2026年中考数学二轮复习：图形的相似

**基本信息** 以"判定-性质-应用"为主线，通过20道梯度题构建相似三角形完整方法体系，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|15题|相似判定"三定理"、比例线段"四模型"、辅助线构造技巧|从概念辨析到性质应用，形成"判定→性质→计算→证明"逻辑链| |中档解答|3题|动态问题参数化、面积比转化策略|结合函数思想，体现"静态图形→动态变化→定量计算"思维进阶| |压轴综合|2题|旋转相似构造、存在性问题分类讨论|融合圆与四边形知识，培养空间观念与创新意识|

2026年中考数学二轮复习：图形的相似 一．选择题（共10小题） 1．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　） A． B． C． D． 5．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A．5 B．6 C． D． 7．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 9．若，且3a﹣2b+c＝3，则2a+4b﹣3c的值是（　　） A．14 B．42 C．7 D． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　） A．14 B．15 C．8 D．6 二．填空题（共5小题） 11．如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 　 　 ． 12．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝　 　 ． 13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为　 　 ． 14．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　 　 ．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABGS△FGH；④AG+DF＝FG． 其中正确的是　 　 ．（把所有正确结论的序号都选上） 三．解答题（共5小题） 16．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值． 17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值． 18．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）求直线AB的解析式； （2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ 19．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由． 20．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG． （1）求证：△ABG∽△AFC． （2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）． （3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD． 2026年中考数学二轮复习：图形的相似 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DFAB＝AD＝BD＝5且∠ABF＝∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝8，由EF＝DE﹣DF可得答案． 【解答】解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB＝90°， ∵AB＝10，D为AB中点， ∴DFAB＝AD＝BD＝5， ∴∠ABF＝∠BFD， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠CBF＝∠DFB， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， 解得：DE＝8， ∴EF＝DE﹣DF＝3， 故选：B． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键． 2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 【考点】平行线分线段成比例． 【专题】压轴题． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， 解得：EF＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 【考点】相似三角形的判定． 【答案】D 【分析】由于两三角形有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进行判断． 【解答】解：∵∠DAE＝∠CAB， ∴当∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED； 当时，△ABC∽△AED． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】图形的相似． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴AC3， ∵PQ∥AB， ∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD， ∴∠QBD＝∠BDQ， ∴QB＝QD， ∴QP＝2QB， ∵PQ∥AB， ∴△CPQ∽△CAB， ∴，即， 解得：QB，CP， ∴AP＝CA﹣CP， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】网格型；几何直观． 【答案】B 【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案． 【解答】解：∵小正方形的边长均为1 ∴△ABC三边分别为2，， 同理：A中各边的长分别为：，3，； B中各边长分别为：，1，； C中各边长分别为：1、2，； D中各边长分别为：2，，； ∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 故选：B． 【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用． 6．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A．5 B．6 C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果． 【解答】解：∵CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似． 7．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 【考点】平行线分线段成比例． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论． 【解答】解：∵AC∥EF， ∴， ∵EF∥DB， ∴， ∴1，即1， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键． 8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】B 【分析】①由正方形证明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得结论； ②由全等三角形得OE＝OF，得∠OEG＝∠FCG＝45°，再利用对顶角相等，证得△OGE∽△FGC便可； ③先证明S△COE＝S△DOF，便可； ④证明△OEG∽△OCE，得OG•OC＝OE2，再证明BE2+DF2＝EF2，由EF＞OE，可得结论． 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°， ∵∠MON＝90°， ∴∠COM＝∠DOF， ∴△COE≌△DOF（ASA）， 故①正确； ②∵△COE≌△DOF， ∴OE＝OF， ∵∠MON＝90°， ∴∠OEG＝45°＝∠FCG， ∵∠OGE＝∠FGC， ∴△OGE∽△FGC， 故②正确； ③∵△COE≌△DOF， ∴S△COE＝S△DOF， ∴， 故③正确； ④∵△COE≌△DOF， ∴OE＝OF， 又∵∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴∠OEG＝45°＝∠OCE， ∵∠EOG＝∠COE， ∴△OEG∽△OCE， ∴OE：OC＝OG：OE， ∴OG•OC＝OE2， ∵CE＝DF，BC＝CD， ∴BE＝CF， 又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2， ∴BE2+DF2＝EF2， ∵EF2＞OE2， ∴BE2+DF2＞OG•OC， 故④错误， 故选：B． 【点评】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用．解题时注意：全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例． 9．若，且3a﹣2b+c＝3，则2a+4b﹣3c的值是（　　） A．14 B．42 C．7 D． 【考点】比例的性质． 【专题】计算题． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，能用其中一个字母表示另一个字母，达到约分的目的即可． 【解答】解：设a＝5k，则b＝7k，c＝8k， 又3a﹣2b+c＝3，则15k﹣14k+8k＝3， 得k， 即a，b，c， 所以2a+4b﹣3c．故选D． 【点评】根据已知条件得到关于未知数的方程，从而求得各个字母，再进一步计算代数式的值． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　） A．14 B．15 C．8 D．6 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用． 【答案】A 【分析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP∽△HCQ，推出，由PQ＝15，可得PC＝5，CQ＝10，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB＝CQ＝10，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J． ∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形， ∴∠ACE＝∠BCH＝45°， ∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°， ∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝180° ∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线， ∵DE∥AI∥BH， ∴∠CEP＝∠CHQ， ∵∠ECP＝∠QCH， ∴△ECP∽△HCQ， ∴， ∵PQ＝15， ∴PC＝5，CQ＝10， ∵EC：CH＝1：2， ∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a， ∵PQ⊥CR，CR⊥AB， ∴CQ∥AB， ∵AC∥BQ，CQ∥AB， ∴四边形ABQC是平行四边形， ∴AB＝CQ＝10， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴5a2＝100， ∴a＝2（负根已经舍弃）， ∴AC＝2，BC＝4， ∵•AC•BC•AB•CJ， ∴CJ4， ∵JR＝AF＝AB＝10， ∴CR＝CJ+JR＝14， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二．填空题（共5小题） 11．如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 　1　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形三边关系；点与圆的位置关系；旋转的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力． 【答案】1． 【分析】通过证明△DBO∽△CBE，可得ODCE，当CE有最大值时，OD有最大值，即可求解． 【解答】解：方法一：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD， ∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD， ∴BC＝CD，∠DCB＝90°， ∴∠DBC＝45°，BDBC， ∵△OBE是等腰直角三角形， ∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OBBE＝1， ∴BE＝OE， ∵∠DBC＝∠OBE， ∴∠OBD＝∠CBE， 又∵， ∴△DBO∽△CBE， ∴， ∴ODCE， ∴当CE有最大值时，OD有最大值， 当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1， ∴OD的最大值为1， 方法二、以OD为直角边，O为直角顶点作等腰直角三角形ODM， 连接OC，BD，BM， ∴DMOD，∠ODM＝45°， ∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD， ∴BC＝CD，∠DCB＝90°， ∴∠CDB＝45°＝∠ODM，BDBC， ∴∠CDO＝∠BDM，， ∴， ∴BM， ∴点M在以点B为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在OB的延长线时，OM的最大值为1， ∴OD的最大值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 12．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝　　 ． 【考点】平行线分线段成比例． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解． 【解答】解：∵DE∥AC， ∴， 即， 解得：EC． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是解题的关键． 13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为　2　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理． 【答案】2 【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，得出BM＝BC+CM＝10，再由勾股定理求出BD即可． 【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示： 则∠M＝90°， ∴∠DCM+∠CDM＝90°， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC2＝AB2+BC2＝25， ∵CD＝10，AD＝5， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴∠ACB+∠DCM＝90°， ∴∠ACB＝∠CDM， ∵∠ABC＝∠M＝90°， ∴△ABC∽△CMD， ∴， ∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8， ∴BM＝BC+CM＝10， ∴BD2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键． 14．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　　 ．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题；规律型． 【答案】 【分析】连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，先求出S△ABE1，再根据得出S△ABM：S△ABE1＝（n+1）：（2n+1），最后根据S△ABM：（n+1）：（2n+1），即可求出Sn． 【解答】解：如图，连接D1E1，设AD1、BE1交于点M， ∵AE1：AC＝1：（n+1）， ∴S△ABE1：S△ABC＝1：（n+1）， ∴S△ABE1， ∵， ∴， ∴S△ABM：S△ABE1＝（n+1）：（2n+1）， ∴S△ABM：（n+1）：（2n+1）， ∴Sn． 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形． 15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABGS△FGH；④AG+DF＝FG． 其中正确的是　①③④　 ．（把所有正确结论的序号都选上） 【考点】相似形综合题． 【专题】综合题． 【答案】①③④ 【分析】由折叠性质得∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF＝8，所以DF＝AD﹣AF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22＝x2，解得x，即ED；再利用折叠性质得∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，易得∠2+∠3＝45°，于是可对①进行判断；设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，则AG＝GH＝3，GF＝5，由于∠A＝∠D和，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG＝3，GF＝5，DF＝2可对④进行判断． 【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处， ∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10， 在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10， ∴AF8， ∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2， 设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x， 在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2， ∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x， ∴ED， ∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处， ∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG， ∴∠2+∠3∠ABC＝45°，所以①正确； HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4， 设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y， 在Rt△HGF中，∵GH2+HF2＝GF2， ∴y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3， ∴AG＝GH＝3，GF＝5， ∵∠A＝∠D，，， ∴， ∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误； ∵S△ABG•6•3＝9，S△FGH•GH•HF3×4＝6， ∴S△ABGS△FGH，所以③正确； ∵AG+DF＝3+2＝5，而GF＝5， ∴AG+DF＝GF，所以④正确． 故答案为①③④． 【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长． 三．解答题（共5小题） 16．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 【专题】几何综合题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数； （2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积； （3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值． 【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1， ∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°， ∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°． （2）∵△ABC≌△A1BC1， ∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1， ∴，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1， ∴∠ABA1＝∠CBC1， ∴△ABA1∽△CBC1． ∴， ∵S△ABA1＝4， ∴S△CBC1； （3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点D在线段AC上， 在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°， 当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE2； ②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝2+5＝7． 【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系． 17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】动点型． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可． 【解答】解：根据勾股定理得：BA； （1）分两种情况讨论： ①当△BPQ∽△BAC时，， ∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8， ∴，解得，t＝1， ②当△BPQ∽△BCA时，， ∴，解得，t； ∴t＝1或时，△BPQ与△ABC相似； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示： 则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t， ∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP， ∴， ∴，解得t． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）求直线AB的解析式； （2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；待定系数法求一次函数解析式． 【专题】压轴题；动点型． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，解得k，b即可； （2）由AO＝6，BO＝8得AB＝10，①当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t． （3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AEQ中，QE＝AQ•sin∠BAO＝（10﹣2t）•8t，再利用三角形面积解得t即可． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 由题意，得， 解得， 所以，直线AB的解析式为yx+6； （2）由AO＝6，BO＝8得AB＝10， 所以AP＝t，AQ＝10﹣2t， ①当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB． 所以， 解得t（秒）， ②当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB． 所以， 解得t（秒）； ∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似； （3）过点Q作QE垂直AO于点E． 在Rt△AOB中，sin∠BAO， 在Rt△AEQ中，QE＝AQ•sin∠BAO＝（10﹣2t）•8t， S△APQAP•QEt•（8t）， t2+4t， 解得t＝2（秒）或t＝3（秒）． ∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为个平方单位 【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题． 19．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由． 【考点】相似形综合题． 【专题】几何综合题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出，可得DB，由DE∥AB，推出，求出AE即可． （3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△AFN∽△ADM，可得tan∠ADF＝tanB，推出ANAM12＝9，推出CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△BAD∽△DCE． （2）解：如图2中，作AM⊥BC于M． 在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM•tanB＝4k3k， 由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2， ∴202＝（3k）2+（4k）2， ∴k＝4或﹣4（舍弃）， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BC＝2BM＝2•4k＝32， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE， ∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB， ∴∠BAD＝∠ACB， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴DB， ∵DE∥AB， ∴， ∴AE． （3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF． 理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°， ∴四边形AMHN为矩形， ∴∠MAN＝90°，MH＝AN， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∵AB＝20，tanB ∴BM＝CM＝16， ∴BC＝32， 在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM12， ∵AN⊥FH，AM⊥BC， ∴∠ANF＝90°＝∠AMD， ∵∠DAF＝90°＝∠MAN， ∴∠NAF＝∠MAD， ∴△AFN∽△ADM， ∴tan∠ADF＝tanB， ∴ANAM12＝9， ∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7， 当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形， ∵FH⊥DC， ∴CD＝2CH＝14， ∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18， ∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 20．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG． （1）求证：△ABG∽△AFC． （2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）． （3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD． 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心． 【专题】圆的有关概念及性质；应用意识． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）a﹣b； （3）证明见解答过程． 【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAG＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC； （2）由（1）知，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度； （3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD． 【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC， ∴∠BAG＝∠FAC， 又∵∠G＝∠C， ∴△ABG∽△AFC； （2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC， ∴， ∵AC＝AF＝b， ∴AB＝AG＝a， ∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b； （3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG， ∴∠BAG＝∠CBG， ∵∠ABD＝∠CBE， ∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG， 又∵∠DGB＝∠BGE， ∴△DGB∽△BGE， ∴， ∴BG2＝GE•GD． 【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $