2026年中考数学二轮复习：三角形

**基本信息** 以题载法构建"性质-判定-应用"逻辑链，通过10选择+5填空+5解答系统覆盖三角形全等、等腰、直角三大核心模块，突出辅助线构造与动态几何转化思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等三角形|5题（如16题）|倍长中线法、旋转构造法|从SAS/ASA判定到性质应用，形成"已知中点作倍长"思维链| |等腰与直角三角形|7题（如1、5题）|勾股定理变形、三线合一|从边等推角等，结合方程思想解决边长计算| |动态与综合应用|8题（如6、20题）|分类讨论、动静转化|以折叠/旋转为载体，构建"静态性质→动态变化→临界分析"逻辑|

2026年中考数学二轮复习：三角形 一．选择题（共10小题） 1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 2．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（　　） A．44° B．66° C．88° D．92° 3．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（　　） A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE 4．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 5．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 6．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，△ABP和△DCE全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 7．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 9．如图△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（　　） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 10．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题） 11．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝　 　 ． 12．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C＝　 　 ；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2，…，On﹣1，如图（3），则∠BOn﹣1C＝　 　 （用含n和α的代数式表示）． 13．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 　 　 ． 14．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝　 　 度． 15．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 　 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　 　 ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 17．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE． （1）如图1，当点D在边BC上时． ①求证：△ABD≌△ACE； ②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程． 18．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD＝∠B； （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE． 19．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　 　 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 20．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 【考点】勾股定理；完全平方公式． 【答案】A 【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2＝c2＝100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积． 【解答】解：∵a+b＝14 ∴（a+b）2＝196 ∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96 ∴ab＝24． 故选：A． 【点评】这里不要去分别求a，b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理． 2．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（　　） A．44° B．66° C．88° D．92° 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK＝∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠MKN＝44°，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵PA＝PB， ∴∠A＝∠B， 在△AMK和△BKN中， ， ∴△AMK≌△BKN， ∴∠AMK＝∠BKN， ∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK， ∴∠A＝∠MKN＝44°， ∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°， 故选：D． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键． 3．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（　　） A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE 【考点】全等三角形的性质． 【专题】几何直观． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C， ∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE， 故A、B、C正确； AD的对应边是AE而非DE，所以D错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键． 4．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题． 【答案】B 【分析】连接BM，MB′，由于CB′＝3，则DB′＝6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值． 【解答】解：设AM＝x， 连接BM，MB′， 在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2， 在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2+DB′2， ∵MB＝MB′， ∴AB2+AM2＝BM2＝B′M2＝MD2+DB′2， 即92+x2＝（9﹣x）2+（9﹣3）2， 解得x＝2， 即AM＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解． 5．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【考点】等腰三角形的性质． 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°， ∴∠B＝∠ADB＝70°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°， ∵AD＝CD， ∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°， 故选：A． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 6．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，△ABP和△DCE全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【考点】全等三角形的判定． 【专题】动点型． 【答案】C 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得． 【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE， 由题意得：BP＝2t＝2， 所以t＝1， 因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE， 由题意得：AP＝16﹣2t＝2， 解得t＝7． 所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL． 7．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质． 【专题】三角形；图形的全等；推理能力． 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确． 【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA∠CBA，∠OAB∠CAB， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°∠CBA∠CAB＝180°（180°﹣∠C）＝90°∠C，①正确； ∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA（∠BAC+∠ABC）＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO和△EBO中，， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， 在△HAO和△FAO中， ， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF＝AH， ∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确； 作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴OH＝OM＝OD＝a， ∵AB+AC+BC＝2b， ∴S△ABCAB×OMAC×OHBC×OD（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键． 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】开放型． 【答案】A 【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC＝EF＝BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF+FD＝AB+DC，∠AED＝∠AEF+∠FED∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论． 【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图， ∵AB⊥BC，AE平分∠BAD， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB ∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB； 而点E是BC的中点， ∴EC＝EF＝BE，所以③错误； ∴Rt△EFD≌Rt△ECD， ∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确； ∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确； ∴∠AED＝∠AEF+∠FED∠BEC＝90°，所以①正确． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质． 9．如图△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（　　） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理． 【专题】几何直观． 【答案】D 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算． 【解答】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1， ∴∠ABC＝2∠A1BC，∠A1CD∠ACD 根据三角形的外角的性质得，∠A1CD（∠ABC+∠A）（2∠A1BC+∠A）＝∠A1BC∠A， 根据三角形的外角的性质得，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1， ∴∠A1∠A 同理：∠A2∠A1， ∴∠A2∠A1∠A∠A 同理：∠A3∠A ∠A4∠A， ∠A5∠A96°＝3°， 故选：D． 【点评】此题主要考查角平分线的定义和三角形内角与外角的性质，有点难度． 10．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】全等三角形的判定． 【专题】网格型． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定分别求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可． 【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个， 共3+0+1＝4个， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝　132°　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】计算题． 【答案】132° 【分析】先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BDC和△AEC中， ， ∴△BDC≌△AEC（SAS）， ∴∠DBC＝∠EAC， ∵∠EBD＝∠DBC+∠EBC＝42°， ∴∠EAC+∠EBC＝42°， ∴∠ABE+∠EAB＝90°﹣42°＝48°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠EAB）＝180°﹣48°＝132°． 【点评】考查了全等三角形的判定和性质，关键是充分利用角的和差的转化关系进行求解． 12．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C＝　60°α　 ；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2，…，On﹣1，如图（3），则∠BOn﹣1C＝　　 （用含n和α的代数式表示）． 【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高． 【专题】压轴题；规律型． 【答案】60°α； 【分析】根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解； 根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB），在△On﹣1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线， ∴∠O2BC+∠O2CB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣α）＝120°α； ∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝180°﹣（120°α）＝60°α； 在△ABC中，∵∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵On﹣1B和On﹣1C分别是∠B、∠C的n等分线， ∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣α）． ∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB）＝180°﹣（）． 故答案为：60°α；． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 13．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 　13　 ． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【答案】13 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， 则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝　135　 度． 【考点】勾股定理的逆定理；旋转的性质；正方形的性质． 【专题】压轴题． 【答案】135 【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′＝∠BE′E＝45°，即可得出答案． 【解答】解：连接EE′ ∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′ ∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形， ∵△ABE与△CE′B全等 ∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C ∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°， ∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3， ∴EC2＝E′C2+EE′2， ∴△EE′C是直角三角形， ∴∠EE′C＝90°， ∴∠AEB＝135°． 故答案为：135． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出△EBE′是直角三角形是解题关键． 15．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　5　 ． 【考点】三角形中位线定理． 【答案】5 【分析】先作辅助线，再根据三角形全等的性质得出BP＝DB，再利用三角形中位线定理求解． 【解答】解：延长BP与AC相交于D， 因为∠BAP＝∠DAP，AP⊥BD，AP＝AP 所以△ABP≌△APD（ASA）， 于是AB＝AD＝12，BP＝PD 又∵M是BC边的中点 故PM∥AC 所以PM＝DC10＝5 故MP的长为5． 故答案为5． 【点评】本题考查的是三角形的中位线定理及角平分线的性质，解答此题的关键是延长BP与AC相交于D，构造出全等三角形解决问题． 三．解答题（共5小题） 16．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是B ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是C ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可； （2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可； （3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可． 【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中 ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故选C． （3）证明： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中 ∴△ADC≌△MDB， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF． 【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 17．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE． （1）如图1，当点D在边BC上时． ①求证：△ABD≌△ACE； ②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；②由△ABD≌△ACE就可以得出BC＝DC+CE； （2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD＝CE． 【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE． ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠EAC． 在△ABD和△ACE中 ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ②∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． ∵BC＝BD+CD， ∴BC＝CE+CD． （2）BC+CD＝CE． ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE． ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠EAC． 在△ABD和△ACE中 ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴BD＝CE． ∵BD＝BC+CD， ∴CE＝BC+CD； 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 18．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD＝∠B； （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE． 【考点】直角三角形的性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B； （2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF， 同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE． 又∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAE， ∴∠AED＝∠CFE， 又∵∠CEF＝∠AED， ∴∠CEF＝∠CFE． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． 19．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　角平分线上的点到角的两边距离相等　 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明； （3）在BC时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，结合图形证明． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°， ∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF， ∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠C， 在△DEA和△DFC中， ∴△DEA≌△DFC（AAS）， ∴DA＝DC； （3）如图，在BC上截取BK＝BD，连接DK， ∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBK∠ABC＝20°， ∵BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°， 由（2）的结论得AD＝DK， ∵∠BKD＝∠C+∠KDC， ∴∠KDC＝∠C＝40°， ∴DK＝CK， ∴AD＝DK＝CK， ∴BD+AD＝BK+CK＝BC． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题；探究型． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论； （2）由图可知，△ADC与△CEB仍全等，但线段的关系已发生改变． 【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE． 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（ASA）． ②∵△ADC≌△CEB， ∴CD＝BE，AD＝CE． ∴DE＝CE+CD＝AD+BE． （2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE． 证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE． 又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴CD＝BE，AD＝CE． ∴DE＝AD﹣BE． 【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定，此题作为选择或填空很容易漏掉后一问，注意运用． 学科网（北京）股份有限公司 $