2026年中考数学二轮复习：三角形

**基本信息** 以“问题情境—模型构建—推理计算”为主线，系统整合三角形性质、全等与相似、动态问题，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-5、填空11-12|等腰三角形三线合一、勾股定理应用|从静态性质到实际测量，构建“性质—计算—应用”链条| |图形变换|选择6-10、填空13-15|对称最短路径、旋转全等模型|通过折叠/旋转转化，培养几何直观与空间观念| |综合应用|解答16-20|面积法、相似比例、动态函数思想|从单点计算到多变量综合，提升推理能力与模型意识|

2026年中考数学二轮复习：三角形 一．选择题（共10小题） 1．如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，作AB的垂直平分线，交AB，BC于D，E两点，BE＝2，则AC的长度为（　　） A． B． C．2 D． 2．如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则OC的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知两个三角形全等，则∠α的度数为（　　） A．21° B．23° C．24° D．25° 4．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　） A．13 B．5 C．8 D．26 5．如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知BC＝1.5m，AC＝2m，则AB的长为（　　） A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m 6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若S2+S3＝14，S1＝2，则S4的值为（　　） A．16 B．12 C．9 D．5 7．如图，一圆柱形玻璃杯的高为7cm，底面周长为16cm（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底2.5cm的点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿1.5cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（　　） A．10cm B．11cm C． D． 8．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（　　） A．AB∥CD B．BC2+DE2＝CD2 C．AB2+DE2＝BC2 D．∠ABC+∠BCD＝45° 9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝12，BD⊥AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　） A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A，∠B两内角平分线的交点处 二．填空题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，AD为△ABC的中线，则AD＝　 　 cm． 12．为了提升校园安全管理效率，某中学在校门口安装了一套智能人脸识别闸机系统．如图所示，固定在闸机立柱上的摄像头（点A）距离地面的高度AC为1米．当一名身高（人脸距地面高度）BD为1.5米的学生站在距离闸机立柱水平距离1.2米（即CD＝1.2米）的位置时，摄像头刚好能够对准该学生的人脸进行识别．则此时摄像头与该学生人脸之间的直线距离AB为　 　 米． 13．如图，有一个有盖的长方体盒子，它的长、宽、高分别是6，4，4，现有一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到棱BC的中点P处，设爬行的最短路线长为a，则a的值为 　 　 ．（结果保留根号） 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥AB于点D，AD＝9，BD＝6． （1）BC的长为　 　 ． （2）点E在线段AD上，过点E作EF⊥BC于点F，若BF＝6，则DE的长为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，F是AB上一点，过点A、B分别作直线CF的垂线段，垂足为D、E，若△ABC的面积为5，CF的长度为2，则BE+AD的长为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的三点，若这三个点组成的三角形的面积等于10，则称这个三角形为“青一三角形”，称其中一个点为另外两个点的“青一点”． （1）已知点M（2，0），点N（﹣3，0），则下列为点M和N的“青一点”的有　 　 ． A（3，4），B（﹣4，6），C（﹣1，﹣4）． （2）已知点A（n，﹣1），B（n+2，3），C（n+6，1），判断△ABC是否“青一三角形”，并说明理由． （3）已知点E（﹣2，0），F（2，4），若G点在y轴上且是点E和F的“青一点”，求点G的坐标． 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，在BC上取一点E，使得AE＝2BE，AE⊥AD，连接DE，且DE为∠AEC的平分线，若∠C＝75°，CD＝10，求AE的长．（结果保留根号） 18．定义：两个三角形有一组公共边，并且面积相等，这两个三角形称为共底等积三角形． （1）如图1，BC是△ABC和△BCD的公共边，连接AD交BC于点E，AE＝DE．求证：△ABC与△BCD是共底等积三角形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点M、N、P在格点上，点Q为△MNP的共底等积三角形的顶点，若点Q在格点上，且点Q不与点M、N、P重合，请直接写出所有满足要求的线段NQ的长． 19．如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作∠EDF＝90°，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点，请直接写出DE，DF的数量关系 　 　 ． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且DC＝mBD．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边上一动点，作∠ADE＝60°．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 20．在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D在边AB上，连接BE． （1）如图1，求证：△BCE∽△ACD； （2）如图2，当BE＝4，BD＝3时，求AC的长； （3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，连接DF交BC于K． ①求证：△EFC≌△BDC； ②当时，直接写出的值． 2026年中考数学二轮复习：三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，作AB的垂直平分线，交AB，BC于D，E两点，BE＝2，则AC的长度为（　　） A． B． C．2 D． 【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】B 【分析】连接AE，可得AE＝BE，求得∠B＝∠C＝30°，则可得∠BAE＝30°，得到∠EAC＝90°，根据勾股定理和含有30°角的直角三角形边长关系即可解答． 【解答】解：如图，连接AE， 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∵DE垂直平分AB，BE＝2， ∴AE＝BE＝2， ∴∠BAE＝∠B＝30°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°， ∵∠C＝30°， ∴EC＝2AE＝4， 在Rt△ACE中，AC2+AE2＝EC2， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟记以上知识点是解题的关键． 2．如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则OC的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】勾股定理；角平分线的定义． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】根据作图过程可知OC平分∠MON，再根据直角三角形的性质求出AD，然后根据勾股定理求出OD，同时求出CD，最后根据OC＝OD+CD求出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥OC，交OC于点D， 根据作图过程可知，OC平分∠MON， ∴∠AOC＝30°（角平分线的定义）． 在Rt△AOD中，∠AOC＝30°，OA＝2， ∴，根据勾股定理，得． 根据勾股定理，得， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 3．如图，已知两个三角形全等，则∠α的度数为（　　） A．21° B．23° C．24° D．25° 【考点】全等三角形的性质． 【专题】三角形；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质并结合图形解答即可． 【解答】解：如图： ∵图中的两个三角形全等， ∴两个三角形的对应角相等， ∴∠ABC＝∠DCE， ∵∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝73°， ∴∠DCE＝73°， ∴∠α＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣27°＝21°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 4．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　） A．13 B．5 C．8 D．26 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到BD＝CD，进而推出△ABD的周长是AB+AC，计算即可． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长是AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝13． 故选：A． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质定理的应用． 5．如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知BC＝1.5m，AC＝2m，则AB的长为（　　） A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可进行解答． 【解答】解：根据题意可知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1.5m，AC＝2m， ∴AB2＝BC2+AC2＝1.52+22＝6.25， 解得AB＝2.5， 则AB的长为2.5m， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边平方． 6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若S2+S3＝14，S1＝2，则S4的值为（　　） A．16 B．12 C．9 D．5 【考点】勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】连接AC，由勾股定理和等腰直角三角形的定义得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，，，，，则AB2+BC2＝AD2+CD2，推出S1+S4＝S2+S3，即可解决问题． 【解答】解：连接AC， ∵向外作四个等腰直角三角形， ∴AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，，，，， ∴AB2+BC2＝AD2+CD2， ∴S1+S4＝S2+S3， ∴S4＝14﹣2＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 7．如图，一圆柱形玻璃杯的高为7cm，底面周长为16cm（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底2.5cm的点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿1.5cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（　　） A．10cm B．11cm C． D． 【考点】平面展开﹣最短路径问题． 【专题】展开与折叠；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】将圆柱侧面沿母线展开为长方形，作点A关于展开图上边的对称点，连接对称点与B，利用勾股定理计算这条线段的长度（即最短路程）． 【解答】解：如图，将玻璃杯的侧面展开一半，作点A关于直线EF的对称点C，连接BC，则BC的长即为蚂蚁从玻璃杯外壁A处到玻璃杯内壁B处的最短路程．过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D． 由题意，知BD＝1.5+（7﹣2.5）＝6（cm），CD＝16÷2＝8（cm）， 在Rt△BCD中，（cm）， 所以蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为10cm． 故选：A． 【点评】本题考查圆柱的最短路径问题，运用侧面展开与勾股定理思想，关键是将圆柱侧面展开为长方形，利用对称点转化为线段最短问题． 8．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（　　） A．AB∥CD B．BC2+DE2＝CD2 C．AB2+DE2＝BC2 D．∠ABC+∠BCD＝45° 【考点】勾股定理；平行线的判定． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】借助网格判断图形中直线、角、三角形之间的关系．过点D作AB∥DM，可知AB与CD不平行；根据在Rt△BCD中，BC2+BD2＝CD2，由网格可知BD≠DE，BC2+DE2＝CD2不成立；借助网格可知AC＝DE，因为△ABC不是直角三角形，所以AB2+DE2＝BC2不成立；借助网格可知∠NCB＝∠ABC，所以可知∠ABC+∠BCD＝∠NCD，利用勾股定理的逆定理可知△NCD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知∠ABC+∠BCD＝45°． 【解答】解：A、如图所示： AB∥DM， ∴AB与CD不平行， 故不符合题意； B、在Rt△BCD中，BC2+BD2＝CD2， ∵BD≠DE， ∴BC2+DE2＝CD2不成立， 故不符合题意； C、如图所示：AC＝DE， ∵△ABC不是直角三角形， ∴AB2+AC2＝BC2不成立， ∴AB2+DE2＝BC2不成立， 故不符合题意； D、如图所示，∠NCB＝∠ABC， ∴∠ABC+∠BCD＝∠NCB+∠BCD＝∠NCD， 由网格可知，，， ∵， ∴NC2+ND2＝DC2， ∴△NCD是等腰直角三角形， ∴∠NCD＝45°， ∴∠ABC+∠BCD＝∠NCD＝45°， 故符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝12，BD⊥AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到AD＝DC，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【解答】解：∵BC＝12，BF＝4， ∴FC＝BC﹣BF＝12﹣4＝8， ∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴AD＝DC， ∵AE＝EF， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DEFC8＝4． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 10．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　） A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A，∠B两内角平分线的交点处 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为文化广场到三个校区的距离相等， 所以文化广场应建在三角形三边垂直平分线的交点处， 即建在AC，BC两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，AD为△ABC的中线，则AD＝　12　 cm． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】12． 【分析】先根据等腰三角形三线合一可知AD⊥BC，由勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∵BC＝10cm， ∴BD＝CD5cm， Rt△ABD中，由勾股定理得：AD12cm． 故答案为：12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟记等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理是解题的关键． 12．为了提升校园安全管理效率，某中学在校门口安装了一套智能人脸识别闸机系统．如图所示，固定在闸机立柱上的摄像头（点A）距离地面的高度AC为1米．当一名身高（人脸距地面高度）BD为1.5米的学生站在距离闸机立柱水平距离1.2米（即CD＝1.2米）的位置时，摄像头刚好能够对准该学生的人脸进行识别．则此时摄像头与该学生人脸之间的直线距离AB为　1.3　 米． 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【答案】1.3． 【分析】过点A作AE⊥BD于点E，得DE＝AC＝1米，AE＝CD＝1.2米，求出BE＝BD﹣DE＝0.5米，再运用勾股定理得AB的长． 【解答】解：根据题意得：AC＝1米，CD＝1.2米，BD＝1.5米，AC⊥CD，BD⊥CD， 过点A作AE⊥BD于点E，如图， ∴AE＝CD＝1.2米，DE＝AC＝1米， ∴BE＝BD﹣DE＝1.5﹣1＝0.5米， 在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2， ∴（米）， 故答案为：1.3． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13．如图，有一个有盖的长方体盒子，它的长、宽、高分别是6，4，4，现有一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到棱BC的中点P处，设爬行的最短路线长为a，则a的值为 　6　 ．（结果保留根号） 【考点】平面展开﹣最短路径问题． 【专题】展开与折叠；推理能力． 【答案】6． 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：根据题意可知，a6． 故答案为：6． 【点评】此题考查最短路径问题，解题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥AB于点D，AD＝9，BD＝6． （1）BC的长为　6　 ． （2）点E在线段AD上，过点E作EF⊥BC于点F，若BF＝6，则DE的长为　　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】图形的全等；运算能力． 【答案】（1）6； （2）66． 【分析】（1）在Rt△ACD中，，在Rt△BCD中，，代入数据可得答案； （2）证明△BEF≌△BCD（ASA）得，根据DE＝BE﹣BD可得答案． 【解答】解：（1）∵AD＝9，BD＝6， ∴AB＝AD+BD＝9+6＝15， ∵AB＝AC， ∴AC＝AB＝15， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，， 在Rt△BCD中，， ∴BC的长为， 故答案为：6； （2）∵EF⊥BC，CD⊥AB， ∴∠BFE＝∠BDC＝90°， ∵BF＝6，BD＝6， ∴BF＝BD， 在△BEF和△BCD中， ， ∴△BEF≌△BCD（ASA）， ∴， ∴， 故答案为：66． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，F是AB上一点，过点A、B分别作直线CF的垂线段，垂足为D、E，若△ABC的面积为5，CF的长度为2，则BE+AD的长为　5　 ． 【考点】三角形的面积． 【专题】三角形；运算能力． 【答案】5． 【分析】把△ABC的面积拆分为△AFC和△BFC的面积之和，再利用三角形面积公式建立等式即可求解． 【解答】解：∵△ABC的面积为5，CF的长度为2， ∴S△ABC＝S△AFC+S△BFC＝5， ∴FC（AD+BE）＝5， ∴AD+BE＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了三角形的面积，明确同底的两个三角形面积和等于以该底为公共底、高之和为新高的三角形面积是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的三点，若这三个点组成的三角形的面积等于10，则称这个三角形为“青一三角形”，称其中一个点为另外两个点的“青一点”． （1）已知点M（2，0），点N（﹣3，0），则下列为点M和N的“青一点”的有AC ． A（3，4），B（﹣4，6），C（﹣1，﹣4）． （2）已知点A（n，﹣1），B（n+2，3），C（n+6，1），判断△ABC是否“青一三角形”，并说明理由． （3）已知点E（﹣2，0），F（2，4），若G点在y轴上且是点E和F的“青一点”，求点G的坐标． 【考点】三角形综合题． 【专题】平面直角坐标系；三角形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）AC； （2）是，如图，过点B作BD⊥x轴，交AC于点D， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 将A（n，﹣1）、C（n+6，1）代入得： ，解得，， ∴直线AC的解析式为， 当x＝n+2时，， ∴， ∴， ∵三角形面积等于10， ∴△ABC是“青一三角形”； （3）（0，7）或（0，﹣3）． 【分析】（1）在网格中标出点，分别求出△AMN，△BMN，△CMN的面积进行判断即可； （2）过点B作BD⊥x轴，交AC于点D，利用铅垂法求出△ABC即可判断； （3）设G（0，m）先利用待定系数法求出直线EF的解析式，再利用建立方程进行求解． 【解答】解：（1）如图， MN＝2﹣（﹣3）＝5， ， 故点M和N的“青一点”的有AC； 故答案为：AC； （2）如图，过点B作BD⊥x轴，交AC于点D， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 将C（n+6，1）、A（n，﹣1）代入得： ， 解得，， ∴直线AC的解析式为， 当x＝n+2时，， ∴， ∴， ∵三角形面积等于10， ∴△ABC是“青一三角形”； （3）设点G的坐标为（0，m）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b， 将F（2，4）、E（﹣2，0）代入得： ， 解得k＝1，b＝2， ∴直线EF的解析式为y＝x+2， 当x＝0时，y＝2，即直线EF与y轴交点为H（0，2）， ∴GH＝|m﹣2|， ∵， ∴， ∴2|m﹣2|＝10， ∴|m﹣2|＝5， 解得m＝7或m＝﹣3， ∴若G点在y轴上且是点E和F的“青一点”，则点G的坐标为（0，7）或（0，﹣3）． 【点评】本题考查三角形综合，点的坐标，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，在BC上取一点E，使得AE＝2BE，AE⊥AD，连接DE，且DE为∠AEC的平分线，若∠C＝75°，CD＝10，求AE的长．（结果保留根号） 【考点】勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】． 【分析】过点C作CF⊥DE于点F，求得∠BAE＝30°，∠AED＝∠CED＝60°，∠CDE＝45°，得到，再解直角三角形即可求解． 【解答】解：过点C作CF⊥DE于F． ∵AE＝2BE， 由三角函数可知，， ∴∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝180°﹣60°＝120°， ∵ED为∠AEC的平分线， ∴∠AED＝∠CED＝60°， ∵∠ECD＝75°， ∴∠CDE＝45°． 由三角函数可得，， ∴， ∴ 由三角函数可得，． 【点评】此题考查勾股定理和解直角三角形，关键是根据三角函数得出边长解答． 18．定义：两个三角形有一组公共边，并且面积相等，这两个三角形称为共底等积三角形． （1）如图1，BC是△ABC和△BCD的公共边，连接AD交BC于点E，AE＝DE．求证：△ABC与△BCD是共底等积三角形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点M、N、P在格点上，点Q为△MNP的共底等积三角形的顶点，若点Q在格点上，且点Q不与点M、N、P重合，请直接写出所有满足要求的线段NQ的长． 【考点】勾股定理． 【专题】作图题；推理能力． 【答案】（1）证明：过A作AM⊥BC于M，过D作 DN⊥BC于N， 则∠AME＝∠DNE＝90°， 在△AME和△DNE中， ， ∴△AME≌△DNE（AAS）， ∴AM＝DN， ∴S△ABC＝S△BDC； ∴△ABC与△BCD是共底等积三角形； （2）或或或7． 【分析】（1）过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，证△AME≌△DNE（AAS），可得AM＝DN，即可得解； （2）分类讨论，利用平行线等距找出点Q，再利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N， 则∠AME＝∠DNE＝90°， 在△AME和△DNE中， ， ∴△AME≌△DNE（AAS）， ∴AM＝DN， ∴S△ABC＝S△BDC； ∴△ABC与△BCD是共底等积三角形； （2）解：①当MN为底时，△MNP和△MNQ为共底等积三角形，如图， 此时PQ∥MN交格点于Q， 则NQ1； NQ22； ②当PM为底时，△MNP和△MPQ为共底等积三角形，如图， 此时NQ3； ③当PN为底时，△MNP和△PNQ为共底等积三角形，如图， 此时NQ4， NQ5＝7， NQ6， NQ7； 综上，NQ的长为或或或7． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、格点作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作∠EDF＝90°，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点，请直接写出DE，DF的数量关系 DE＝DF ． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且DC＝mBD．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边上一动点，作∠ADE＝60°．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【考点】三角形综合题． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和ASA证明△DBE≌△DAF，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可； （3）根据相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值解答即可． 【解答】（1）解：DE＝DF，理由如下： 连接AD， ∵△ABC是等腰直角三角形，点D为BC边的中点， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，AD＝BD， ∴∠B＝∠DAF＝45°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADE＝∠ADE+∠ADF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， ∴△DBE≌△DAF（ASA）， ∴DE＝DF； 故答案为：DE＝DF； （2）解：DF＝mDE，理由如下： 过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N， ∵∠B＝∠C＝45°，∠DMB＝∠DNC＝90°， ∴△CND与△BDM均为等腰直角三角形， ∴△CDN∽△BDM， ∴， ∵∠DMA＝∠DNA＝∠A＝90°， ∴∠MDN＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠EDM+∠EDN＝∠EDN+∠FDN＝90°， ∴∠EDM＝∠FDN， ∵∠DME＝∠DNF＝90°， ∴△DNF∽△DME， ∴， ∴DF＝mDE； （3）解：CE有最大值，最大值为1， 设BD＝x，CE＝y，则DC＝4﹣x，0＜x＜4， ∵∠ADE＝60°， ∴∠BAD+∠ADB＝∠ADB+∠CDE＝120°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE， ∴， 即， 整理得：y（x﹣2）2+1， ∴当x＝2时，即点D为BC边的中点时，CE有最大值1． 【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答． 20．在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D在边AB上，连接BE． （1）如图1，求证：△BCE∽△ACD； （2）如图2，当BE＝4，BD＝3时，求AC的长； （3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，连接DF交BC于K． ①求证：△EFC≌△BDC； ②当时，直接写出的值． 【考点】三角形综合题． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】（1）由旋转的性质可知，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE， ∴， ∴△ACD∽△BCE； （2）； （3）①由旋转的性质可知，CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠CAD＝∠CDB， ∵EF∥AB， ∴∠F+∠CAD＝180°， ∵∠CDB+∠CDA＝180°， ∴∠CDB＝∠F， ∵∠BCF＝∠BCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠ECF， 在△EFC和△BDC中， ， ∴△EFC≌△BDC（AAS）； ②． 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可得，△BDE是直角三角形，由勾股定理可得，DE＝5，由旋转的性质可得，AB＝DE＝5，则AD＝2．从而得到，使用勾股定理计算即可； （3）①由旋转的性质可得，CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，则∠CDA＝∠CAD，结合EF∥BA，可证明∠F＝∠CDB．通过等量代换，可得∠ECF＝∠BCD，则可证明△EFC≌△BDC（AAS）； ②作CG⊥AB，垂足为G，延长EF、BC交于点H，设AC＝3x，则BC＝4x，使用勾股定理计算出AB＝5x．容易证明△ACG∽△ABC，根据相似三角形的性质可得，．由等腰三角形的性质，可得，进而得到．容易证明△ABC≌△FHC（AAS），则FH＝AB＝5x．由①中的△EFC≌△BDC，可得．由平行判定△BDK∽△HFK，则，代入即可． 【解答】（1）证明：由旋转的性质可知，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE， ∴， ∴△ACD∽△BCE； （2）解：由（1）可知，△ACD∽△BCE， ∴∠CBE＝∠A，， 又∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠CBE＝90°， ∴∠DBE＝90°， 在直角△DBE中，， ∴AB＝ED＝5， ∴AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2， ∴， ∴BC＝2AC， 在直角△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴AC2+（2AC）2＝52， 解得，； （3）①证明：由旋转的性质可知，CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠CAD＝∠CDB， ∵EF∥AB， ∴∠F+∠CAD＝180°， ∵∠CDB+∠CDA＝180°， ∴∠CDB＝∠F， ∵∠BCF＝∠BCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠ECF， 在△EFC和△BDC中， ， ∴△EFC≌△BDC（AAS）； ②解：如图，作CG⊥AB，垂足为G，延长EF、BC交于点H，设AC＝3x， ∵， ∴， 在直角△ABC中，， ∵CG⊥AB， ∴∠AGC＝90°＝∠ACB， ∵∠BAC＝∠CAG， ∴△ACG∽△ABC， ∴， ∴， ∵CD＝CA， ∴， ∴， ∵△EFC≌△BDC， ∴，CF＝CD＝CA， ∵EF∥AB， ∴∠H＝∠ABC，∠AFH＝∠BAC， 在△ABC和△FHC中， ， ∴△ABC≌△FHC（AAS）， ∴FH＝AB＝5x， ∵EF∥AB， ∴△BDK∽△HFK， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $