2026年中考数学二轮复习：反比例函数

**基本信息** 聚焦反比例函数核心素养，以几何直观与运算能力为核心，构建"概念-性质-综合应用"三阶突破体系，实现从知识理解到解题迁移的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|3题|k值几何意义/图像分布规律|从定义出发，通过解析式与图像特征建立性质认知| |几何综合|6题|面积转化/相似模型/动态分类|以平面图形为载体，渗透数形结合思想，强化几何直观| |函数综合|4题|交点问题/参数讨论/不动点模型|融合一次函数与二次函数，培养综合运算与推理能力| |实际应用|1题|跨学科建模/反比例关系应用|联系物理情境，发展数学建模与数据分析意识|

2026年中考数学二轮复习：反比例函数 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知▱ABCD的顶点A在函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8，则k的值为（　　） A．5 B．8 C．10 D．14 2．反比例函数y（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．它的图象位于第一、三象限 B．当1＜x＜5时，1＜y＜5 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣2时，y＜﹣2.5 4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若满足x+y＝xy﹣1，则称点P为“和谐点”，有下列结论： ①点A（﹣1，0）为“和谐点”； ②若点B（a，b）是一次函数y＝﹣x﹣4的图象与反比例函数的图象的交点，则B（a，b）为“和谐点”； ③若点C（c，d），D（e，f）（C，D两点不重合）为“和谐点”，且c+e＝2，则d+f＝2； ④若点E（m，n），F（p，q）（E，F两点不重合）为“和谐点”，且p＞m＞1，则（p﹣m）（q﹣n）＞0． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，顶点B的坐标为（4，3）．已知该反比例函数图象上有一点P，连接PA，PC，若△PAC的面积是菱形AOBC面积的，则点P的横坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 6．如图，点A，B是双曲线上的点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么k值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知反比例函数的图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），则下列结论一定成立的是（　　） A．点P，Q在同一个象限 B．若x1＜﹣1，则y1＞4 C．若x1＜x2，则y1＜y2 D． 8．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点； ④若y＝x2﹣2x+c为“不动点函数”，则． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．当电阻R为25Ω时，该台灯的电流I是（　　） A．8.8A B．5.5A C．4.4A D．4A 10．如图Rt△OAC中，∠OAC＝90°，点A在x轴上，点C在第一象限，反比例函数的图象经过Rt△OAC的斜边OC的中点M，与边AC交于点N，若△OMN的面积为9，则k的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．18 二．填空题（共5小题） 11．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与反比例函数的图象交于点D．若AD＝3BD，则k的值为　 　 ． 12．如图，△AOB的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，AB交y轴于点C，若S△BOC＝2S△AOC＝4，则k的值为　 　 ． 13．如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，点A的横坐标为1．点P为一次函数y＝x（x≥0）上一点，若S△ABP＝4，则点P坐标为　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为3的正方形OABC的边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上，在OA边上取一点D（D不与点O，A重合），连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得对应线段DE，作射线AE，反比例函数的图象与射线AE相交于点P，连接CP，交该反比例函数图象于点F．若F恰好为线段CP的中点，则k的值为　 　 ． 15．如图，矩形ABCD，AB＝2AD＝2m，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，当AB与反比例函数相交于点M、N时，过点M、N分别向x轴作垂线，垂足分别为点E、F，则有①AM＝BN；②三角形OMN的面积与四边形MEFN面积相等；③当OM＝ON＝MN时，直线AB的解析式为；④当时，OD的最大值是；其中结论正确的序号是　 　 ．（填序号） 三．解答题（共4小题） 16．定义：在平面直角坐标系中，y是自变量x的函数，下面构建一个新函数，当x＜0时，y′＝y，当x≥0时，y′＝﹣y，即，将变换后函数y′称为原函数y的变构函数，例．二次函数y＝﹣x2+1的变构函数为． （1）求一次函数y＝﹣2x+5的变构函数y′的函数表达式； （2）点（n，﹣2）在反比例函数的变构函数图象上，求n的值； （3）函数l的解析式y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0），点M、N的坐标分别为，连接MN，线段MN与二次函数y＝ax2﹣4ax+3a的变构函数y′的图象只有一个公共点时，直接写出a的值或取值范围． 17．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围； （3）①点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝2：13，求点P的坐标； ②点Q是y轴上的一动点，当△ABQ是以AB为直角边的直角三角形时，请直接写出线段BQ的长度． 18．如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝mx+1的图象在第一象限交于点A（3，4），点B位于第一象限，且是反比例函数图象上的一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB． （1）k＝　 　 ，m＝　 　 ． （2）当OC＝6时，求△ABD的面积． 19．数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示所称物体质量．电流I（单位：mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为2.2kg时，电流表显示为0.3mA． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． （1）当放置物体质量为2.2kg时，求此时可变电阻R1的值； （2）求电流I关于可变电阻R1的函数表达式； （3）为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知▱ABCD的顶点A在函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8，则k的值为（　　） A．5 B．8 C．10 D．14 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设S△ABE＝a，得到方程，解得a＝2，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【解答】解：∵▱ABCD， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴， 设S△ABE＝a， ∵若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8， ∴， 解得a＝2， ∴， ∴k＝10， 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 2．反比例函数y（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象． 【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观． 【答案】C 【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【解答】解：当k＞0时，反比例函数y（k≠0）的图象经过第一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx+k图象的对称轴为直线x在y轴右侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项不符合题意； 当k＜0时，反比例函数y（k≠0）的图象经过第二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx+k图象的对称轴为直线x在y轴左侧，并与y轴交于负半轴，则C选项都符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论（当k＞0时和当k＜0时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 3．关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．它的图象位于第一、三象限 B．当1＜x＜5时，1＜y＜5 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣2时，y＜﹣2.5 【考点】反比例函数的性质． 【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】D 【分析】根据k＝5＞0可知图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小逐项判断即可． 