出A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，计算出长度，利用面积公式即可计算出． 【解答】解：由题意可得：A点坐标为（﹣1，2+m），B点坐标为（1，﹣2+m），C点坐标为（2，m﹣4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，﹣2+m），G点坐标为（1，m﹣4）． 所以，DE＝EF＝BG＝2+m﹣m＝m﹣（﹣2+m）＝﹣2+m﹣（m﹣4）＝2，又因为AD＝BF＝GC＝1，所以图中阴影部分的面积和等于2×1×3＝3． 故选：B． 【点评】本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角形面积的求法． 8．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A．2或1 B．3或 C．2或 D．3或1 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据题意解方程得到x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝1，求得OA＝1，OB＝2，根据勾股定理得到AB，①当∠ACD＝90°时，如图1，②当∠ADC＝90°时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AP⊥AB， ∴∠BAP＝∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝∠CAD+∠BAO＝90°， ∴∠ABO＝∠CAD， 在y＝﹣2x+2中， 令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝1， ∴OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB， ①当∠ACD＝90°时，如图1， ∵△AOB≌△DCA， ∴AD＝AB， ∴OD＝1； ②当∠ADC＝90°时，如图2， ∵△AOB≌△CDA， ∴AD＝OB＝2， ∴OA+AD＝3， 综上所述：OD的长为1或3． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 9．某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A．y＝0.12x，x＞0 B．y＝60﹣0.12x，x＞0 C．y＝0.12x，0≤x≤500 D．y＝60﹣0.12x，0≤x≤500 【考点】根据实际问题列一次函数关系式． 【答案】D 【分析】根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案． 【解答】解：因为油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了， 可得：L/km，60÷0.12＝500（km）， 所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y＝60﹣0.12x，（0≤x≤500）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题． 10．如图，点A的坐标为（﹣2，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（﹣1，﹣1） 【考点】一次函数综合题；垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理． 【专题】计算题． 【答案】D 【分析】过A作AC⊥直线y＝x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，推出AC＝OC，求出AC、OC长，根据三角形面积公式求出CD，推出CD＝OD，即可求出B的坐标． 【解答】解：过A作AC⊥直线y＝x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短， ∵直线y＝x， ∴∠AOC＝45°， ∴∠OAC＝45°＝∠AOC， ∴AC＝OC， 由勾股定理得：2AC2＝OA2＝4， ∴AC＝OC， 由三角形的面积公式得：AC×OC＝OA×CD， ∴2CD， ∴CD＝1， ∴OD＝CD＝1， ∴B（﹣1，﹣1）． 故选：D． 【点评】本题考查了垂线段最短，等腰三角形性质，勾股定理，一次函数的性质等知识点的应用，关键是得出当B和C重合时，线段AB最短，题目比较典型，主要培养了学生的理解能力和计算能力． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在直角坐标系中，直线yx+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为　62　 ． 【考点】一次函数综合题． 【专题】推理填空题；应用意识． 【答案】62 【分析】根据直线yx+4先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH＝OC＝BC＝2，再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝2是定值，所以只要CH+HQ的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【解答】解：如图，连接CH， ∵直线yx+4分别交x轴，y轴于A，B两点， ∴OB＝4，OA＝3， ∵C是OB的中点， ∴BC＝OC＝2， ∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°， ∴四边形PHOC是矩形， ∴PH＝OC＝BC＝2， ∵PH∥BC， ∴四边形PBCH是平行四边形， ∴BP＝CH， ∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2， 要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可， ∵点Q是点B关于点A的对称点， ∴Q（﹣6，﹣4）， 又∵点C（0，2）， 根据勾股定理可得CQ6， 此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝62， 即BP+PH+HQ的最小值为62； 故答案为：62． 【点评】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强． 12．如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起　8　 分钟该容器内的水恰好放完． 【考点】一次函数的应用． 【专题】压轴题． 【答案】8 【分析】先根据函数图象求出求出进水管每分钟的进水量和出水管每分钟的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论． 【解答】解：由函数图象得： 进水管每分钟的进水量为：20÷4＝5升 设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得 20+8（5﹣a）＝30， 解得：a， 故关闭进水管后出水管放完水的时间为：308分钟． 故答案为：8． 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 13．已知直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）． 【答案】 【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此点P的横坐标与纵坐标的值均符合方程组中两个方程的要求，因此方程组的解应该是． 【解答】解：直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点为（﹣5，﹣8），即x＝﹣5，y＝﹣8满足两个解析式， 则是即方程组的解． 因此方程组的解是． 【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　（5，﹣6）　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】待定系数法；一次方程（组）及应用；函数及其图象；一次函数及其应用． 【答案】（5，﹣6） 【分析】由于题目中给出∠ABP＝45°，则可考虑构造等腰直角三角形进行解决，将AB顺时针旋转90°得到线段BC，求出点C的坐标，连接AC，则AC与BP的交点M即为线段AC的中点，可求出M的坐标，则直线BP的解析式亦可求的，再将直线y＝﹣x﹣1与直线BP的解析式联立成方程组，即可求出点P的坐标． 【解答】解：如图所示， 将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为（﹣4，﹣8）， 由于旋转可知，△ABC为等腰直角三角形，令线段AC和线段BP交于点M，则M为线段AC的中点， 所以点M的坐标为（4，﹣4），又B为（0，4），设直线BP为y＝kx+b，将点B和点M代入可得， 解得k＝﹣2，b＝4，可得直线BP为y＝﹣2x+4，由于点P为直线BP和直线y＝﹣x﹣1的交点， 则由解得，所以点P的坐标为（5，﹣6）， 故答案为（5，﹣6）． 【点评】本题考查函数图象的变换，并根据待定系数法求函数解析式及利用方程组求直线的交点坐标，把握函数的基本知识是解题的关键． 15．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　175　 米． 【考点】一次函数的应用． 【答案】175 【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程﹣甲所走的路程即可得出答案． 【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75÷30＝2.5米/秒， 设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×（180﹣30）＝75， 解得：m＝3米/秒， 则乙的速度为3米/秒， 乙到终点时所用的时间为：500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5×（500+30）＝1325（米）， 甲距终点的距离是1500﹣1325＝175（米）． 故答案为：175． 【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可； （2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可； （3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上， ∴﹣2a＝﹣4， 解得a＝2， ∴C（2，﹣4）， 将A（4，0），C（2，﹣4）代入直线y＝kx+b，得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣8； （2）设点P的坐标为（0，p）， ∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8， ∴B（0，﹣8）， ∴BP＝|p+8|， ∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4）， ∴S△PBC2|p+8|＝6， ∴p＝﹣2或﹣14， ∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）； （3）存在， 以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况： ①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N， ∴∠BMC＝∠QNB＝90°， ∴∠CBM+∠BCM＝90°， ∵∠QBC＝90°， ∴∠CBM+∠QBN＝90°， ∴∠BCM＝∠QBN， ∵BC＝BQ， ∴△BCM≌△QBN（AAS）， ∴QN＝BM，BN＝CM， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， BM＝4，CM＝2， ∴QN＝BM＝4， ∴m＝4； ②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N， 同理：△BCM≌△CQN（AAS）， ∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4， ∴MN＝MC+CN＝6 ∴m＝6； ③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N， 同理：△QCM≌△BQN（AAS）， ∴QN＝CM，BN＝QM， 设Q（m，t）， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， ∴CM＝m﹣2，BN＝m，MN＝8﹣4＝4，QN＝t+8，QM＝﹣4﹣t， ∴，解得 ∴m＝3； 综上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m的值为4或6或3． 【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F． （1）求：①点D的坐标； ②经过点D，且与直线FC平行的直线的函数表达式； （2）直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【考点】一次函数综合题；平行四边形的判定． 【专题】压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①设点C的坐标为（m，2），根据一次函数图象上点的坐标特征，代入直线解析式求解即可得到m的值，再根据矩形的长求出OA，然后写出点D的坐标即可； ②根据互相平行的直线的解析式的k值相等设出直线解析式为y＝x+b，然后把点D的坐标代入函数解析式求解即可； （2）根据直线解析式求出△EBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CEB＝∠ECB＝45°，再根据平行线的性质可得∠DCE＝∠CEB＝45°，然后判断出△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，再分①∠D＝90°时，根据点P的横坐标与点D的横坐标相等，利用直线解析式求解即可；②∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2，求出点P的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解； （3）根据平行四边形平行且对边相等，分DE、CE是对角线时，点M在x轴上，求出OM的长度，然后写出点M的坐标，CD是对角线时，求出平行四边形的中心的坐标，再求出点E关于中心的对称点，即为点M． 【解答】解：（1）①设点C的坐标为（m，2）， ∵点C在直线y＝x﹣2上， ∴2＝m﹣2， ∴m＝4， 即点C的坐标为（4，2）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2， ∴点D的坐标为（1，2）； ②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y＝x+b， 将D（1，2）代入y＝x+b，得b＝1， ∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y＝x+1； （2）存在． ∵△EBC为等腰直角三角形， ∴∠CEB＝∠ECB＝45°， 又∵DC∥AB， ∴∠DCE＝∠CEB＝45°， ∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形， 如图，①当∠D＝90°时，延长DA与直线y＝x﹣2交于点P1， ∵点D的坐标为（1，2）， ∴点P1的横坐标为1， 把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1， ∴点P1（1，﹣1）； ②当∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2， 所以，点P2的横坐标为， 把x代入y＝x﹣2得，y， 所以，点P2（，）， 综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）； （3）当y＝0时，x﹣2＝0， 解得x＝2， ∴OE＝2， ∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴若DE是对角线，则EM＝CD＝3， ∴OM＝EM﹣OE＝3﹣2＝1， 此时，点M的坐标为（﹣1，0）， 若CE是对角线，则EM＝CD＝3， OM＝OE+EM＝2+3＝5， 此时，点M的坐标为（5，0）， 若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（，2）， 设点M的坐标为（x，y）， 则，2， 解得x＝3，y＝4， 此时，点M的坐标为（3，4）， 综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）． 【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）（3）分情况讨论． 18．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车去游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示． 请结合图象解决下面问题： （1）高铁的平均速度是每小时多少千米？ （2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？ （3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？ 【考点】一次函数的应用． 【专题】压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用路程除以时间得出速度即可； （2）首先分别求出两函数解析式，进而求出2小时乐乐行驶的距离，进而得出距离游乐园的路程； （3）把y＝216代入y＝80t，得t＝2.7，进而求出私家车的速度． 【解答】解：（1）v240． 答：高铁的平均速度是每小时240千米； （2）设y＝kt+b，当t＝1时，y＝0，当t＝2时，y＝240， 得：， 解得：， 故把t＝1.5代入y＝240t﹣240，得y＝120， 设y＝at，当t＝1.5，y＝120，得a＝80， ∴y＝80t， 当t＝2，y＝160，216﹣160＝56（千米）， ∴乐乐距离游乐园还有56千米； （3）把y＝216代入y＝80t，得t＝2.7， 2.72.4（小时），90（千米/时）． ∴乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意结合函数图象得出一次函数解析式是解题关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E． （1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题． 【专题】压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，然后根据勾股定理求得AB的长； （2）证明△ACD∽△AOB，则OC＝CD，然后根据△ACD∽△ABO，利用相似三角形的对应边的比相等求得OC的长，从而求得C的坐标，然后根据待定系数法，求得AB的解析式，根据CD⊥AB，即可求得CE的解析式； （3）根据勾股定理求出M点的坐标，进一步根据平移规律求出P点的坐标． 【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0， ∴OA＝8，OB＝6， 在直角△AOB中，AB10； （2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO， ∴OC＝CD， 设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x． ∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°， ∴△ACD相似于△ABO， ∴，即， 解得：x＝3． 即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）． 设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得 解得： 则直线AB的解析式是yx+6， 设CD的解析式是yx+m，则4+m＝0，则m＝﹣4． 则直线CE的解析式是yx﹣4； （3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y＝2x+6， 设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，m2+（2m+6﹣6）2＝5m2， AB＝10， 根据AB2得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5， ∴M1（﹣5，﹣4）， 根据平移规律可以解得P1（3，2） ②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2，即100＝5m2+40m+100+5m2，m＝﹣4或m＝0（舍去）， ∴M2（﹣4，﹣2）， 根据平移规律可以解得P2（﹣4，8） 综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的全等的判定和性质，以及中点坐标公式的应用． 20．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S． （Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标； （Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S； （Ⅲ）当S时，求点M的坐标（直接写出结果即可）． 【考点】一次函数综合题． 【专题】压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）根据折叠的性质得出BM＝AM，再由勾股定理进行解答即可； （Ⅱ）根据勾股定理和三角形的面积得出△AMN，△COM和△ABO的面积，进而表示出S的代数式即可； （Ⅲ）把S代入解答即可． 【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）， ∴OA，OB＝1， 由OM＝m，可得：AM＝OA﹣OMm， 根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN， ∴BM＝AMm， 在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2＝OB2+OM2， 可得：，解得m， ∴点M的坐标为（，0）； （Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB， ∴∠OAB＝30°， 由MN⊥AB，可得：∠MNA＝90°， ∴在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠OAB， AM＝AN•cos∠OAB， ∴， 由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'＝∠OAB＝30°， ∴∠A'MO＝∠A'+∠OAB＝60°， ∴在Rt△COM中，可得CO＝OM•tan∠A'MOm， ∴， ∵， ∴， 即； （Ⅲ）①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了； ②当点A′落在第一象限时，则S＝SRt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范围，把S代入，可得点M的坐标为（，0）． 【点评】此题考查了一次函数的综合问题，关键是利用勾股定理、三角形的面积，三角函数的运用进行分析． 学科网（北京）股份有限公司 $