2026年中考数学二轮复习：图形的相似

**基本信息** 聚焦图形相似的判定与性质，通过分层题型构建"概念-性质-应用"逻辑链，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|选择1-5|网格相似比计算、黄金分割应用|从三边/三角判定到特殊图形性质| |性质应用|填空11-15|平行线分线段成比例、面积比转化|相似性质→比例线段→实际应用| |综合拓展|解答16-20|折叠全等与相似综合、动态几何建模|从静态证明到动态变量关系推理|

2026年中考数学二轮复习：图形的相似 一．选择题（共10小题） 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　） A．16 B．17 C．24 D．25 3．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（　　） A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1 4．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（　　） A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ 5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 7．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y、y的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（　　） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变 8．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2，则MF的长是（　　） A． B． C．1 D． 9．如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF＝CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 二．填空题（共5小题） 11．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝　 　 ． 12．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　 　 米． 13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为　 　 ． 14．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　 　 ．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABGS△FGH；④AG+DF＝FG． 其中正确的是　 　 ．（把所有正确结论的序号都选上） 三．解答题（共5小题） 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度． 17．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证： （1）△ACE≌△BCD； （2）． 18．在△ABC中，∠ABC＝90°． （1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN； （2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC，求tanC的值； （3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC，，直接写出tan∠CEB的值． 19．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上． （1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD． （2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值． 20．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF＝10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题： （1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值； （2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． （3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 2026年中考数学二轮复习：图形的相似 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】网格型． 【答案】C 【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【解答】解：根据题意得：AB，AC，BC＝2， ∴AC：BC：AB：2：1：：， A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似； D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． 故选：C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 2．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　） A．16 B．17 C．24 D．25 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可． 【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠F， ∴∠DAF＝∠F， ∴DF＝AD＝15， 同理BE＝AB＝10， ∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5； ∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8， 在Rt△ABG中，AG6， ∴AE＝2AG＝12， ∴△ABE的周长等于10+10+12＝32， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF， ∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2， ∴△CEF的周长为16． 故选：A． 【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（　　） A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1 【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质． 【答案】C 【分析】首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB＝DC，即可得出DF：FC的值． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC， 则△DFE∽△BAE， ∴， ∵O为对角线的交点， ∴DO＝BO， 又∵E为OD的中点， ∴DEDB， 则DE：EB＝1：3， ∴DF：AB＝1：3， ∵DC＝AB， ∴DF：DC＝1：3， ∴DF：FC＝1：2； 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值． 4．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（　　） A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到AECE，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到AFAD，于是得到；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE＝36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE＝12，故③正确；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误． 【解答】解：∵在▱ABCD中，AOAC， ∵点E是OA的中点， ∴AECE， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴， ∵AD＝BC， ∴AFAD， ∴；故①正确； ∵S△AEF＝4，（）2， ∴S△BCE＝36；故②正确； ∵， ∴， ∴S△ABE＝12，故③正确； ∵BF不平行于CD， ∴△AEF与△ADC只有一个角相等， ∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【考点】黄金分割；矩形的性质；正方形的性质． 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF＝GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1 在直角三角形DCF中，DF ∴FG ∴CG1 ∴ ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似． 【答案】B 【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决． 【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH， ∴， ∵EF⊥AC，∠C＝90°， ∴∠EFA＝∠C＝90°， ∴EF∥CD， ∴△AEF∽△ADC， ∴， ∴， ∵EG＝EF， ∴DH＝CD， 设DH＝x，则CD＝x， ∵BC＝12，AC＝6， ∴BD＝12﹣x， ∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG， ∴EG∥AC∥DH， ∴△BDH∽△BCA， ∴， 即， 解得，x＝4， ∴CD＝4， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 7．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y、y的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（　　） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变 【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】压轴题． 【答案】D 【分析】如图，作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到；设B（﹣m，），A（n，），得到BM，AN，OM＝m，ON＝n，进而得到mn，mn，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB为定值，即可解决问题． 【解答】解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴； ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOM+∠AON＝∠AON+∠OAN＝90°， ∴∠BOM＝∠OAN， ∵∠BMO＝∠ANO＝90°， ∴△BOM∽△OAN， ∴； 设B（﹣m，），A（n，）， 则BM，AN，OM＝m，ON＝n， ∴mn，mn； ∵∠AOB＝90°， ∴tan∠OAB①； ∵△BOM∽△OAN， ∴②， 由①②知tan∠OAB为定值， ∴∠OAB的大小不变， 方法二、如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴； ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOM+∠AON＝∠AON+∠OAN＝90°， ∴∠BOM＝∠OAN， ∵∠BMO＝∠ANO＝90°， ∴△BOM∽△OAN， ∴（）22 ∴tan∠OAB为定值， 故选：D． 【点评】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答． 8．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2，则MF的长是（　　） A． B． C．1 D． 【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质． 【答案】D 【分析】设MD＝a，MF＝x，利用△ADM∽△DFM，得到，利用△DMF∽△DCE，得到a与x的关系式，化简可得x的值，得到D选项答案． 【解答】解：方法一、∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B＝90°， ∴AB＝AM，BE＝EM＝3， 又∵AE＝2， ∴， 设MD＝a，MF＝x，在△ADM和△DFM中，， ∴△ADM∽△DFM，， ∴DM2＝AM•MF， ∴， 在△DMF和△DCE中，， ∴△DMF∽△DCE， ∴． ∴， ∴， 解之得：， 方法二、 ∵BE＝3，AE＝2， ∴AB， ∵AE平分∠BAF， ∴∠BAE＝∠FAE， 又∵AE＝AE，∠ABE＝∠AME＝90°， ∴△ABE≌△AME（AAS）， ∴AB＝AM，BE＝ME＝3， ∴AB＝CD＝AM， ∵∠AMD＝∠C＝∠ADF＝90°， ∴∠DAF+∠ADM＝90°＝∠ADM+∠CDE， ∴∠DAF＝∠CDE， ∴△ADM≌△DEC（ASA）， ∴DE＝AD， ∵AD2＝DM2+AM2， ∴（3+DM）2＝DM2+15， ∴DM＝1， ∵∠DAF＝∠CDE，∠DMA＝∠DMF＝90°， ∴△ADM∽△DFM， ∴， ∴ ∴MF， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定方法，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度． 9．如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF＝CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】D 【分析】如图，作CM⊥DF于M．首先证明△DAF≌△CDM，推出DM＝AF，再证明DF＝2AF，推出DM＝MF，推出CD＝CF，再证明∠GDF＝∠GFD，推出GD＝GF，再证明GF＝GA即可证明GA＝GD，由此即可一一判断； 【解答】解：如图，作CM⊥DF于M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°， ∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCM＝90°， ∴∠ADF＝∠DCM， ∵DF⊥AE，CM⊥DF， ∴∠AFD＝∠CMD＝90°， ∴△DAF≌△CDM， ∴CM＝DF，DM＝AF， ∵∠ADF+∠DAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， ∵BE＝CE， ∴AB＝2BE， ∴tan∠BAE＝tan∠ADF， ∴， ∴DM＝MF，∵CM⊥DF， ∴CD＝CF，故①正确， ∴∠CDF＝∠CFD， ∵∠CDG＝∠CFG＝90°， ∴∠GFD＝∠GDF， ∴GF＝GD， ∵∠GDF+∠DAF＝90°，∠GFD+∠AFG＝90°， ∴∠GAF＝∠GFA， ∴GF＝GA， ∴GD＝GA， ∴G是AD中点，故②正确， ∵∠AFD＝∠GFC， ∴∠AFG＝∠CFD，∠GAF＝∠CDF， ∴△DCF∽△AGF，故③正确， 设AF＝a，则DF＝2a，ABa，BEa， ∴AEa，EFa， ∴，故④正确， 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 10．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 【考点】平行线分线段成比例． 【专题】几何直观． 【答案】D 【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【解答】解：作DH∥BF交AC于H， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∴FH＝HC， ∵DH∥BF， ∴， ∴AF：FC＝1：6， 故选：D． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝　　 ． 【考点】平行线分线段成比例． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解． 【解答】解：∵DE∥AC， ∴， 即， 解得：EC． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是解题的关键． 12．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　7　 米． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】7 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB， ∴BD∥AC， ∴△ACE∽△BDE， ∴， ∴， ∴AC＝7（米）， 故答案为：7． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为　2　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理． 【答案】2 【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，得出BM＝BC+CM＝10，再由勾股定理求出BD即可． 【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示： 则∠M＝90°， ∴∠DCM+∠CDM＝90°， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC2＝AB2+BC2＝25， ∵CD＝10，AD＝5， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴∠ACB+∠DCM＝90°， ∴∠ACB＝∠CDM， ∵∠ABC＝∠M＝90°， ∴△ABC∽△CMD， ∴， ∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8， ∴BM＝BC+CM＝10， ∴BD2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键． 14．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　　 ．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题；规律型． 【答案】 【分析】连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，先求出S△ABE1，再根据得出S△ABM：S△ABE1＝（n+1）：（2n+1），最后根据S△ABM：（n+1）：（2n+1），即可求出Sn． 【解答】解：如图，连接D1E1，设AD1、BE1交于点M， ∵AE1：AC＝1：（n+1）， ∴S△ABE1：S△ABC＝1：（n+1）， ∴S△ABE1， ∵， ∴， ∴S△ABM：S△ABE1＝（n+1）：（2n+1）， ∴S△ABM：（n+1）：（2n+1）， ∴Sn． 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形． 15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABGS△FGH；④AG+DF＝FG． 其中正确的是　①③④　 ．（把所有正确结论的序号都选上） 【考点】相似形综合题． 【专题】综合题． 【答案】①③④ 【分析】由折叠性质得∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF＝8，所以DF＝AD﹣AF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22＝x2，解得x，即ED；再利用折叠性质得∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，易得∠2+∠3＝45°，于是可对①进行判断；设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，则AG＝GH＝3，GF＝5，由于∠A＝∠D和，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG＝3，GF＝5，DF＝2可对④进行判断． 【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处， ∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10， 在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10， ∴AF8， ∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2， 设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x， 在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2， ∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x， ∴ED， ∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处， ∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG， ∴∠2+∠3∠ABC＝45°，所以①正确； HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4， 设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y， 在Rt△HGF中，∵GH2+HF2＝GF2， ∴y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3， ∴AG＝GH＝3，GF＝5， ∵∠A＝∠D，，， ∴， ∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误； ∵S△ABG•6•3＝9，S△FGH•GH•HF3×4＝6， ∴S△ABGS△FGH，所以③正确； ∵AG+DF＝3+2＝5，而GF＝5， ∴AG+DF＝GF，所以④正确． 故答案为①③④． 【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度． 【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C＝∠AED＝90°，利用∠DEB＝∠C，∠B＝∠B证明三角形相似即可； （2）由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可． 【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，△ACD沿AD折叠， ∴∠C＝∠AED＝90°， ∴∠DEB＝∠C＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAC； （2）由勾股定理得，AB＝10． 由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°． ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得， DE2+BE2＝BD2， 即CD2+42＝（8﹣CD）2， 解得：CD＝3， 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2＝AD2， 即32+62＝AD2， 解得：AD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解． 17．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证： （1）△ACE≌△BCD； （2）． 【考点】平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证； （2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG＝CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证． 【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， （2）∵△ACE≌△BCD， ∴∠BDC＝∠AEC， 在△GCD和△FCE中， ， ∴△GCD≌△FCE（ASA）， ∴CG＝CF， ∴△CFG为等边三角形， ∴∠CGF＝∠ACB＝60°， ∴GF∥CE， ∴． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 18．在△ABC中，∠ABC＝90°． （1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN； （2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC，求tanC的值； （3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC，，直接写出tan∠CEB的值． 【考点】相似形综合题． 【专题】综合题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM＝∠CBN，即可得出结论； （2）先判断出MP＝MC，进而得出，设MN＝2m，PNm，根据勾股定理得，PM3m＝CM，即可得出结论； （3）先判断出，再同（2）的方法，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN， ∴∠AMB＝∠BNC＝90°， ∴∠BAM+∠ABM＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM+∠CBN＝90°， ∴∠BAM＝∠CBN， ∵∠AMB＝∠NBC， ∴△ABM∽△BCN； （2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N． ∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°， ∴∠BAP＝∠CPM＝∠C， ∴MP＝MC ∵tan∠PAC 设MN＝2m，PNm， 根据勾股定理得，PM3m＝CM， ∴tanC； （3） 在Rt△ABC中，sin∠BAC， 过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H， ∵∠DEB＝90°， ∴CH∥AG∥DE， ∴ 同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ∴， 设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n， ∵AB＝AE，AG⊥BE， ∴EG＝BG＝4m， ∴GH＝BG+BH＝4m+3n， ∴， ∴n＝2m， ∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m， 在Rt△CEH中，tan∠BEC． 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，构造图1是解本题的关键． 19．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上． （1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD． （2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD＝∠B，根据AC：AB＝1：2及点E为AB的中点，得出AC＝BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF＝CD； （2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH＝90°，则∠FEQ＝∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG＝EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQBE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EHAE，又BE＝AE，进而求出EF：EG的值． 【解答】（1）证明：如图1， 在△ABC中，∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D， ∴∠CAD＝∠B＝90°﹣∠ACB． ∵AC：AB＝1：2， ∴AB＝2AC， ∵点E为AB的中点， ∴AB＝2BE， ∴AC＝BE． 在△ACD与△BEF中， ， ∴△ACD≌△BEF， ∴CD＝EF，即EF＝CD； （2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四边形EQDH是矩形， ∴∠QEH＝90°， ∴∠FEQ＝∠GEH＝90°﹣∠QEG， 又∵∠EQF＝∠EHG＝90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴EF：EG＝EQ：EH． ∵AC：AB＝1：，∠CAB＝90°， ∴∠B＝30°． 在△BEQ中，∵∠BQE＝90°， ∴sinB， ∴EQBE． 在△AEH中，∵∠AHE＝90°，∠AEH＝∠B＝30°， ∴cos∠AEH， ∴EHAE． ∵点E为AB的中点， ∴BE＝AE， ∴EF：EG＝EQ：EHBE：AE＝1：：3． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形． 20．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF＝10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题： （1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值； （2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． （3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；直角三角形的性质；勾股定理． 【专题】几何综合题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出即可； （2）①AP＝AQ，求出即可；②AP＝PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ＝PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ＝PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案； （3）分为三种情况，①∠PQE＝90°，②∠PEQ＝90°，③∠EPQ＝90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否满足小于10即可． 【解答】解：（1）当D在AC上时， ∵DE＝DF， ∴EC＝CFEF＝5， ∴t＝5． （2）存在． ∵AP＝t，∠EDF＝90°，∠DEF＝45°， ∴∠CQE＝45°＝∠DEF， ∴CQ＝CE＝t， AQ＝8﹣t，当0≤t＜5时， ①AP＝AQ， t＝8﹣t， ∴t＝4； ②AP＝PQ， 作PH⊥AC于H， AH＝HQAQ＝4t， ∵PH∥BC， ∴△APH∽△ABC， ∴， ∴， ∴t； ③AQ＝PQ， 作QI⊥AB于I， AI＝PIAPt（等腰三角形的性质三线合一）， ∵∠AIQ＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A， ∴△AIQ∽△ACB， ∴， ∴， ∴t， ④当5≤t≤10时，AQ＝PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC， 同理可求出， FC＝QC＝10﹣t，BP＝10﹣t， PH（10﹣t）＝8t， BH（10﹣t）＝6t， QG＝QC﹣GC＝QC﹣PH＝10﹣t﹣（8t）＝2， PG＝HC＝6﹣（6t）t， PQ＝AQ＝8﹣（10﹣t）＝t﹣2， ∴PQ2＝PG2+QG2， （t﹣2）2＝（t）2+（2）2， 解得：t秒， 其它情况不符合要求， 综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形． （3）由勾股定理：CE＝CQ＝t， ∵sinA，cosA， ∴PWt，AWt， ∴QW＝8t﹣t＝8t， ∴PQ2＝PM2+QW2＝（t）2+（8t）2t2t+64， PE2＝PH2+EH2＝（t+8t）2+（tt）2t2t+64， ①∠PQE＝90°， 在Rt△PEQ中 PQ2+QE2＝PE2， ∴t1＝0（舍去） t2； ②∠PEQ＝90°， PE2+EQ2＝PQ2 t1＝0（舍去） t2＝20（舍去） ∴此时不存在； ③当∠EPQ＝90°时 PQ2+PE2＝EQ2， t1（舍去） t2＝4， 综合上述：当t或t＝4时，△PQE是直角三角形． 【点评】本题综合运用了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，此题难度较大，综合性强，用的数学思想是分类讨论思想． 学科网（北京）股份有限公司 $