【解答】解：A、∵k＝5＞0， ∴图象位于第一、三象限，不符合题意； B、当 x＝1 时，y＝5；当 x＝5 时，y＝1； ∵x＞0时，y随x增大而减小， ∴当 1＜x＜5时，1＜y＜5，不符合题意； C、当x＞0时，y随x的增大而减小，不符合题意； D、∵当 x＝﹣2 时，y＝﹣2.5， ∴当x＜﹣2时，﹣2.5＜y＜0，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若满足x+y＝xy﹣1，则称点P为“和谐点”，有下列结论： ①点A（﹣1，0）为“和谐点”； ②若点B（a，b）是一次函数y＝﹣x﹣4的图象与反比例函数的图象的交点，则B（a，b）为“和谐点”； ③若点C（c，d），D（e，f）（C，D两点不重合）为“和谐点”，且c+e＝2，则d+f＝2； ④若点E（m，n），F（p，q）（E，F两点不重合）为“和谐点”，且p＞m＞1，则（p﹣m）（q﹣n）＞0． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】依据题意，“和谐点”的定义可得，进而逐个进行分析判断可以得解． 【解答】解：由题意，将x＝﹣1，y＝0代入左边：x+y＝﹣1+0＝﹣1，右边：xy﹣1＝（﹣1）×0﹣1＝﹣1， ∴左边＝右边， ∴点A（﹣1，0）为“和谐点”，故①正确； ∵点B（a，b）是y＝﹣x﹣4与的交点， ∴． ∴a+b＝a+（﹣a﹣4）＝﹣4，， ∴a+b＝ab﹣1，故点B是和谐点，故②正确； ∵C（c，d）、D（e，f）为和谐点， ∴c+d＝cd﹣1，e+f＝ef﹣1． ∴（c﹣1）（d﹣1）＝2，（e﹣1）（f﹣1）＝2． ∵c+e＝2，则e＝2﹣c， ∴e﹣1＝1﹣c＝﹣（c﹣1）． ∴﹣（c﹣1）（f﹣1）＝2． 又∵（c﹣1）（d﹣1）＝2， ∴﹣（c﹣1）（f﹣1）＝（c﹣1）（d﹣1）． ∵C、D不重合， ∴c≠e，即c﹣1≠0，两边同除以（c﹣1）：﹣（f﹣1）＝d﹣1＝d+f＝2，故③正确； ∵E（m，n）、F（p，q）为和谐点，p＞m＞1，则（p﹣m）（q﹣n）＞0由和谐点变形式推导y关于x的函数： ∵“和谐点”P（x，y）满足x+y＝xy﹣1， ∴． ∴该函数可看作由向右平移1个单位，向上平移1个单位得到， ∴根据反比例函数性质：当x＞1时，y随x增大而减小，故在x＞1时y随x增大而减小． ∵点E（m，n），F（p，q）（E，F两点不重合）为“和谐点”，p＞m＞1， ∴q＜n，即：p﹣m＞0，q﹣n＜0， ∴（p﹣m）（q﹣n）＜0，故④错误． 综上，正确的有：①②③． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，顶点B的坐标为（4，3）．已知该反比例函数图象上有一点P，连接PA，PC，若△PAC的面积是菱形AOBC面积的，则点P的横坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质． 【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：当P在C的下方时，过点B作x轴的垂线，垂足为D，则BD∥OA，利用勾股定理可求出OB的长，利用菱形的性质可得出BC的长，可得C、B、D三点共线，进而可得出点C的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k的值，然后根据△PAC的面积是菱形AOBC面积的，得出P在直线OB上，求出直线OB，然后解析式联立即可求得P的坐标，当P在C的上方时，直线OB向上平移10个单位得到的直线解析式与反比例函数解析式联立，即可求得P的坐标． 【解答】解：当P在C的下方时，过点B作x轴的垂线，垂足为D，则BD∥OA，如图所示． ∵点B的坐标为（4，3）， ∴OD＝4，DB＝3， ∴OB5， ∵四边形AOBC为菱形， ∴BC＝OA＝5，BC∥OA， ∴C，B，D三点共线， ∴点C坐标为（4，8）． ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴k＝4×8＝32； ∴y， ∵△PAC的面积是菱形AOBC面积的， ∴B到AC的距离等于P到AC的距离， ∴BP∥AC， ∴P在直线OB上， ∵点B的坐标为（4，3）， ∴直线OB为yx， 解方程x得x或x（舍去）， ∴P的横坐标为， 当P在C的上方时， 将yx向上平移10个单位，得到yx+10， 解方程x+10得x或x＝﹣16（舍去）， ∴P的横坐标为， 综上，P的横坐标为或． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理、菱形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，菱形和三角形的面积等知识，解题的关键是利用勾股定理及菱形的性质，找出点C的坐标． 6．如图，点A，B是双曲线上的点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么k值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【解答】解：如图， 由条件可知S矩形ACOG＝S矩形BEOF＝k， 即S1+S阴影DGOF＝k，S2+S阴影DGOF＝k， ∴S1+S2+2S阴影DGOF＝2k， ∵图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8， ∴S1+S2＝2k﹣2×2＝2k﹣4＝8， ∴k＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数k的几何性质（双曲线上的点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为|k|），解题的关键是用“空白面积+阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积． 7．已知反比例函数的图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），则下列结论一定成立的是（　　） A．点P，Q在同一个象限 B．若x1＜﹣1，则y1＞4 C．若x1＜x2，则y1＜y2 D． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：由条件可知反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，当x＝﹣1时，y＝4， ∴当x＜﹣1，0＜y＜4， ∴x1y1＝x2y2＝﹣4， ∴， 无法得到点P，Q在同一个象限，若x1＜﹣1，则0＜y1＜4，当点P，Q在不同象限时，x1＜x2，y1＞y2； 故只有选项D正确； 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键． 8．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点； ④若y＝x2﹣2x+c为“不动点函数”，则． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程y＝x判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数． 【解答】解：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”， ①∵令y＝x，则x＝x+2，化简得0＝2，矛盾，无实数解， ∴该函数不是“不动点函数”，①错误； ②∵令y＝x，则，两边乘x（x≠0）得x2＝﹣4 又∵实数范围内x2≥0 ∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误； ③∵令y＝x，则x2＝x，整理得x（x﹣1）＝0 解得x＝0或x＝1， ∴点（1，1）是该函数的不动点，③正确； ④∵若y＝x2﹣2x+c是“不动点函数”，则x2﹣2x+c＝x， 整理得x2﹣3x+c＝0， 方程有实数解需判别式Δ＝（﹣3）2﹣4×1×c≥0， 即9﹣4c≥0，解得， 而结论中的范围不完整，④错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程，正确记忆相关知识点是解题关键． 9．图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．当电阻R为25Ω时，该台灯的电流I是（　　） A．8.8A B．5.5A C．4.4A D．4A 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】A 【分析】设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系根据待定系数法求得，将R＝25Ω代入函数关系式中，求出I即可． 【解答】解：由图象可知，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足反比例函数关系， 设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为， ∵点（50，4.4）在函数的图象上， ∴， 解得：k＝220， ∴电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为， 当R＝25Ω时，， ∴I＝8.8． 故选：A． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键． 10．如图Rt△OAC中，∠OAC＝90°，点A在x轴上，点C在第一象限，反比例函数的图象经过Rt△OAC的斜边OC的中点M，与边AC交于点N，若△OMN的面积为9，则k的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．18 【考点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的判定与性质． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据比例系数k的几何意义可得，由三角形中线的性质可得S△CON＝18，进而得出，再由△ODM∽△OAC，可列出方程求解． 【解答】解：过M点作MD⊥OA，垂足为D， 由条件可得S△CMN＝S△OMN＝9， ∴S△CON＝18， ∵反比例函数解析式为，x＞0，k＞0， ∴， ∴， ∵MD⊥OA，∠OAC＝90°， ∴MD∥AC， ∴△ODM∽△OAC， ∴， ∴，解得k＝12． 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与反比例函数的图象交于点D．若AD＝3BD，则k的值为　﹣4　 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】﹣4． 【分析】设点D的坐标为（a，b），可得点A的坐标为（a，4b），根据点D（a，b）在反比例函数的图象上得到ab＝﹣1，再根据点A（a，4b）在反比例函数的图象上即可求解． 【解答】解：设点D的坐标为（a，b），则BD＝b， ∴AD＝3BD＝3b， ∴AB＝AD+BD＝4b， ∴点A的坐标为（a，4b）． ∴，即ab＝﹣1，， ∴k＝4ab＝4×（﹣1）＝﹣4． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 12．如图，△AOB的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，AB交y轴于点C，若S△BOC＝2S△AOC＝4，则k的值为　6　 ． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】6． 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据S△BOC＝2S△AOC＝4，得出BO：BD＝2：3，证明△COB∽△ADB，得出，求出S△ADB＝9，再求出S△OAD＝S△ADB﹣S△AOC﹣S△BOC＝3，根据反比例函数中|k|的几何意义，得，结合k＞0，即可求解． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D， 由条件可知S△BOC：S△AOC＝2：1，S△AOC＝2， ∵， ∴BO：OD＝2：1， ∴BO：BD＝2：3， ∵AD∥y轴， ∴△COB∽△ADB， ∴， ∴S△ADB＝9， ∴S△OAD＝S△ADB﹣S△AOC﹣S△BOC＝3， ∴， ∴|k|＝6． 又∵k＞0， ∴k＝6． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 13．如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，点A的横坐标为1．点P为一次函数y＝x（x≥0）上一点，若S△ABP＝4，则点P坐标为　（0，0）或（2，2）　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（0，0）或（2，2）． 【分析】依据题意，由A在反比例函数的图象，且点A的横坐标为1，则A（1，9），从而B（1，1），可得AB＝9﹣1＝8，又P在y＝x上，故可设P（m，m）（m≥0），则P到AB的距离为|m﹣1|，进而S△ABPAB•|m﹣1|＝4|m﹣1|＝4，求出m后即可得解． 【解答】解：由题意，∵A在反比例函数的图象，且点A的横坐标为1， ∴A（1，9）． ∴B（1，1）． ∴AB＝9﹣1＝8． ∵P在y＝x上， ∴可设P（m，m）（m≥0）． ∴P到AB的距离为|m﹣1|． ∴S△ABPAB•|m﹣1|＝4|m﹣1|＝4． ∴m＝0或2． ∴P（0，0）或（2，2）． 故答案为：（0，0）或（2，2）． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为3的正方形OABC的边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上，在OA边上取一点D（D不与点O，A重合），连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得对应线段DE，作射线AE，反比例函数的图象与射线AE相交于点P，连接CP，交该反比例函数图象于点F．若F恰好为线段CP的中点，则k的值为　4　 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转． 【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】4． 【分析】作EH⊥x轴于H，设D（t，0）（0＜t＜3），通过证得△COD≌△DHE（AAS），得到E（t+3，t），利用待定系数法求得直线AE为y＝x﹣3，设P（m，m﹣3），则F（，），把P、F的坐标代入即可求解． 【解答】解：作EH⊥x轴于H， ∵正方形OABC的边长为3， ∴A（3，0），C（0，3）， 设D（t，0）（0＜t＜3）， ∵将线段CD绕点D顺时针旋转90°得对应线段DE， ∴∠CDE＝90°，CD＝ED， ∴∠CDO+∠EDH＝90°， ∵∠CDO+∠DCO＝90°， ∴∠EDH＝∠DCO， ∵∠COD＝∠DHE＝90°， ∴△COD≌△DHE（AAS）， ∴EH＝OD＝t，DH＝CO＝3， ∴OH＝t+3， ∴E（t+3，t）， 设直线AE为y＝ax+b， ∴，解得， ∴直线AE为y＝x﹣3， ∵反比例函数的图象与射线AE相交于点P， ∴设P（m，m﹣3）， ∵F恰好为线段CP的中点， ∴F（，）， ∵P和F在反比例函数的图象上， ∴k， 解得m＝4或m＝0（舍去）， ∴k＝m（m﹣3）＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，求得直线AE的解析式，进一步表示出P、F的坐标是解题的关键． 15．如图，矩形ABCD，AB＝2AD＝2m，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，当AB与反比例函数相交于点M、N时，过点M、N分别向x轴作垂线，垂足分别为点E、F，则有①AM＝BN；②三角形OMN的面积与四边形MEFN面积相等；③当OM＝ON＝MN时，直线AB的解析式为；④当时，OD的最大值是；其中结论正确的序号是　①②③　 ．（填序号） 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】①②③． 【分析】①过点M和N分别作y轴的垂线，垂足分别为点K和H，记NH与ME交于点G，连接EH，证得S四边形HKMG＝S四边形EFNG，得到，推出△HGE∽△NGM，得到∠EHG＝∠MNG，证得四边形BNHE和四边形AMEH都是平行四边形，即可说明①正确；②由反比例函数的几何意义即可说明②正确；③过点N作y轴的垂线，垂足为点H，记NH与ME交于点G，根据对称性得到OA＝OB，GM＝GN，设点M的坐标为（a，b），利用勾股定理求得点M的坐标为，再利用待定系数法求解即可说明③正确；④利用动静互换，得到点O在以AB为直径的⊙Q上，则当点D、Q、O共线时，OD取得最大值，据此计算即可得到④错误． 【解答】解：过点M和N分别作y轴的垂线，垂足分别为点K和H，记NH与ME交于点G，连接EH， ∴ME∥y轴，NH∥x轴，且S四边形OKME＝S四边形OFNH＝k， ∴S四边形HKMG＝S四边形EFNG， ∴， ∵∠HGE＝∠NGM， ∴△HGE∽△NGM， ∴∠EHG＝∠MNG， ∴HE∥AB， ∴四边形BNHE和四边形AMEH都是平行四边形， ∴AM＝EH＝BN，①正确，符合题意； 由题意得S△OMN＝S△OME+S四边形MEFN﹣S△OFN＝S四边形MEFN，②正确，符合题意； 过点N作y轴的垂线，垂足为点H，记NH与ME交于点G， ∵双曲线是轴对称图形，等边三角形也是轴对称图形，且对称轴都是y＝x， ∴OA＝OB，GM＝GN， 设点M的坐标为（a，b）且b＞a＞0，则点N的坐标为（b，a）， ∴ab＝10，GM＝GN＝b﹣a， ∴MN2＝2（b﹣a）2， ∵OM2＝OE2+ME2＝a2+b2， ∵OM＝MN， ∴2（b﹣a）2＝a2+b2，整理得a2+b2＝40， ∴（b+a）2＝60，（b﹣a）2＝20，即，， 解得，， 即点M的坐标为， ∵OA＝OB， ∴设直线AB的解析式为y＝﹣x+b1， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为，③正确，符合题意； 由条件可知矩形ABCD大小不变，利用动静互换，即点D为定点，点O为动点， ∵∠AOB＝90°， ∴点O在以AB为直径的⊙Q上， ∴当点D、Q、O共线时，OD取得最大值， ∵AB＝2AD＝2m，， ∴， ∴，， ∴OD的最大值是，④错误，不符合题意； 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共4小题） 16．定义：在平面直角坐标系中，y是自变量x的函数，下面构建一个新函数，当x＜0时，y′＝y，当x≥0时，y′＝﹣y，即，将变换后函数y′称为原函数y的变构函数，例．二次函数y＝﹣x2+1的变构函数为． （1）求一次函数y＝﹣2x+5的变构函数y′的函数表达式； （2）点（n，﹣2）在反比例函数的变构函数图象上，求n的值； （3）函数l的解析式y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0），点M、N的坐标分别为，连接MN，线段MN与二次函数y＝ax2﹣4ax+3a的变构函数y′的图象只有一个公共点时，直接写出a的值或取值范围． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；反比例函数的性质． 【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）； （2）﹣3或3； （3）a＜﹣4或a＝﹣3或． 【分析】（1）根据新函数规定进行求解； （2）根据规定求出变构函数，然后分两种情况进行求解； （3）根据题意画出图形，然后分四种情况进行求解即可． 【解答】解：（1）一次函数y＝﹣2x+5的变构函数为； （2）反比例函数的变构函数为， 当n＜0时，， 解得n＝﹣3，符合题意； 当n＞0时，， 解得n＝3，符合题意； ∴n的值为﹣3或3； （3）二次函数y＝ax2﹣4ax+3a的变构函数， 如图， 当y′＝ax2﹣4ax+3a经过点时， ，解得； 当y′＝﹣ax2+4ax﹣3a经过点时， ，解得a＝﹣4； 当点（2，a）在MN上， ∴a＝﹣3； 当（0，3a）在MN上， ∴3a＝﹣3， ∴a＝﹣1， ∴线段MN与二次函数y＝ax2﹣4ax+3a的变构函数y′的图象只有一个公共点时，a＜﹣4或a＝﹣3或． 【点评】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 17．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围； （3）①点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝2：13，求点P的坐标； ②点Q是y轴上的一动点，当△ABQ是以AB为直角边的直角三角形时，请直接写出线段BQ的长度． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1），y＝﹣x+3； （2）x＜﹣1或0＜x＜4； （3）①； ②或． 【分析】（1）将交点A代入反比例函数求解析式，再求B点坐标，最后将A、B代入一次函数，联立方程组求解系数得解析式； （2）结合函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x取值范围； （3）①先计算△AOB的面积，根据面积比例求出△AOP的面积，设P点坐标结合面积公式列方程，求解得P点坐标；②先设Q点坐标，然后表示出AQ2，BQ2，AB2，再分直角顶点为A、B两种情况，结合勾股定理列方程求出Q，再计算BQ长度． 【解答】解：（1）一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，将点A（﹣1，4）代入反比例函数解析式得： ， 解得：k2＝﹣4， ∴反比例函数的解析式为， 将点B（4，n）代入得：， ∴点B的坐标为（4，﹣1）， 将点A，点B的坐标分别代入一次函数解析式得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+3； （2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1）， ∴在第二象限内，当x＜﹣1，， 在第四象限内，当0＜x＜4，， 故在坐标系内，x＜﹣1或0＜x＜4的图象满足要求； （3）①如图1，设直线AB与y轴的交点为C， 对于y＝﹣x+3， 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， ∵A（﹣1，4），B（4，﹣1）， ∴，， ∴， ∵S△AOP：S△BOP＝2：13， ∴， ∴， ∵S△AOP＜S△AOC， ∴点P在第二象限， ∵点P在直线y＝﹣x+3上， ∴设点P坐标为（x，﹣x+3）， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， 则， ∴点P坐标为． 答：． ②BQ的长度为或．理由如下： 如图2，作Q1A⊥AB，Q2B⊥AB，设点Q坐标为（0，m）， ∵A（﹣1，4），B（4，﹣1）， ∴AB2＝（﹣1﹣4）2+[4﹣（﹣1）]2＝50， ∴AQ2＝（﹣1﹣0）2+（4﹣m）2＝m2﹣8m+17， BQ2＝（4﹣0）2+（﹣1﹣m）2＝m2+2m+17， 当Q到Q1位置时， 有， 则m2﹣8m+17+50＝m2+2m+17， 解得：m＝5，此时点Q坐标为（0，5）， ； 当Q到Q2位置时， 有， 则m2﹣8m+17＝50+m2+2m+17， 解得m＝﹣5，此时点Q坐标为（0，﹣5）， ， 综上所述，BQ的长度为或． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角形面积计算与比例关系，直角三角形存在性问题，坐标与图形，掌握分类讨论思想是解题关键． 18．如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝mx+1的图象在第一象限交于点A（3，4），点B位于第一象限，且是反比例函数图象上的一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB． （1）k＝　12　 ，m＝　1　 ． （2）当OC＝6时，求△ABD的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）12，1； （2）． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出B（6，2），D（6，7），然后利用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵与y2＝mx+1的图像交于点A（3，4）， ∴，4＝3m+1， ∴k＝12，m＝1， 故答案为：12，1； （2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为y2＝x+1， ∵当OC＝6时，即点C的横坐标为6， ∴当x＝6时，，y2＝6+1＝7， ∴B（6，2），D（6，7）， ∴S△ABD． 【点评】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． 19．数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示所称物体质量．电流I（单位：mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为2.2kg时，电流表显示为0.3mA． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． （1）当放置物体质量为2.2kg时，求此时可变电阻R1的值； （2）求电流I关于可变电阻R1的函数表达式； （3）为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】代数综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）10； （2）R1＝R﹣R210； （3）该电子秤所称物品质量的最大值为3kg． 【分析】（1）根据图3，用待定系数法求出可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的函数解析式，再求出R即可； （2）用待定系数法求出电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式即可； （3）根据一次函数和反比例函数的性质求出当0.15≤I≤0.5时x的最大值． 【解答】解：（1）由图3可知，可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系为一次函数关系， 设R1＝mx+b（m≠0）， 把（0，32），（3.2，0）代入解析式得， 解得， ∴R1＝﹣10x+32， 当x＝2.2时，R1＝﹣10×2.2+32＝10； （2）设电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I， 由（1）知，把（30，0.2）代入解析式可得：k＝IR＝30×0.2＝6， ∴电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为R， ∵R＝R1+R2，R2＝10kΩ， ∴R1＝R﹣R210； （3）∵R， ∴R随I的增大而减小， ∵0.15≤I≤0.5， ∴当I＝0.15时，R取得最大值，最大值为40， 此时R1取得最大值30； 当T＝0.5时，R取得最小值，最小值为12， 此时R1取得最小值2， ∵R1＝﹣10x+32， ∴R1随x的增大而减小， ∴当R1取得最小值2时，x取得最大值3， 答：该电子秤所称物品质量的最大值为3kg． 【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查反比例函数的应用和一次函数的应用，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $